5.1导数的概念及其意义 课后练习(含答案)2023年新教材人教A版数学选择性必修第二册
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1、5.1导数的概念及其意义511变化率的问题练习1求问题1中高台跳水运动员在时的瞬时速度1. 火箭发射后,其高度(单位:m)为求:(1)在这段时间里,火箭爬高的平均速度;(2)发射后第时,火箭爬高的瞬时速度【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据平均速度的计算公式求解;(2)根据导数的概念求解.【详解】(1)因为,所以在这段时间里,火箭爬高的平均速度为; (2)因为所以发射后第时,火箭爬高的瞬时速度.2. 一个小球从的高处自由下落,其运动方程为,求时小球的瞬时速度【答案】【解析】【分析】根据瞬时速率计算即可.【详解】由题意知:当时,小球的瞬时速度为练习3. 你认为应该怎样定义抛物线在点
2、处的切线?试求抛物线在点处切线的斜率【答案】切线的定义见解析,抛物线在点处切线的斜率为.【解析】【分析】利用切线的定义可得出抛物线在点处的切线的定义,然后利用导数的定义可求得抛物线在点处切线的斜率.【详解】在点的附任取一点,当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定的位置称为抛物线在点处的切线.抛物线在点处的切线的斜率为.4. 求抛物线在点处的切线方程【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,从而求出切线方程;【详解】解:因为,所以,所以,故切线方程为512导数的概念及其几何意义练习例1 设,求解:例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油
3、进行冷却和加热。已知在第x h时,原油的温度(单位:)为计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以同理可得在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为与说明在第2h附近,原油温度大约以的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以的速率上升一般地,反映了原油温度在时刻入附近的变化情况例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设t s时汽车的速度(单位:)为,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度,并说明它们的意义分析:瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率因此,在第2s与第6s时,汽车的瞬时加速度分别为,解:在第2s
4、和第6s时,汽车的瞬时加速度就是和根据导数的定义,所以同理可得在第2s与第6s时,汽车的瞬时加速度分别是与说明在第2s附近,汽车的速度每秒大约增加;在第6s附近,汽车的速度每秒大约减少 1在例2中,计算第与第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义5. 设,求【答案】【解析】【分析】根据导数的定义,即可求解.【详解】.6. 一质点A沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式,求质点A在时的瞬时速度【答案】10.8【解析】【分析】位移对时间的导数,即速度,代入,即可求得瞬时速度.【详解】由题知,当时,故质点A在时的瞬时速度为10.87. 设函数求:(1)当自变量x由1变到1.
5、1时,函数的平均变化率;(2)函数在处的导数【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出自变量的改变量,求出函数值的改变量,由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案(2)先求导,再代入求值即可【详解】解:(1)解:,所以函数的平均变化率为(2),例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象根据图象,请描述、比较曲线在,附近的变化情况 图5.1-6解:我们用曲线从在,处的切线斜率,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况(1)当时,曲线在处的切线平行于t轴,这时,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降(2)当时,曲线在处的切线的斜率这时,在附近曲线下降,即函
6、数在附近单调递减(3)当时,曲线在处的切线的斜率这时,在附近曲线下降,即函数在附近也单调递减从图5.1-6可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度(单位:)随时间t(单位:)变化的函数图象根据图象,估计,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1) 图5.1-7解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率如图5.1-7,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作处的切线,并在切线
7、上取两点,如,则该切线的斜率,所以表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值 表5.1-3t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率040练习1根据图5.16,描述曲线在,附近增(减)以及增(减快慢情况8. 函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图象可知函数是单调递增的,从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的,所以其导函数是单调递减的,进而可得结果.【详解】由图象可知函数是单调递增的,所以,均为正. 从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的,因此该函数的导函数是单调递减的,所以有.故选:
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