【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题1:二次函数(含解析)
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1、专题 1 二次函数题型一 二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线 y x22 x3,有下列四个结论:它的对称轴为 x1;它的顶点坐标为(1,4);它与 y 轴的交点坐标为(0,3),与 x 轴的交点坐标为(1,0)和(3,0);当 x0 时, y 随 x 的增大而减小其中正确的个数为( C )A1 B2 C3 D4【解析】 对称轴为 x 1,正确;b2a 22( 1) y x22 x3( x1) 24,它的顶点坐标为(1,4),正确; y x22 x3,当 x0 时, y3,当 y0 时, x22 x30, x11, x23, y x22 x3 与 y 轴的交点坐标为(0,3),与 x 轴的交
2、点坐标为(1,0)和(3,0),正确; a10,当 x1 时, y 随 x 的增大而减小,错误故正确的选项有三个【点悟】 二次函数的性质,常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值),增减性等角度分析变式跟进1小张同学说出了二次函数的两个条件:(1)当 x1 时, y 随 x 的增大而增大;(2)函数图象经过点(2,4)则符合条件的二次函数表达式可以是( D )A y( x1) 25 B y2( x1) 214C y( x1) 25 D y( x2) 2202求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标(1)y4 x224 x35;(2)y3 x26 x2;(3)y x2 x3;(4)
3、y2 x212 x18.解:(1) y4 x224 x35,对称轴是直线 x3,顶点坐标是(3,1),解方程 4x224 x350,得 x1 , x2 ,52 72故它与 x 轴交点坐标是 , ;(52, 0)( 72, 0)(2) y3 x26 x2,对称轴是直线 x1,顶点坐标是(1,5),解方程3 x26 x20,得 x11 , x21 ,153 153故它与 x 轴的交点坐标是 , ;(1153, 0)(1 153, 0)(3) y x2 x3,对称轴是直线 x ,顶点坐标是 ,12 (12, 114)解方程 x2 x30,无解,故它与 x 轴没有交点;(4) y2 x212 x18,
4、对称轴是直线 x3,顶点坐标是(3,0),当 y0 时,2 x212 x180, x1 x23,它与 x 轴的交点坐标是(3,0)题型二 二次函数的平移例 2 将抛物线 y2 x21 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线表达式为( C )A y2( x1) 2 B y2( x1) 22C y2( x1) 22 D y2( x1) 21【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化,只要确定平移前、后的顶点坐标,就可以确定抛物线的平移规律变式跟进3将抛物线 y2 x24 x5 的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,所得抛物线表达式是( C )A y2
5、( x1) 27 B y2( x1) 26C y2( x3) 26 D y2( x1) 26题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 2016宁夏若二次函数 y x22 x m 的图象与 x 轴有两个交点,则 m 的取值范围是_ m1_【解析】 二次函数 y x22 x m 的图象与 x 轴有两个交点, 0,44 m0, m1.【点悟】 抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x 轴的交点的横坐标 x1, x2,就是方程ax2 bx c0( a0)的两个根,判断抛物线与 x 轴是否有交点,只要判断 b24 ac 与 0 的大小即可变式跟进4已知二次函数 y x22 x m(m 为常数
6、)的图象与 x 轴的一个交点为(1,0),则关于 x的一元二次方程 x22 x m0 的两个实数根是( D )A x11, x22 B x11, x23C x11, x22 D x11, x23【解析】 二次函数 y x22 x m(m 为常数)的对称轴是 x1,(1,0)关于 x1 的对称点是(3,0)则一元二次方程 x22 x m0 的两个实数根是 x11, x23.52017高邮二模如图 1,二次函数 y1 ax2 bx c 与一次函数 y2 kx 的图象交于点 A和原点 O,点 A 的横坐标为4,点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称,点 B 的横坐标为 1,则满足 0 y1 y2的
7、 x 的取值范围是_4 x3_图 1 第 5 题答图【解析】 如答图所示,点 A 的横坐标为4,点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称,点 B的横坐标为 1,抛物线的对称轴为 x ,二次函数 y1 ax2 bx c 与一次函数32y2 kx 的图象交于点 A 和原点 O, C 点坐标为(3,0),则满足 0 y1 y2的 x 的取值范围是4 x3.题型四 二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图 2,已知二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴的交点 B 在(0,2)和(0,1)之间(不包括这两点),对称轴为直线 x1.下列结论: abc0;
8、4 a2 b c0;4 ac b28 a; a ; b c.13 23其中含所有正确结论的选项是( D )图 2A BC D【解析】 函数开口方向向上, a0,对称轴在原点右侧, ab 异号,抛物线与y 轴交点在 y 轴负半轴, c0, abc0,故正确;图象与 x 轴交于点 A(1,0),对称轴为直线 x1,图象与 x 轴的另一个交点为(3,0),当 x2 时, y0,4 a2 b c0,故错误;图象与 x 轴交于点 A(1,0),当 x1 时, y(1) 2a b(1) c0, a b c0,即 a b c, c b a,对称轴为直线 x1, 1,即b2ab2 a, c b a(2 a)
9、a3 a,4 ac b24 a(3 a)(2 a)216 a20.8 a0,4 ac b28 a,故正确;图象与 y 轴的交点 B 在(0,2)和(0,1)之间,2 c1,23 a1, a ,故正确;23 13 a0, b c0,即 b c,故正确【点悟】 二次函数 y ax2 bx c(a0),二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时,抛物线向上开口;当 a0 时,抛物线向下开口;| a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置当 a 与 b 同号时(即 ab0),对称轴在 y 轴左侧;当 a 与 b 异号时(即 ab0),
10、对称轴在 y 轴右侧(简称:左同右异)常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点,抛物线与 y 轴交于(0, c)变式跟进62016孝感如图 3 是抛物线 y ax2 bx c(a0)的部分图象,其顶点坐标为(1, n),且与 x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间则下列结论: a b c0; 3 a b0; b24 a(c n);一元二次方程 ax2 bx c n1 有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是( C )图 3A1 B2 C3 D4【解析】 抛物线与 x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x1,抛物线与 x 轴的另一个交点在点(2,0)和(1,0
11、)之间当 x1 时,y0,即 a b c0,正确;抛物线的对称轴为直线 x 1,即 b2 a,3 a b3 a2 a a,错误;b2a抛物线的顶点坐标为(1, n), n, b24 ac4 an4 a(c n),正确;4ac b24a抛物线与直线 y n 有一个公共点,抛物线与直线 y n1 有 2 个公共点,一元二次方程 ax2 bx c n1 有两个不相等的实数根,正确题型五 二次函数的实际应用例 5 2016潍坊旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数,发现每天的运营规律如下:当 x 不超过 10
12、0 元时,观光车能全部租出;当 x 超过 100 元时,每辆车的日租金每增加 5 元,租出去的观光车就会减少 1 辆,已知所有观光车每天的管理费是 1 100 元(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入租车收入管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时,每天的净收入最多?解:(1)由题意知,若观光车能全部租出,则 0 x100,由 50x1 1000,解得 x22, x 是 5 的倍数,每辆车的日租金至少为 25 元;(2)设每天的净收入为 y 元,当 0 x100 时, y150 x1 100, y1随 x 的增大而增大,当 x100
13、 时, y1的最大值为 501001 1003 900.当 x100 时, y2 x1 100 x270 x1 100 (x175) 25 025.(50x 1005 ) 15 15当 x175 时, y2的最大值是 5 025,5 0253 900,当每辆车的日租金为 175 元时,每天的净收入最多,最多收入是 5 025 元【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题,实际上就是求函数的最大值(或最小值)解题时,要先根据题目提供的条件确定函数关系式,并将它配成顶点式, y a(x h)2 k,再根据二次函数的性质确定最大值或最小值变式跟进72016杭州把一个足球垂直水平地面向上踢,时间
14、 t(s)与该足球距离地面的高度 h(m)适用公式 h20 t5 t2(0 t4)(1)当 t3 时,求足球距离地面的高度;(2)当足球距离地面的高度为 10 m 时,求 t 的值;(3)若存在实数 t1, t2(t1 t2),当 t t1或 t2时,足球距离地面的高度都为 m(m),求 m 的取值范围解:(1)当 t3 时, h20 t5 t215(m),此时足球离地面的高度为 15 m;(2) h10,20 t5 t210,即 t24 t20,解得 t2 或 t2 ,2 2经过 2 或 2 s 时,足球距离地面的高度为 10 m;2 2(3) m0,由题意得 t1和 t2是方程 20t5
15、t2 m 的两个不相等的实数根, b24 ac20 220 m0,解得 m20, m 的取值范围是 0 m20.题型六 二次函数的综合题例 6 2017浙江月考如图 4,抛物线 C1: y x22 x 的顶点为 A,与 x 轴的3 3正半轴交于点 B.(1)将抛物线 C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍,求变换后得到的抛物线的表达式;(2)将抛物线 C1上的点( x, y)变为( kx, ky)(|k|1),变换后得到的抛物线记作 C2,抛物线C2的顶点为 C,求抛物线 C2的表达式(用 k 表示);(3)在(2)条件下,点 P 在抛物线 C2上,满足 S PAC S ABC,且
16、ACP90.当 k1 时,求k 的值图 4 例 6 答图解:(1) y x22 x (x1) 2 ,3 3 3 3抛物线 C1经过原点 O,点 A(1, )和点 B(2,0)三点,3将抛物线 C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍,变换后的抛物线经过原点 O,(2,2 )和(4,0)三点3设变换后抛物线的表达式为 y ax2 bx,将(2,2 )和(4,0)代入,3得 解得4a 2b 23,16a 4b 0, ) a 32,b 23, )变换后抛物线的表达式为 y x22 x;32 3(2)抛物线 C1经过原点 O,点 A(1, )和点 B(2,0)三点,3将抛物线 C1上的点( x
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