3.4.3（第1课时）空间角 课时练习（含答案）2022-2023学年高二数学北师版（2019）选择性必修一

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1、3.4.3空间角一、单选题（本大题共7小题，共35分。）1. 已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面所成的二面角的平面角的大小为（ ）A. B. C. 或D. 2. 直三棱柱中,分别是的中点,则与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 3. 已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为( )A. B. C. 或D. 4. 已知向量，分别是直线l和l的方向向量，若，则直线l与l所成的角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 1505. 如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，正方体中，的中点为

2、，的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 7. 已知三棱柱ABC-的底面边长和侧棱都相等，侧棱底面ABC，则直线与AC所成角的余弦值是（ ）A. B. -C. D. -二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. 向量与的夹角是D. 与AC所成角的余弦值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2，AA=1，则BC与平面BBDD所成角的正弦值为10. 在

3、底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC90，AD / BC，SA平面ABCD， SAABBC1，AD，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是11. 如图，在长方体中，点E在棱AB上若二面角的大小为，则12. 如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于，则直线与所成角的正切值的最小值为.四、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13. (本小题12.0分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点（1）求|；（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；（3）求二面角E-AF-

4、B的余弦值14. (本小题12.0分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求的长；（2）求的值15. (本小题12.0分)如图，直角三角形ABC中，,A=,ABC=,AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将ABD折起到PBD的位置.（1）求证：PEBD；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.16. (本小题12.0分)如图，ABC中，AB=BC=4，ABC=90，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB=BE（1

5、）证明：BC平面PBE；（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值17. (本小题12.0分)如图，在菱形ABCD中，且，E为AD的中点.将沿BE折起使，得到如图所示的四棱锥.（）求证：平面平面ABC；（）若P为AC的中点，求三棱锥的余弦值.18. (本小题12.0分)在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO=2，E为AC中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F-DE-C的大小为，求sin的值19. (本小题12.0分)三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，CBB160，AB

6、AC，ABAC，BCAB12（1）求证：面ABC面BB1C1C；（2）在线段C1A1上是否存在一点M，使得二面角M-CB1-C1为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由20. (本小题12.0分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE / 平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】A

7、B9.【答案】10.【答案】11.【答案】212.【答案】13.【答案】解：（1）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），（2），直线EC与AF所成角的余弦值为（3）平面ABCD的一个法向量为，设平面AEF的一个法向量为，令x=1，则y=2，z=-1，则由图知二面角E-AF-B为锐二面角，其余弦值为14.【答案】解：（1）以C为坐标原点，以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示：由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），|=（2）依题意得A1（1

8、，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）=（1，-1，2），=（0，1，2），=3|=，|=，cos，=15.【答案】（1）证明：取BD中点O，连接OE,PO，由已知得DC=PD=PB=BD=2,BC=2,OB=1,BE=且OBE=,OE=,+=OEBD,又PB=PD,O为BD的中点,所以POBD,又POOE=O,OE，PO面POE，所以BD平面POE,又PE面POE，所以BDPE（2）因为三棱锥P-BCD的体积最大,即P到平面BCD的距离最大，平面PBD平面BCD，PO平面BCD,所以OE,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,以OE、OB、OP所

9、在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,1,0),P(0,0,),C(,-2,0),D(0,-1,0),E(,0,0)=(0,-1,),=(,-3,0),=(,1,0),=(,0,-)设平面PBC的法向量为，则，不妨令，得.设平面PDE的法向量为，则,则所以，即二面角C-PE-D的余弦值为.16.【答案】（1）证明：E，F分别为AB，AC边的中点，EFBC，ABC=90，EFBE，EFPE，又BEPE=E，BE、PE平面PBE，EF平面PBE，EFBC，BC平面PBE；（2）解：取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC平面PBE，BC平面BCFE，平面PBE平面BC

10、FE，PB=BE=PE，POBE，又PO平面PBE，平面PBE平面BCFE=BE，PO平面BCFE，过O作OMBC交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，），C（1，4，0），F（-1，2，0）=（1，4，-），=（-1，2，-），设平面PCF的法向量为=（x，y，z），由，取y=1，得=（-1，1，），结合图可知=（0，1，0）为平面PBE的一个法向量，cos=，平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值17.【答案】证明:()在图中,连接BD.四边形ABCD为菱形,A=,ABD是等边三角形.E为AD的中点,BEAE,BEDE.又AB=2,A

11、E=DE=1.在图中,AD=,+=.AEED.BCDE,BCBE,BCAE.又BEAE=E,AE,BE平面ABE.BC平面ABE.BC平面ABC,平面ABE平面ABC.解：()由(),知AEDE,AEBE.BEDE=E,BE,DE平面BCDE.AE平面BCDE.以E为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),A(0,0,1),B(,0,0),C(,2,0),D(0,1,0).P为AC的中点,P(,1,).=(,-1,-),=(-,0,-).设平面PBD的一个法向量为=(x,y,z).由得令z=,得=(-1,-,).又平面BCD的一个

12、法向量为=(0,0,1).设二面角P-BD-C的大小为,由题意知该二面角得平面角为锐角.则=.二面角P-BD-C的余弦值为.18.【答案】解：（1）如图，连接OC，CB=CD，O为BD的中点，COBD以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系BD=2，OB=OD=1，则OC=B（1，0，0），A（0，0，2），C（0，2，0），D（-1，0，0），E是AC的中点，E（0，1，1），设直线AB与DE所成角为，则cos=，即直线AB与DE所成角的余弦值为；（2）BF=BC，设F（x，y，z），则（x-1，y，z）=（，0），F（，0），设平面DEF的一个法向量为

13、，由，取x1=-2，得；设平面DEC的一个法向量为，由，取x2=-2，得|cos|=sin19.【答案】(1)证明：取BC中点O,连AO,O,AB=AC,ABAC,BC=2，AO=1,AOBC,又BC=,=,BC,=,又=2,+=,AO,，面BB1C1C，面BB1C1C，AO面BB1C1C,AO面ABC，面ABC面BB1C1C.(2)解：由（1）可知OA,OB,OB1两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB,OB1,OA所在直线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,0,0),(0,0),设=,=(01),=(-1,0),=(1,0,1),=(1,0)

14、，=+=+=+=(-1+,，),设平面的法向量为=(x,y,z),则，即取x=3,则y=-,z=,故=(3,-,),又=(0,0,1)是面C1C的一个法向量,=,01,=.即存在一点M满足条件，且=.20.【答案】（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图设底面边长为a，则高于是，故OCSD从而ACSD;（2）解:由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量设所求二面角为，为锐角，则，所求二面角的大小为30;（3）解:在棱SC上存在一点E使BE平面PAC由（2）知是平面PAC的一个法向量，且，设，则，而，即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.