6.3二项式定理 课后练习(含答案)2023年新教材人教A版数学选择性必修第三册
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1、6.3二项式定理6.3.1二项式定理例1求的展开式.解:根据二项式定理,.例2(1)求的展开式的第4项的系数;(2)求的展开式中的系数.解:(1)的展开式的第4项是.因此,展开式第4理的系数是280.(2)的展开式的通项是.根据题意,得,.因此,系数是.练习1. 写出的展开式.【答案】【解析】【分析】直接根据二项式定理展开即可;【详解】解:2. 求的展开式的第3项.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式代入即可.【详解】的展开式的第项为当时,3. 写出的展开式的第项.【答案】【解析】【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解.【详解】根据二项式展开式的通项公式可知,即展开式的第项为4
2、. 的展开式的第6项的系数是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先写出二项式展开式的通项,通过通项求解.【详解】由题得,令r=5,所以,所以的展开式的第6项的系数是.故选C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.5. 在的展开式中,含的项的系数是_.【答案】-15.【解析】【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个,1个常数即可写出含的项,则可得到答案.【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个,1个常数,所以含的项为.所以展开式中,含的项的系数是-15.6.3.2二项式系数的性质例3求证:在的展开式中,奇数项的二项式系
3、数的和等于偶数项的二项式系数的和.分析:奇数项的二项式系数的和为,偶数项的二项式系数的和为.由于中a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和.证明:在展开式中,令,则得.即.因此,即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.练习6. 填空题(1)_;(2)_.【答案】 . 1024 . 【解析】【分析】根据组合数的性质计算即可.【详解】(1)由组合数的性质可得;(2)由组合数的性质知,所以.故答案为:1024;7. 证明:(n是偶数).【答案】证明见解析【解析】【分析】由分别令和可得.【详解】,令,得,令,得,两式相加得,.8. 写出n从1
4、到10的二项式系数表.【答案】见解析【解析】【分析】利用二项式定理求解即可【详解】解:n从1到10的二项式系数表:9. 若一个集合含有n个元素,则这个集合共有多少个子集?【答案】【解析】【分析】根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案.【详解】对于集合中的任意一个元素,它与子集的关系都有且仅有两种选择:“属于”与“不属于”,由分布乘法计数原理,集合中的n个元素在子集中的情况共有种,故这个集合共有个子集.习题6.3复习巩固1.选择题10. 在的展开式中,含的项的系数是( )A. 74B. 121C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据,利用通项公式得到含的项为:,进而得到
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