7.4二项分布与超几何分布 课后练习(含答案)2023年新教材人教A版数学选择性必修第三册
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1、7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在内的概率.分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验.因此,正面朝上的次数以从二项分布.解:设“正面朝上”,则.用X表示事件A发生的次数,则.(1)恰好出现5次正面朝上等价于,于是;(2)正面朝上出现的频率在内等价于.于是.例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下
2、落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,10,用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.分析:小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布.解:设“向右下落”,则“向左下落”,且.因为小球最后落入格子号码X等于事件A发生的次数,而小球在下
3、落的过程中共碰撞小木钉10次,所以.于是,X的分布列为,1,2,10.X的概率分布图如图所示.例3甲乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利?分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.解法1:采用3局2制,甲最终获胜有两种可能的比分20或21,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲乙各胜一局且第3局甲
4、胜.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为.类似地,采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分30,31或32.因为每局比赛的结果是独立的,所以甲最终获胜的概率为.解法2:采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X表示3局比赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为.采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用X表示5局比赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为.因为,所以5局3胜制对甲有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.练习1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列;(2)_,_.【答案】(1)分布列见解析;(2);.【解析】【分析】(1)由已知可得随机
5、变量,根据二项分布的概率,即可求出分布列;(2)利用二项分布的期望和方差公式,即可求出结论.【详解】(1)一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为,且每次是否正面朝上是相互独立,所以,所以X的分布列为:(2)根据(1),所以.2. 鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率;(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用二项分布的概率计算公式即可求解.(2)利用二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】(1)由题意可得鸡接种一种疫苗后,感染某种病毒的概率为,没有鸡感染病毒为事件,则.(2)恰好有1只鸡感染
6、病毒为事件,3. 判断下列表述正确与否,并说明理由:(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数;(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中的次品数.【答案】(1)表述正确,理由见解析; (2)表述错误,理由见解析.【解析】【分析】(1)每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验,故符合二项分布的概念;(2)不放回的随机抽取,概率不同,不符合二项分布的概念.【详解】(1)该表述正确,理由如下:12道四选一的单选题,随机猜结果,则每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验,故猜对答案的题目数X B (12, 0.25
7、).(2)该表述错误,理由如下:因为是不放回的随机抽取,所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响,故不能看成独立重复试验,故次品数Y不符合二项分布.4. 举出两个服从二项分布的随机变量的例子.【答案】例子见解析.【解析】【分析】二项分布应满足如下3个条件:在每次试验中只有2种可能的结果,而且两种结果发生与否互相独立;相互独立,与其它各次试验结果无关;事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变.从而举出实例即可.【详解】例(1):某同学投篮命中率为0.7,他在10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,服从二项分布,;例(2):抛硬币,正面向上的概率为0.5,则抛20次,证明向上的次数X是一个随机变
8、量,服从二项分布,;7.4.2超几何分布例4从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.解:设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超几何分布,且,.因此甲被选中的概率.例5一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.解:设抽取的10个零件中不合格品数为X,则X服从超几何分布,且,.X的分布列为,1,2,3.至少有1件不合格的概率为.也可以按如下方法求解;.例6一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求
9、X的分布列;(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率:分析:因为只有两种颜色的球,每次摸球都是一个伯努利和试验.摸出20个球,采用有放回摸球,各次试验的结果相互独立,;上采用不放回摸球,各次试验的结果不独立,X服从超几何分布.解:(1)对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为0.4,且各次试验之间的结果是独立的,因此,X的分布列为,1,2,20.对于不放回摸球,各次试验结果不独立,X服从超几件分布,X的分布列为,1,2,20.(2)利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到0.0001),如7.4-2所示.表7.4-2kk00.
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