2023年高考数学一轮复习《7.4空间距离》精练(含答案解析)
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1、7.4 空间距离题组一 点线距1.(2022福建)在空间直角坐标系中,点,则到直线的距离为_2(2022北京二模)如图,已知正方体的棱长为1,则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 3(2022广东)如图,在棱长为4的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,点到直线的距离的最小值为_.题组二 点面距1(2022江苏)将边长为的正方形沿对角线折成直二面角,则点到平面的距离为_2(2022福建福州)如图,在正四棱柱中,已知,E,F分别为,上的点,且(1)求证:平面ACF:(2)求点B到平面ACF的距离3(2022河北邯郸)在直三棱柱中,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)若,求点到平面的距离.
2、4(2022四川成都)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,平面ABCD平面PAB,点E,F分别在线段CB,AP上,且,(1)求证:平面PCD;(2)若,求点D到平面EFP的距离5(2022云南保山)如图,在四棱锥,四边形正方形,平面,点是的中点(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离题组三 线线距1(2022全国课时练习)如图,多面体是由长方体一分为二得到的,点D是中点,则异面直线与的距离是_2(2022福建)如图,在正方体中,AB1,M,N分别是棱AB,的中点,E是BD的中点,则异面直线,EN间的距离为_.3(2022浙江)如图,正四棱锥的棱长均为2,点E为侧棱PD的中点若点M,N
3、分别为直线AB,CE上的动点,则MN的最小值为_4(2022湖北)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为_. 题组四 线面距 1(2022山东滨州)在棱长为的正方体中,直线BD到平面的距离为()ABCD2(2022山西)如图,在正方体中,为的中点(1)证明:平面AD1E(2)求直线到平面的距离;3(2022云南会泽县实验高级中学校)如图,在梯形ABCD中,平面ABCD,且,点F在AD上,且(1)求点A到平面PCF的距离;(2)求AD到平面PBC的距离题组五 面面距1(2022江苏)已知正方体的棱
4、长为,则平面与平面的距离为()ABCD2(2022云南)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,则A1B1到平面D1EF的距离是_3(2022上海)如图,在棱长为a的正方体中,E、F分别是、的中点则点A和点的距离为_,点到棱BC的距离为_,点E到平面的距离为_,到平面AEFD的距离为_4(2022广东)在棱长为的正方体中,、分别为、的中点(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面之间的距离5(2022天津河北)如图,在直三棱柱中,分别为,的中点,点在棱上,且,.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求平面与平面的距离.6(2022哈尔滨)已
5、知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离;(2)求平面与平面之间的距离.7.4 空间距离题组一 点线距1.(2022福建)在空间直角坐标系中,点,则到直线的距离为_【答案】【解析】依题意得,则到直线的距离为故答案为:2(2022北京二模)如图,已知正方体的棱长为1,则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系,则,设,则,动点P到直线的距离为,当时取等号,即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.3(2022广东)如图,在棱长为4的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,点到直线的距离的最小值为_.【答案】【解析】在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
6、因点P在线段上,则,向量在向量上投影长为,而,则点到直线的距离,当且仅当时取“=”,所以点到直线的距离的最小值为.故答案为:题组二 点面距1(2022江苏)将边长为的正方形沿对角线折成直二面角,则点到平面的距离为_【答案】【解析】记AC与BD的交点为O,图1中,由正方形性质可知,所以在图2中,所以,即如图建立空间直角坐标系,易知则则设为平面ABC的法向量,则,取,得所以点到平面的距离故答案为:2(2022福建福州)如图,在正四棱柱中,已知,E,F分别为,上的点,且(1)求证:平面ACF:(2)求点B到平面ACF的距离【答案】(1)证明见详解.(2).【解析】(1)以为坐标原点,为轴,为轴,为轴
7、建立空间直角坐标系,如下图所示:则,设面的一个法向量为,可得,即,不妨令则,平面.(2),则点到平面的距离为.3(2022河北邯郸)在直三棱柱中,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)若,求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析(2)【解析】(1)连结交于点,连结,因为点分别是的中点,所以,且,所以,即四边形是平行四边形,所以,且平面,平面,所以平面;(2)因为,则,,所以,所以,,因为,且,所以平面,因为,所以点到平面的距离为1,根据等体积转化可知,即,解得:,所以点到平面的距离为.4(2022四川成都)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,平面ABCD平面PAB,点E,F分别在线
8、段CB,AP上,且,(1)求证:平面PCD;(2)若,求点D到平面EFP的距离【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明:如图,取的中点,连接,在中,点,分别为,的中点,且在矩形中,点为的中点,且,且.四边形是平行四边形,又平面,平面,平面(2)解:四边形是矩形,平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,平面.平面,即就是点到平面的距离,平面,平面,所以平面,点到平面的距离等于点到平面的距离又,同理可证平面,即,且, 平面,平面.,即,点到平面的距离为5(2022云南保山)如图,在四棱锥,四边形正方形,平面,点是的中点(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【
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