8.3列联表与独立性检验 课后练习(含答案)2023年新教材人教A版数学选择性必修第三册
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1、8.3列联表与独立性检验8.3.1 分类变量与列联表例1 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取88名学生通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异解:用表示两所学校的全体学生构成的集合考虑以为样本空间的古典概型对于中每一名学生,定义分类变量X和Y如下:我们将所给数据整理成表8.3-2表8.3-2 单位:人学校数学成绩合计不优秀()优秀()甲校()331043乙校()38745合计711788表8.3-2是关于分类变量X和Y的抽样数据的列联表:最后一行的前两个数分别是事件
2、和的频数;最后一列的前两个数分别是事件和的频数;中间的四个格中的数是事件的频数;右下角格中的数是样本容量因此,甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为和;乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀频率分别为和我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果,如图8.3-1所示图8.3-1在图8.3-1中,左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率;右边的翥色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率通过比较发现,两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异,甲校的频率明显高于乙校的频率依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断也就是说,
3、如果从甲校和乙校各随机选取一名学生,那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率因此,可以认为两校学生的数学成绩优秀率存在差异,甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高练习1. 成语“名师出高徒”可以解释为“知名老师指导出高水平学生的概率较大”,即教师的名声与学生的水平之间有关联你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗?【答案】答案见解析.【解析】【分析】先分析教师的水平与学生的水平成正相关关系,再根据相关关系的定义举例子即.【详解】成语“名师出高徒”的意思说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生,所以教师的水平与学生的
4、水平成正相关关系,生活中这样的成语有很多,如龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞、虎父无犬子、心宽体胖等.2. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平,采用简单随机抽样的方法抽取88名学生通过测验得到了如下数据:甲校43名学生中有10名数学成绩优秀;乙校45名学生中有7名数学成绩优秀试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异.【答案】两校学生数学成绩优秀率之间存在差异,甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.【解析】【分析】分别求出甲校和乙校所抽取的样本的优秀率,依据频率稳定于概率的原理,用样本情况去估计总体,得到答案.【详解】甲校抽取的43名学生中有10名数学成绩优秀,所以甲校数学成绩的优秀的频
5、率为,乙校抽取的45名学生中有7名数学成绩优秀,所以乙校数学成绩的优秀的频率为,甲校的频率明显高于乙校的频率,依据频率稳定于概率的原理,我们可以推断,如果从甲校和乙校各随机抽取一名学生,那么甲校学生的数学成绩优秀的概率大于乙校学生的数学成绩优秀的概率,因此,可以认为两校学生数学成绩优秀率之间存在差异,甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高.3. 根据有关规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语那么:(1)吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题?(2)有人说吸烟不一定引起健康问题,因此可以吸烟这种说法对吗?【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析【解析】【分析】(1)根据概率的定义说明(2
6、)根据概率的定义说明【小问1详解】“吸烟有害健康”的这个警示语只是说明吸烟有可能对健康有害,但不一定会对每位烟民引发健康问题【小问2详解】“吸烟不一定引起健康问题”只是说可能对某些人不会引起健康问题,不是说可以吸烟因此这种说法不对4. 假设在本小节“问题”中,只是随机抽取了44名学生,按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表:单位:人性别锻炼合计不经常经常女生51520男生61824合计113344(1)据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性;(2)说明你的推断结论是否可能犯错,并解释原因【答案】(1)性别因素不会影响学生锻炼的经常性,理由见解析. (2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由
7、列联表分别求出女生和男生中经常体育锻炼的概率即可判断;(2)由样本的随机性和样本容量分析即可.【小问1详解】由列联表可知:女生中经常体育锻炼的概率为,不经常体育锻炼的概率为,男生中经常体育锻炼的概率为,不经常体育锻炼的概率为,由于男生和女生经常体育锻炼的概率都为,所以性别因素不会影响学生锻炼的经常性.【小问2详解】因为样本具有随机性,并且由样本估计总体时,样本容量较小,犯错误概率较大.8.3.2 独立性检验例2 依据小概率值的独立性检验,分析例1中的抽样数据,能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异?解:零假设为:分类变量X与Y相互独立,即两校学生的数学成绩优秀率无差异根据表8.3-2中的数
8、据,计算得到根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断出不成立,因此可以认为成立,即认为两校的数学成绩优秀率没有差异例3 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查,得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名,其中未治愈15名,治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名,其中未治愈6名,治愈63名试根据小概率值的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好解:零假设为:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异将所给数据进行整理,得到两种疗法治疗数据列联表,如表8.3-5表8.3-5 单位:人疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计211
9、15136根据列联表中的数据,经计算得到根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即认为两种疗法效果没有差异例4 为研究吸烟是否与肺癌有关,某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了9965人,得到成对样本观测数据的分类统计结果,如表8.3-6所示依据小概率值的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险 表8.3-6 单位:人吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者209949 2148合计9874919965解:零假设为:吸烟与患肺癌之间无关联根据列联表中的数据经计算得到根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为吸烟与患肺癌有关联
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