2023年高考数学一轮复习《9.2椭圆》精练（含答案解析）

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1、9.2椭圆题组一 椭圆定义及应用1（2022高三下广东月考）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点若，则（）ABCD2（2021新高考）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|MF2|的最大值为（） A13B12C9D63（2022东北三省模拟）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（）A1BCD4（2022柳州模拟）已知A（3，1），B（3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为 5（2022合肥模拟）已知的内角，的对边分别为，若， ，则面积的取值范围为 6（2022佛山模拟）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 .7（2022郑州模拟）已知椭圆的左

2、、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|3，则F1PF2的面积为 8（2022贵州模拟）设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为 ， .9（2022株洲模拟）已知、是椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，若为直角三角形，则 10（2022奉贤模拟）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为 .11（2021岳阳模拟）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果 的中点在y轴上，那么 是 的 倍 12（2022新高考卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D

3、，E两点， 则ADE的周长是 题组二 椭圆的标准方程1（2022安徽合肥）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点PQ关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）ABCD2（2021四川自贡高三（文）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ）ABCD3（2022云南）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的

4、焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）ABCD4（2022海南）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与交于，两点若，则椭圆的方程为（ ）ABCD5（2021山西太原五中高三（文）已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）ABCD6（2022陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是 题组三 椭圆的离心率1（2021芜湖模拟）已知方程 表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率 （） ABCD2（2022安徽模拟）一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，

5、液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（）ABCD3（2022枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点若的最大值为，则椭圆C的离心率为（）ABCD4（2022柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（）ABCD5（2023高三上江汉开学考）已知椭圆：的两个焦点为，过的直线与交于A，B两点.若，则的离心率为（）ABCD6（2022岳阳模拟）已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（）ABCD7（2022湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F已知 ，记该椭圆的离心率为e，则（） ABCD8（

6、2022毕节模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD9（2022安徽模拟）已知椭圆）的左右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（）ABCD10（2022辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为 11（2022海宁模拟）如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率 题组四 直线与椭圆的位置关系1（2022四川成都）已知椭圆，过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若为锐角，则直线l的斜率k

7、的取值范围为（）ABCD2（2022全国专题练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（）A2BCD33（2022江苏省）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（）ABCD4（2022全国高三专题练习）直线和曲线的位置关系为_.5（2022全国专题练习）不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是_.6（2022全国高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为_.7（2022全国单元测试）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使PAB的面积等于12，这样的点P共有_个.8（2022云南）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的

8、标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.题组五 弦长及中点弦1（2022福建）已知直线，椭圆若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（）ABCD2（2021全国课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（）ABCD3（2022湖南永州市第一中学 ）已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（）ABCD4（2022广东）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为_.5（2022上海市 ）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为_.6（2022全国高三专题练习）

9、已知椭圆()与直线交于A、B两点，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为_7（2022江苏 ）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为_8（2022河北 ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 _9（2021黑龙江 ）已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是_.10 （2022湖南邵阳 ）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为_9.2椭圆9.2 椭圆题组一 椭圆定义及应用1（2022高三下广东月考）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点若，则（）ABCD【答案】C【解

10、析】椭圆的长半轴长为3，由椭圆的定义可知 ，由 ，可得 故答案为：C2（2021新高考）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|MF2|的最大值为（） A13B12C9D6【答案】C【解析】由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，则由基本不等式可得|MF1|MF2|，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.故答案为：C3（2022东北三省模拟）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（）A1BCD【答案】A【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即 ，又，所以，由，所以；故答案为：A4（2022柳州模拟）已知

11、A（3，1），B（3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为 【答案】9【解析】根据题意可得： a=4，b=，c=3， 则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3，0)，|PB|+|PF|=8，即|PB| =8-|PF|，即点A在椭圆内， |PA|+ |PB|= |PA|-|PF|+816，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0a16，所以，舍去；若曲线是双曲线，则a2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.11（2021岳阳模拟）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果 的中点在y轴上，那

12、么 是 的 倍 【答案】5【解析】由题得 ， 由题得 轴，当 时， ，所以 ,所以 ,所以 是 的5倍.故答案为：512（2022新高考卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则ADE的周长是 【答案】13【解析】椭圆离心率为，则a=2c，可设C：， 则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c， 则AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率， 由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由 椭圆性质得ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a， 设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为， 与椭

13、圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0， 则， 则， 解得， 即ADE的周长=4a=13 故答案为：13题组二 椭圆的标准方程1（2022安徽合肥）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点PQ关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以故选：A2（2021四川自贡高三（文）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（

14、 ）ABCD【答案】B【解析】焦点F1，F2在y轴上，可设椭圆标准方程为，由题意可得，即，F2AB的周长为32，4a32，则a8，故椭圆方程为故选：B3（2022云南）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设椭圆的标准方程为()，焦距为，则：解得故选：D4（2022海南）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与交于，两点若，则椭圆的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】，所以可得，又因为，所以可得，即为短轴的顶点，设为

15、短轴的上顶点，所以，所以直线的方程为：，由题意设椭圆的方程为：，则，联立，整理可得：，即，可得，代入直线的方程可得，所以，因为，所以，整理可得：，解得：，可得，所以椭圆的方程为：，故选：D5（2021山西太原五中高三（文）已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】、，是与的等差中项，则，即，点在以、为焦点的椭圆上，因此，椭圆的方程是.故选：B.6（2022陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是 【答案】【解析】由已知，所以，则，设椭圆上的任一点的坐标为，则，若，则当时，由得，满足题意，此时，椭圆

16、方程为，若，则时，则，即，但时，无解综上，椭圆方程为故答案为：题组三 椭圆的离心率1（2021芜湖模拟）已知方程 表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率 （） ABCD【答案】B【解析】因为方程 表示椭圆，所以 ， ，所以 ，所以 ，因为焦距为 ，所以 ，解得 ，所以 ， 所以 故答案为：B2（2022安徽模拟）一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】当液面倾斜至如图所示位置时， 设，.因为圆柱底面积为，故液体体积为，解得，即，故，所以，即，所以离心率，

17、即椭圆离心率的取值范围是.故答案为：3（2022枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点若的最大值为，则椭圆C的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】根据对称性，不妨设点在第一象限且坐标为，如图，记直线与轴的交点为，设，则，由于，故，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，整理得，所以，解得，所以，即椭圆C的离心率为.故答案为：D4（2022柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（）ABCD【答案】C【解析】因为椭圆的方程为，即，故，又，故.故答案为：C.5（2023高三上江汉开学考）已知椭圆：的两个焦点为，过的直线与交于A，B两点.若，则的离心率为（）AB

18、CD【答案】C【解析】设，则，. 由椭圆的定义可知，所以，所以，.在ABF1中，.所以在AF1F2中，即整理可得：，所以故答案为：C6（2022岳阳模拟）已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（）ABCD【答案】A【解析】由题意得是等边三角形，则直线的倾斜角为，其斜率为，故直线的方程为，代入椭圆方程整理得，其判别式，化简可得，则，又，所以，故答案为：A.7（2022湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F已知 ，记该椭圆的离心率为e，则（） ABCD【答案】C【解析】根据角平分线定理 ， 结合 及离心率 有 ，化简得 设

19、 又 ， ，当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，所以 。故答案为：C.8（2022毕节模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】由题知，所以直线的方程为， 因为，所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为联立，解得，因为为等腰三角形，所以，即，整理得：所以椭圆的离心率为故答案为：D.9（2022安徽模拟）已知椭圆）的左右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】连接，延长交轴于，则，又，所以，故，即，又，所以，即.故答案为：D.10（2022辽宁模拟）已知分别为椭圆的

20、左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为 【答案】【解析】由题可知，为直角三角形，直线过原点，故， 又，则，在中，即，又，解得：或（舍去）.故答案为：.11（2022海宁模拟）如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率 【答案】【解析】由题知： 令连接，所以，且，从而故答案为：题组四 直线与椭圆的位置关系1（2022四川成都）已知椭圆，过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】由题意设直线l的方程为，、，联立方程得，则，为锐角，则，即，

21、解得，又，故选：C2（2022全国专题练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（）A2BCD3【答案】B【解析】由题意联立方程组 ，解得或，因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，则 ,设过点C与AB平行的直线为 ，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大，联立，得： ，令判别式 ，解得 ，此时与间的距离也即是的边AB上的高为 ，所以的最大面积为 ，故选：B.3（2022江苏省）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（）ABCD【答案】A【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则所以 所以

22、椭圆上点P到直线的最短距离为 故选：A4（2022全国高三专题练习）直线和曲线的位置关系为_.【答案】相交【解析】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.5（2022全国专题练习）不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是_.【答案】【解析】方法一： 把直线代入椭圆1，化为其中(注意这个坑)，直线与椭圆1有公共点，恒成立，化简为上式对于任意实数都成立，解得实数的范围是 方法二：因为直线恒过定点所以代入得即因为是椭圆，所以故的取值范围是故答案为：6（2022全国高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为_.【答案】【解析】设与直线平行的直

23、线与椭圆相切，由得，由得，解得设直线与直线的距离为，当时，直线为，则，当时，直线为，则，因为，所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.故答案为：7（2022全国单元测试）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使PAB的面积等于12，这样的点P共有_个.【答案】2【解析】易知直线过点，则即为直线与椭圆交点，不妨设，设到直线的距离为，则，解得，作与直线平行且与椭圆相切的直线，设，联立椭圆方程化简得，由解得，则或，又因为与距离为，与距离为，故这样的点P共有2个.故答案为：2.8（2022云南）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线

24、与椭圆交于，两点，求弦长.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意设椭圆的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，所以，所以椭圆方程为，（2）因为直线过点且斜率为1，所以直线的方程为，设，将代入，得，整理得，所以，所以题组五 弦长及中点弦1（2022福建）已知直线，椭圆若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（）ABCD【答案】B【解析】由题意知，消去y，得，则，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B2（2021全国课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（）ABCD【答案】B【解析】设直线交双曲线于点、，则，由已知得

25、，两式作差得，所以，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.3（2022湖南永州市第一中学 ）已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（）ABCD【答案】B【解析】设，椭圆的左焦点为，点，且椭圆左焦点恰为的重心，两式相减得：将代入得：，即直线的斜率为，直线 过中点，直线的方程为所以直线的方程为.故选：B4（2022广东）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为_.【答案】【解析】由题意知：直线l的方程为，当时，所以，设，则则，整理得，所以，则的周长为.故答案为：.5（2022上海市 ）已知直线交椭

26、圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为_.【答案】【解析】由题意，设，因为的中点为，所以.又.于是，即所求直线的斜率为.故答案为：.6（2022全国高三专题练习）已知椭圆()与直线交于A、B两点，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为_【答案】【解析】由于的中点坐标为且满足直线方程，即有，解得，则的中点坐标为设，由得，则，的中点坐标为，即，则，即，故，又，解得，故椭圆方程为故答案为：7（2022江苏 ）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为_【答案】【解析】设直线与椭圆的交点为 为的中点， ；两点在椭圆上，则 两式相减得 ；则 ； ；故所求直线的方程为 ，即 ；故答案为：8（2022河北

27、）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为 _【答案】【解析】根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且，可以设该椭圆的标准方程为：，则，设点坐标为，点坐标为，有，可得：，又由直线的斜率为，则，的中点的坐标为，则、，代入中，可得，又由，则，故要求椭圆的标准方程为：；故答案为：9（2021黑龙江 ）已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是_.【答案】【解析】设，因为点是的中点，可得，由，两式相减得，即，所以直线的方程为，即.故答案为：.10（2022湖南邵阳 ）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设直线与椭圆交于，则.因为AB中点,则.又，相减得：.所以所以所以，所以，即离心率.故答案为：.