重庆市长寿区2020-2021学年七年级下期末数学试卷（含答案解析）

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1、重庆市长寿区2020-2021学年七年级下期末数学试题一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 16的平方根是（）A. 4B. 4C. 4D. 23. 下列各图中，与是对顶角的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，已知，2115，则1的度数为（ ）A. 65B. 125C. 115D. 255. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A. 调查某品牌钢笔的使用寿命B. 了解我区中学生学生的视力情况C. 调查乘坐飞机的乘客是否携带违禁物品D. 了解我区中学生课外阅读情况6. 如图

2、，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果1=55，那么2等于（ ）A. 65B. 55C. 45D. 357. 在平面直角坐标系中，已知点A，B，若点C满足AC轴，则使得线段BC长度取最小值时的点C坐标为（ ）A. B. C. D. 8. 若2，由实数、组成的有序数对（，）在平面直角坐标系第二象限，则的值为（ ）A. 2B. 2C. 0D. 2或29. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元这批电话手表至少有（）A. 103块B. 104块C. 105块D

3、. 106块10. 若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 不能确定值11. 班主任王老师说：“课辅活动时，我班一半同学在参加科技活动，四分之一的同学在学音乐，七分之一的同学在练书法，还剩不足6名同学在操场上踢足球”，则王老师的这个班学生人数最多为（ ）A B. C. D. 12. 从2，1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m2）x3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分请将正确答案填在答题卡的相应横线上）13. 命题“如

4、果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是_命题（填“真”或“假”）14. 计算：_15. 若点P在轴上，则点P坐标为_16. 在一个样本中有50个数据，它们分别落在5个组内，已知第一、二、三、四、五组数据的个数分别有，则第四组的频数为_17. 如果关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差为，则实数的取值范围是_18. 某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则这辆汽车的速

5、度是_千米/小时三、解答题（本大题7个小题，共70分每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）19. 解二元一次方程组：20. 若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根21. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上22. 李红在学校的研究性学习小组中负责了解初一年级200名女生掷实心球的测试成绩她从中随机调查了若干名女生的测试成绩（单位：米），并将统计结果绘制成了如下的统计图表（内容不完整）测试成绩合计频数3279m1n 请你结合图表中所提供的信息，回答下列问题：（1）表中m= ，n= ；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，这一组所占圆心角的度数为 度；（4）如果掷实心球的成绩

6、达到6米或6米以上为优秀，请你估计该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数23. 如图，EFAB，垂足为点F，EFCD，连接DE，且BCDE（1）若B40，求EDC度数；（2）求证：DEFDCB24. 某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100元/吨若该企业去年处理的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元（1）该企业前年处理的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？（2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到2

7、00吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？25. 如图1，A（，0），B（0，）分别是轴和轴上点，BDOA（1）若、满足，点C的坐标为（3，2），求点A、B的坐标和四边形OACB的面积；（2）如图2，已知BE平分DBC，AE平分CAF，BG平分DBE，AG平分EAF请猜想BCA与G 的数量关系，并说明理由四、解答题（本大题1个小题，共8分每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）26. 材料1：我们把形如（、为常数）的方程叫二元一次方程若、为整数，则称二元一次方程为整系数方程若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解例如方程都有整数解；反过来也成立方

8、程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数材料2：求方程的正整数解解：由已知得： 设（为整数），则 把代入得：所以方程组的解为 ， 根据题意得：解不等式组得0所以的整数解是1，2，3所以方程的正整数解是：，根据以上材料回答下列问题：（1）下列方程中： ， ， ， ， ， 没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；（2）仿照上面的方法，求方程的正整数解；（3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）重庆市长寿区2020-2021

9、学年七年级下期末数学试题一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. 在平面直角坐标系中，点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可【详解】解：点A（-3，2）在第二象限，故选：B【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）2. 16的平方根是（）A. 4B. 4C. 4D. 2【答案】C【解析】【详解】16 的平方根是，故选C.3. 下列各图中，与是对顶角

10、是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对顶角的定义可逐项判断求解【详解】解：A选项中，1和2没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角；B选项中，1和2，不符合对顶角定义，故不是对顶角；C选项中，1和2符合对顶角定义，故是对顶角；D选项中，1和2没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角故选：C【点睛】本题主要考查对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键4. 如图，已知，2115，则1的度数为（ ）A. 65B. 125C. 115D. 25【答案】A【解析】【分析】如图1所示，由，可知：；由，可知：；求得：【详解】如图1所示：，故选：A【点睛】本题主要考查了平行

11、线的性质、邻补角互补等知识点，熟练掌握平行线的性质、邻角互补是解题的关键，属于基础知识题5. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A. 调查某品牌钢笔的使用寿命B. 了解我区中学生学生的视力情况C. 调查乘坐飞机的乘客是否携带违禁物品D. 了解我区中学生课外阅读情况【答案】C【解析】【分析】根据普查的特征对选项进行一一分析即可【详解】A. 调查某品牌钢笔的使用寿命，适宜抽样调查，因为某品牌钢笔的使用寿命具有破坏性的应用，所有的某品牌钢笔不能都验证，故选项A不合题意；B. 了解我区中学生学生的视力情况，没有必要浪费财力与物力，利用抽样调查可得到同样效果，故选项B不合题意；C. 调查乘坐飞机

12、的乘客是否携带违禁物品，必须进行全面调查，故选项C符合题意；D. 了解我区中学生课外阅读情况没有必要浪费财力与物力，利用抽样调查可得到同样效果，故选项D不合题意故选择C【点睛】本题考查普查与抽样调查的区别，掌握普查的特征是解题关键6. 如图，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果1=55，那么2等于（ ）A. 65B. 55C. 45D. 35【答案】D【解析】【详解】已知直线ab，3=1=55(两直线平行，同位角相等)，4=90(已知)，2+3+4=180(已知直线)，2=1805590=35.故选D.7. 在平面直角坐标系中，已知点A，B，若点C满足AC轴，则使

13、得线段BC长度取最小值时的点C坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设点，由，轴，可得；当时，此时BC的长度最短，由，可得此时点C的横坐标为2，即可得出答案详解】设点，轴当时，此时BC的长度最短，此时点C的横坐标为2点故选：D【点睛】本题主要考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、点到直线的垂线段最短，熟练掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、点到直线的垂线段最短是解题的关键8. 若2，由实数、组成的有序数对（，）在平面直角坐标系第二象限，则的值为（ ）A. 2B. 2C. 0D. 2或2【答案】C【解析】【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求

14、出a、b的正负情况，再代入求值即可【详解】解：实数、组成的有序数对（，）在平面直角坐标系第二象限， 2， 故选：C【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及实数的运算，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）9. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元这批电话手表至少有（）A 103块B. 104块C. 105块D. 106块【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据题意设出未

15、知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题设这批手表有x块，55060+（x60）50055000 解得，x104 这批电话手表至少有105块考点：一元一次不等式的应用10. 若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 不能确定值【答案】A【解析】【分析】方程乘以3得到方程，方程乘以2得到方程，-即可得答案【详解】3得：，2得：，-得：=-3，故选：A【点睛】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键11. 班主任王老师说：“课辅活动时，我班一半的同学在参加科技活动，四分之一的同学在学音乐，七分之一的同学在练书法，还剩不足6名同学在操场上踢足球”，则王老师的这个班学生人数最多为（ ）A

16、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设这个班的学生有x人，由题意知：x-（x+x+x）6，求解即得【详解】解：设这个班的学生有x人，则参加科技活动的人数为x，学音乐的人数为x，练书法的人数为x由“还剩不足6名同学在操场上踢足球”可得：x-（x+x+x）6，0x56x能被2、4、7整除且为正数，x最大为28故这个班的学生最多有28人故选：D【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解12. 从2，1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m2）x3有整数解，那么这六

17、个数所有满足条件的m的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】不等式组整理后，根据无解确定出的范围，进而得到的值，将的值代入检验，使一元一次方程的解为整数即可【详解】解：解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到，解得：，即，0，1，2，3，5；当m=-1时，一元一次方程（m2）x3解为x=-1，符合题意；当m=0时，一元一次方程（m2）x3解为x=-1.5，不合题意；当m=1时，一元一次方程（m2）x3解为x=-3，符合题意；当m=2时，一元一次方程（m2）x3无解，不合题意；当m=3时，一元一次方程（m2）x3解为x=3，符合题意；当m=5时，一元一次方程（m

18、2）x3解为x=1，符合题意故选：D【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式组的解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分请将正确答案填在答题卡的相应横线上）13. 命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是_命题（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】根据邻补角的定义，举出反例即可判断真假命题【详解】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角；如图1所示：由图1可知：互为补角，但不满足邻补角的定义，如果两个角互补，那么

19、它们不一定是邻补角即原命题为假命题故答案为：假【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义，并能够举出反例是解题的关键，属于基础知识题14. 计算：_【答案】【解析】【分析】首先根据算术平方根、立方根的概念及绝对值的性质进行化简，然后进行计算即可【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根概念及绝对值的性质是解题的关键15. 若点P在轴上，则点P的坐标为_【答案】（0，1）【解析】【分析】利用y轴上点的坐标特点得出，进而求出a的值【详解】解：点在轴上，点P坐标为故答案为：【点睛】本题考查了y轴上点的坐标特点，正确得出a的值是解题的关键16. 在一

20、个样本中有50个数据，它们分别落在5个组内，已知第一、二、三、四、五组数据的个数分别有，则第四组的频数为_【答案】15【解析】【分析】根据五组数中频数之和等于，即可算出第四组的频数【详解】解：根据题意得，解得：故答案为：15【点睛】本题考查了频数的定义，解题的关键是：掌握频数的定义，即数据出现的次数17. 如果关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差为，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先求出不等式组的解集，再根据最大整数解与最小整数解的差为来确定实数的取值范围【详解】解：，由得，由得，解得：，不等式组的解集是：，最大整数为，则最小整数为，故答案是：【点睛】本题考查了解一元一次不

21、等式组及根据解的情况求参数的范围，解题的关键是：能准确求解出不等式组的解集18. 某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则这辆汽车的速度是_千米/小时【答案】90【解析】【分析】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时那么这个两位数数值就是10yx，30分钟后站牌数值是10xy，又经过30分钟，他看到第三块里程牌上数值是100yx；因而列方程（10

22、xy）（10yx）0.5z与（100yx）（10xy）0.5z，求得x与y的比例关系通过数字x、y满足1x9，1y9，确定出x、y的取值，代入求得z的值【详解】解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时由题意得：，化简得：，即x6y，由已知可得：1x9，1y9，x只能取6，y1z18（61）90答：汽车的速度是90千米/小时故答案是：90【点睛】题考查三元一次方程组的应用解决本题的关键是根据题目的等量关系，列出方程组，求得数字x、y的关系另外注意隐含条件数字x、y满足0x9，1y9三、解答题（本大题7个小题，共70分每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）19. 解

23、二元一次方程组：【答案】【解析】【分析】运用加减消元法求出方程组的解是多少即可【详解】解：3-2，得：解得：将代入方程得：，解得：，故原方程组的解为【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用20. 若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根【答案】8【解析】【分析】根据平方根的定义可得+=0，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案【详解】实数的平方根是和，解得：，的立方根是，的算术平方根为【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，一个正实数的平方根有两个，它们互为

24、相反数；其中正的平方根叫做算术平方根；熟练掌握定义是解题关键21. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上【答案】，见解析【解析】【分析】分别解出不等式组中各不等式的解集，再在数轴上表示出来，取公共部分【详解】解：由得：，即，由得：，即，故原不等式组的解集为在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示出解集，解题的关键是：掌握解一元一次不等式组的解集的基本步骤，能准确求解集22. 李红在学校的研究性学习小组中负责了解初一年级200名女生掷实心球的测试成绩她从中随机调查了若干名女生的测试成绩（单位：米），并将统计结果绘制成了如下的统计图表（内容不完整）测试成绩合计频数3

25、279m1n 请你结合图表中所提供的信息，回答下列问题：（1）表中m= ，n= ；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，这一组所占圆心角的度数为 度；（4）如果掷实心球的成绩达到6米或6米以上为优秀，请你估计该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数【答案】（1） 10，50；（2）作图见解析；（3）72；（4）44人【解析】【详解】试题分析：（1）根据4x5之间的频数和所占的百分比，求出总人数，再用总人数减去其它成绩段的人数，即可得出6x7的频数；（2）根据（1）求出的m的值，从而把频数分布直方图补全；（3）用360度乘以6x7所占的百分比，即可求出6x7这一组所占圆心角的度

26、数；（4）用总人数乘以成绩达到6米或6米以上所占的百分比，求出该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数试题解析：（1）根据题意得：n=50；m=50-3-27-9-1=10；（2）根据（1）得出的m=10，补图如下：（3）6x7这一组所占圆心角的度数为：360=72；（4）根据题意得：200=44（人），答：该校初一年级女生掷实心球的成绩达到优秀的总人数是44人考点：1频数（率）分布直方图；2用样本估计总体；频数（率）分布表；3扇形统计图23. 如图，EFAB，垂足为点F，EFCD，连接DE，且BCDE（1）若B40，求EDC的度数；（2）求证：DEFDCB【答案】（1）50；（2）见解

27、析【解析】【分析】（1）利用平行线的性质中同位角相等，再结合题中已知的直角，即可求解；（2）利用平行线的性质中内错角相等，通过等量代换即可证明【详解】解：（1），B=40，ADE=B=40EFAB，EFD=90，EFD+CDF=180CDF=90ADE=40，EDC=50（2），DEF=EDC，EDC =DCBDEF=DCB【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：掌握平行线的性质，灵活运用24. 某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100

28、元/吨若该企业去年处理的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元（1）该企业前年处理的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？（2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到200吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？【答案】（1）该企业前年处理200吨可回收垃圾，80吨不可回收垃圾；（2）今年该企业至少有150吨可回收垃圾【解析】【分析】（1）设该企业前年处理x吨可回收垃圾，y吨不可回收垃圾，建立二元一次方程组求出其解即可；（2）设今年该企业有m吨可回收垃圾，则今年该企业有（200m）吨不可回收垃圾，建立不等式，求出其解即可

29、【详解】解：（1）设该企业前年处理x吨可回收垃圾，y吨不可回收垃圾，根据题意得：， 解得： 答：该企业前年处理200吨可回收垃圾，80吨不可回收垃圾（2）设今年该企业有m吨可回收垃圾，则今年该企业有（200m）吨不可回收垃圾，根据题意得：m3（200m），解得：m150答：今年该企业至少有150吨可回收垃圾【点睛】考查一元一次不等式的应用, 二元一次方程组的应用，读懂题目，找出等量关系以及不等关系是解题的关键.25. 如图1，A（，0），B（0，）分别是轴和轴上的点，BDOA（1）若、满足，点C的坐标为（3，2），求点A、B的坐标和四边形OACB的面积；（2）如图2，已知BE平分DBC，AE平

30、分CAF，BG平分DBE，AG平分EAF请猜想BCA与G 数量关系，并说明理由【答案】（1），；（2）BCA=4G，见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得到a和b的值，从而求得A、B的坐标和四边形OACB的面积；（2）过点C作CMOA，过点G作GNOA，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可以得到BCA=4G.【详解】解：（1）,且0，0，解得：=2，=4A(2，0)，B(0，4)连接OC，如图：则：，（2）BCA与G的数量关系为：BCA=4G.理由如下：如图，过点C作CMOA，过点G作GNOA，BDOA，BDCMOA，BDGNOABCM =DBC, MCA=CAF，BG

31、N =DBG, NGA=GAFBCA=DBC+CAF，BGA=DBG+GAFBE平分DBC,AE平分CAF，DBC=2DBE, CAF=2EAF又BG平分DBE，AG平分EAF，DBE=2DBG, EAF=2GAFBCA=DBC+CAF=2DBE+2EAF=4DBG+4GAF=4BGN+4NGA=4（BGN+NGA）=4BGABCA=4G【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质、非负数的应用、点坐标的意义和三角形面积的求法是解题关键四、解答题（本大题1个小题，共8分每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）26. 材料1：我们把形如（、为常数）的方程叫二元一次方程若

32、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解例如方程都有整数解；反过来也成立方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数材料2：求方程的正整数解解：由已知得： 设（为整数），则 把代入得：所以方程组的解为 ， 根据题意得：解不等式组得0所以的整数解是1，2，3所以方程的正整数解是：，根据以上材料回答下列问题：（1）下列方程中： ， ， ， ， ， 没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；（2）仿照上面的方法，求方程的正整数解；（3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格

33、都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）【答案】（1）；（2），；（3）有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根【解析】【分析】（1）依据题中给出的判断方法进行判断，先找出最大公约数，然后再看能否整除c，从而来判断是否有整数解；（2）依据材料2的解题过程，即可求得结果；（3）根据题意，设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数）则可得关于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整数解，即可得出结论【详解】解：

34、（1） ，因为3，9的最大公约数是3，而11不是3的整倍数，所以此方程没有整数解； ，因为15，5的最大公约数是5，而70是5的整倍数，所以此方程有整数解； ，因为6，3的最大公约数是3，而111是3的整倍数，所以此方程有整数解； ，因为27，9的最大公约数是9，而99是9的整倍数，所以此方程有整数解； ，因为91，26的最大公约数是13，而169是13的整倍数，所以此方程有整数解； ，因为22，121的最大公约数是11，而324不是11的整倍数，所以此方程没有整数解；故答案： （2）由已知得： 设(为整数)，则 把代入得：所以方程组的解为 根据题意得：，解不等式组得：所以的整数解是-2，-1，0 故原方程所有的正整数解为：， （3）设2长的钢丝为根，3长的钢丝为根（为正整数） 根据题意得： 所以设(为整数)，则 根据题意得：，解不等式组得：所以的整数解是1，2，3，4 故所有的正整数解为： ，答：有四种不同的截法不浪费材料，分别为2长的钢丝12根，3长的钢丝2根；或2长的钢丝9根，3长的钢丝4根；或2长的钢丝6根，3长的钢丝6根；或2长的钢丝3根，3长的钢丝8根【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的整数解，理解题意，并掌握利用一元一次不等式组求二元一次方程的整数解的方法及是解题的关键