第7章锐角三角函数 章末强化提优训练（含答案）2022-2023学年苏科版九年级数学下册

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1、第7章锐角三角函数一选择题(30分）1角，满足045，下列是关于角，的命题，其中错误的是（）A0sinB0tan1CcossinDsincos2如图在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边ABa，BCb，DAOx，则点C到x轴的距离等于（ ）Aacosx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dasinx+bsinx 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图3如图，已知O的直径AE10cm，BEAC，则AC的长为（）A5cmB5cmC5cmD6cm4如图在RtABC中，ABC90，tanBAC4，A（0

2、，a），B（b，0），点C在第四象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分BAC，则点C的坐标不能表示为（ ）A（4a+b，4b） B（2a+2c，8c8a）C（b4c，4b） D（2a2c，8c8a）5一次函数yx+b（b0）与yx1图象之间的距离等于3，则b的值为（）A2B3C4D66如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连接AP，过点B作BEAP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CHBE于点G，交AB于点H，连接HF，则cosCEP的值为（）ABCD7如图，在ABCD中，ABC45，BC4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个AEBF，当F点由D点向C点运动

3、时，下列说法正确的选项是（）AEBF的面积先由小变大，再由大变小AEBF的面积始终不变线段EF最小值为4ABCD 第7题图 第8题图 第9题图8如图，ABC中，ACB90，AB+BC8，tanA，点O、D分别是边AB、AC上的动点，则OC+OD的最小值为（）ABCD9、为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节已知，ABE=70，车轮半径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为( )(结果精确到1cm，参考数据：sin70

4、0.94，cos700.34，tan701.41）A90cmB86cmC82cmD80cm10已知直线l：ykx+b（k0）过点（，0）且与x轴相交夹角为30，P为直线l上的动点，A（，0）、B（3，0）为x轴上两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（） A（，2）B（1，）C（，3）D（2，）二填空题(30分)11.若为锐角，且sin，则tan_.12在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为，若ACa，BDb，则平行四边形ABCD的面积是_13、如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接若，则的值是_. 第13题图 第

5、14题图 第15题图 第16题图 14、如图所示为44的网格，每个小正方形的边长均为1，则四边形AECF的面积为_；tanFAE=_15、如图，在正方形中，点为边中点，连接，与对角线交于点，连接，且与交于点，连接，则下列结论：；其中正确的是_（填序号即可）16、如图，三角形纸片中，点D在边上，连接，使得，将这张纸片沿直线翻折，点C落在处，连接，且，若，则点A到直线的距离是_17矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB4，AD12，点E在AD边上，OE4，tanAEB18如图，点A，B，C都在O上，tanABC，将圆O沿BC翻折后恰好经过弦AB的中点D，则的值是 第18题图 第19题图 第20

6、题图19如图，在菱形纸片ABCD中，AB3，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tanEFG的值为20新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB10，BC12，CD5，tanB，那么边AD的长为 三.解答题（60分）21、（6分）计算：（1）sin30tan45+sin2602cos60 （2）22.（8分）如图，已知在ABC中，ABAC2，sinB，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CEBC，连结AE，F为线段AE的中点.求：（1）线段DE的长；（2）tanCAE的值.23.（8

7、分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足CF：FD1：3，连结AF并延长交O于点E，连结AD、DE.（1）求证：ADFAED；（2）若CF2，AF3，求tanE的值.24.（8分）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞架DEDFAEAFABAC长度363636368686（1）求AM的长（2）当BAC=104时，求AD的长（精确到1cm）备用数据：sin52=0.788，cos52=0.6157，tan52=1.279926.（8分）

8、如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD与点M，且使得ABECBP，如果AB2，BC5，APx（2x5），PMy（1）求y关于x的函数关系式；（2）当AP4时，求tanEBP的值26（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线yax+b与抛物线yax2+bx交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C的坐标为（a，b）（1）当点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，4）时，求C点的坐标（2）若抛物线yax2+bx如图所示，请求出点A、B的坐标（用字母a、b表示），并在所给图中标出点A，点B的位置（3）在（2）的图中，设抛物线yax2

9、+bx的对称轴与x轴交于点D，直线yax+b交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），且DEFC，若tanODE2，求b的取值范围 27（10分）请问读下列材料，并解答相应的问题角度正切值63.21.9763.31.9863.41.9963.52.0063.62.0163.72.02在RtABC中、如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA，这是我们熟悉的三角函数中关于正切的定义你不知道的是，世界上最早的正切函数表是由我国唐代一位叫做僧一行（683727）的僧人在其所著大衍历中首次创作的他通过某地影长的观测，求人阳天顶距进而求出该地各节气初日影长的方法，

10、并为此编制了0度到80度的正切函数表我们摘取了部分正切函数表，如右图所示，当角的度数是63.2度时，我们查表可知其对应的正切值为1.97，反之，如果已知一个角的正切值1.97，则这个角的度数是63.2度现已知矩形ABCD中，AD4、AB8，AC是对角线，点E是线段AB上的动点（点E不与A、B重合），点P是线段AC上的动点，（点P不与A、C重合）DPE90若AEAD，DPE90，测得DEP63.5，则查表可知tanDEP2.00，此时可求出线段PE（直接写出答案）若AE3，DPE90，若此时点P恰好是AC中点，请直接写出tanDEP2若AE的值不是3，那么在变化过程中，tanDEP是否发生变化？

11、请说明理由 参考答案一选择题(30分）1角，满足045，下列是关于角，的命题，其中错误的是（C）A0sinB0tan1CcossinDsincos解：045，A、0sin，是真命题，不符合题意；B、0tan1，是真命题，不符合题意；C、cossin，是假命题，符合题意；D、sincos，是真命题，不符合题意；故选：C2如图在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边ABa，BCb，DAOx，则点C到x轴的距离等于（A）Aacosx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dasinx+bsinx解：作CEy

12、轴于E，如图：四边形ABCD是矩形，CDABa，ADBCb，ADC90，CDE+ADO90，AOD90，DAO+ADO90，CDEDAOx，sinDAO，cosCDE，ODADsinDAObsinx，DECDcosCDEacosx，OEDE+ODacosx+bsinx，点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；故选：A 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图3如图，已知O的直径AE10cm，BEAC，则AC的长为（）A5cmB5cmC5cmD6cm解：连接EC，由圆周角定理得，EB，ACE90，BEAC，EEAC，CECA，ACAE5（cm），故选：B4如图在RtABC中，ABC90，tan

13、BAC4，A（0，a），B（b，0），点C在第四象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分BAC，则点C的坐标不能表示为（B）A（4a+b，4b） B（2a+2c，8c8a）C（b4c，4b） D（2a2c，8c8a）解：作CHx轴于H，AC交OH于Fy轴平分BAC，BAOFAO，ABOAOF90，AOAO，ABOAFO（ASA），OBOF，tanBAC4，CBH+ABH90，ABH+OAB90，CBHBAO，CHBAOB90，CBHBAO，4，BH4a，CH4b，C（b+4a，4b），由题意可证CHFBOD，FH4c，C（b4c，4b），BHOB+OF+FH4a，4c2b4a，b2a2c

14、，C（2a2c，8a8c），故选：B5一次函数yx+b（b0）与yx1图象之间的距离等于3，则b的值为（C）A2B3C4D6解：设直线yx1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD直线yx+b于点D，如图所示直线yx1与x轴交点为C，与y轴交点为A，点A（0，1），点C（，0），OA1，OC，AC，cosACOBAD与CAO互余，ACO与CAO互余，BADACOAD3，cosBAD，AB5直线yx+b与y轴的交点为B（0，b），AB|b（1）|5，解得：b4或b6b0，b4，故选：C6如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连接AP，过点B作BEAP于点E，延长CE交AD于点F，过

15、点C作CHBE于点G，交AB于点H，连接HF，则cosCEP的值为（D）ABCD解：连接EH四边形ABCD是正方形，CDABBCAD2，CDAB，BEAP，CGBE，CHPA，P为CD的中点，AHBH1AHPCPD1，AHBHCB，在RtABE中，AHHB，EHHB，HCBE，BGEG，CBCE2，CHCH，CBCE，HBHE，CBHCEH（SSS），HCEHCB，BH，PACH，CEPECHBCH，cosCEPcosBCH故选：D 7如图，在ABCD中，ABC45，BC4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（D）AEBF的

16、面积先由小变大，再由大变小AEBF的面积始终不变线段EF最小值为4ABCD解：过点C作CGAB于点G，则，AB与CG的值始终不变化，ABF的面积始终不变化，AEBF的面积2ABF的面积，AEBF的面积始终不变错误，正确；连接EF，与AB交于点H，四边形AEBF是平行四边形，AHBH，EHFH，当FHAB时，FH的值最小，EF2FH的值也最小，此时，FHCG，ABC45，CGAB，BGCG，BG2+CG2BC216，FH，线段EF最小值为EF2FH4正确，故选：D 第7题图 第8题图 第9题图8如图，ABC中，ACB90，AB+BC8，tanA，点O、D分别是边AB、AC上的动点，则OC+OD的

17、最小值为（D）ABCD解：作A关于BC的对称点A，连接AA，交BC于E，过C作CDAC于D，交AB于O，则OCCO，此时OC+OD的值最小，就是CD的长；ABC中，ACB90，tanA，tanA，AB+BC8，BC3，AB5，AC4，SABCBCACABCE，345CE，CE，CC2CE，CEOODA90，COEAOD，AC，CDCACB90，CDCACB，即CD，即OC+OD的最小值为是；故选：D9、为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节已知，ABE=70，车轮半

18、径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为( B )(结果精确到1cm，参考数据：sin700.94，cos700.34，tan701.41）A90cmB86cmC82cmD80cm解：过点C作CNAB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm， 在RtBCM中，ABE=70，sinABE=sin70=0.94CM56cmCN=CM+MN=30+56=86（cm）故选：B10已知直线l：ykx+b（k0）过点（，0）且与x轴相交夹角为30，P为直线l上的动点，A（，0）、B（3，0）为x轴上两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（A）

19、A（，2）B（1，）C（，3）D（2，）解：如图，直线l：ykx+b（k0）过点（，0）且与x轴相交夹角为30，OM，ONOM1，MN2，直线l为yx+1，OMOA，ANMN2，过A点作直线l的垂线，交y轴于A，则OAA60，OAOA3，AN2，ANAN，AA直线l，直线l平分AA，A是点A关于直线l的对称点，连接AB，交直线l于P，此时PA+PBAB，PA+PB时取到最小值，OA3，A（0，3），设直线AB的解析式为ymx+n，把A（0，3），B（3，0）代入得，解得，直线AB的解析式为yx+3由解得，P点的坐标为（，2），故选：A二填空题(30分)11.若为锐角，且sin，则tan_.解答

20、：为锐角，cos，tan，故答案为：.12在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为，若ACa，BDb，则平行四边形ABCD的面积是_absin_解：作DEAC于E，四边形ABCD是平行四边形，ODBDb，SADCSABC，在RtDOE中，DEODsinbsin，SADCACDEabsin，S四边形ABCD2SADCabsin，13、如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接若，则的值是_3_.解：直线yk1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，2），OC2，SOBC1，BD1，tanBOC，OD3，点B的坐

21、标为（1，3），反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，k2133 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14、如图所示为44的网格，每个小正方形的边长均为1，则四边形AECF的面积为_4_；tanFAE=_解：（1）（2）连接，过点作，垂足为点，故答案为：4，15、如图，在正方形中，点为边中点，连接，与对角线交于点，连接，且与交于点，连接，则下列结论：；其中正确的是_（填序号即可）解：四边形ABCD是正方形，点E是DC的中点，ABADBCCD，DECE，BCEADE90，ADEBCE（SAS）CBEDAE，BEAE，ADDC，ADFCDF45，DFDF，ADFCDF（SAS），DA

22、EDCF，DCFCBE，CBE+CEB90，DCF+CEB90，CHE90，CFBE，故正确；点为边中点， ，DAEDCFCBE，设，则，则，ADFCDF（SAS），FACF，解得，故正确；，DEHDEB，DEHBED，EDHDBE，DBE+CBE45，EDH+HDB45，HDBEBCECH，DCHBDH，即，故正确；，DAEDBH，DCHHDC，故错误， 故答案为：16、如图，三角形纸片中，点D在边上，连接，使得，将这张纸片沿直线翻折，点C落在处，连接，且，若，则点A到直线的距离是_解：过A作AMBD于M，延长BD交于N，过D作DEBC于E将这张纸片沿直线翻折BN垂直平分，ABD是等腰三角形

23、AMBD,AM点A到直线的距离是MN，DEBC在RtBCN中在RtDCN中解得即点A到直线的距离是故答案为：17矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB4，AD12，点E在AD边上，OE4，tanAEB或解：如图，过点O作OHAD于H，AB4，AD12，BD8，四边形ABCD是矩形，ACBD，AOBOODBD4，ABAOBO，ABO是等边三角形，BAO60，DAO30，又OHAD，OAOD，OHAO2，AHDH6，EH2，当点E在点H左侧时，AEAHEH4，tanAEB；当点E在点H右侧时，AEAH+HE8，tanAEB，故答案为：或18如图，点A，B，C都在O上，tanABC，将圆O沿BC

24、翻折后恰好经过弦AB的中点D，则的值是解：如图，连接AC，CD，过点C作CEAB于E设ADDB2aABCCBD，CACD，CEAD，AEEDa，BEDE+DB3a，tanABC，EC2a，BCa，故答案为： 第18题图 第19题图 第20题图19如图，在菱形纸片ABCD中，AB3，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tanEFG的值为解：如图，连接AE交GF于O，连接BE，BD，则BCD为等边三角形，E是CD的中点，BECD，EBFBEC90，RtBCE中，CEcos6031.5，BEsin603，RtABE中，AE，由折叠可得，AEG

25、F，EOAE，设AFxEF，则BF3x，RtBEF中，BF2+BE2EF2，（3x）2+（）2x2，解得x，即EF，RtEOF中，OF，tanEFG故答案为：20新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB10，BC12，CD5，tanB，那么边AD的长为9 解：如图，过端午A作AHBC于H，过点C作CEAD于E，连接AC在RtABH中，tanB，可以假设AH3k，BH4k，则AB5k10，k2，AH6，BH8，BC12，CHBCBH1284，AC2，B+D90，D+ECD90，ECDB，在RtCED中，tanECD，CD5，DE3，CE4，AE6，A

26、DAE+DE9故答案为：9三.解答题（60分）21、（6分）计算：（1）sin30tan45+sin2602cos60 （2）解：（1）原式（2） 原式 22.（8分）如图，已知在ABC中，ABAC2，sinB，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CEBC，连结AE，F为线段AE的中点.求：（1）线段DE的长；（2）tanCAE的值.解：（1）连结AD，ABAC，D为BC的中点，ADBC，ADB90，ABAC2，sinB，AD4，由勾股定理得：BD2，DCBD2，BC4，CEBC，CE4，DE2+46；（2）过C作CMAE于M，则CMACME90，在RtADE中，由勾股定理得；AE2

27、，由勾股定理得；CM2AC2AM2CE2EM2，(2)2AM242(2AM)2，解得：AM，CM，tanCAE23.（8分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足CF：FD1：3，连结AF并延长交O于点E，连结AD、DE.（1）求证：ADFAED；（2）若CF2，AF3，求tanE的值.解：（1）AB是O的直径，弦CDAB，DGCG，ADFAED，又FADAED，ADFAED；（2）CF：FD1：3，CF2，FD6，CDDF+CF8，CGDG4，FGCGCF2，由勾股定理得：AG，tanEtanADG.24.（8分）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内

28、两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞架DEDFAEAFABAC长度363636368686（1）求AM的长（2）当BAC=104时，求AD的长（精确到1cm）备用数据：sin52=0.788，cos52=0.6157，tan52=1.2799解：（1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）故AM的长为72cm；（2）AP平分BAC，BAC=104，EAD=BAC=52如图，过点E作EGAD于G，AE=DE=36，AG=DG，AD=2AG在AEG中，AGE=90AG=AEcosEAG=36cos52

29、=360.6157=22.1652，AD=2AG=222.165244（cm）故AD的长约为44cm26.（8分）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD与点M，且使得ABECBP，如果AB2，BC5，APx（2x5），PMy（1）求y关于x的函数关系式；（2）当AP4时，求tanEBP的值解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD2，ADBC5，AD90，ADBC，APBPBCABECBP，ABMAPB又AA，ABMAPB，即，yx（2x5）；（2）过点M作MNBP于N，如图所示：APx4，yx3，MP3，AM1，BM，BP2

30、，BMP的面积MPABBPMN，MN，BN，tanEBP.26（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线yax+b与抛物线yax2+bx交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C的坐标为（a，b）（1）当点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，4）时，求C点的坐标（2）若抛物线yax2+bx如图所示，请求出点A、B的坐标（用字母a、b表示），并在所给图中标出点A，点B的位置（3）在（2）的图中，设抛物线yax2+bx的对称轴与x轴交于点D，直线yax+b交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），且DEFC，若tanODE2，求b的取值范围 解：（1）A（1，0），B（1.4），代入：直线yax+b，

31、解得：a2，b2，直线y2x+2，抛物线解析式：y2x2+2x，C（2，2）；（2）联立直线yax+b与抛物线yax2+bx，得：ax2+（ba）xb0，（ax+b）（x1）0，解得：x，x1，A（1，a+b），B（，0）点A、点B的位置如图1所示；（3）由已知得，C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（，0），tanODE2，2，|2，解得：|2a|2，a0a1，DECF，CEDF，CEDF，由题意可得：1+a，整理得：b2a22a，a+b0，a+2a22a0，0a，b27（10分）请问读下列材料，并解答相应的问题角度正切值63.21.9763.31.9863.41.9963.52.0

32、063.62.0163.72.02在RtABC中、如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA，这是我们熟悉的三角函数中关于正切的定义你不知道的是，世界上最早的正切函数表是由我国唐代一位叫做僧一行（683727）的僧人在其所著大衍历中首次创作的他通过某地影长的观测，求人阳天顶距进而求出该地各节气初日影长的方法，并为此编制了0度到80度的正切函数表我们摘取了部分正切函数表，如右图所示，当角的度数是63.2度时，我们查表可知其对应的正切值为1.97，反之，如果已知一个角的正切值1.97，则这个角的度数是63.2度现已知矩形ABCD中，AD4、AB8，AC是

33、对角线，点E是线段AB上的动点（点E不与A、B重合），点P是线段AC上的动点，（点P不与A、C重合）DPE90若AEAD，DPE90，测得DEP63.5，则查表可知tanDEP2.00，此时可求出线段PE（直接写出答案）若AE3，DPE90，若此时点P恰好是AC中点，请直接写出tanDEP2若AE的值不是3，那么在变化过程中，tanDEP是否发生变化？请说明理由 解：如图，查表可知，tanDEP2.00，故cosDEP，AD4AE，在RtABE中，DE4，则PEDEsinDEP4；故答案为2.00，；DAEDPE90，D、A、E、P四点共圆，该圆的圆心为DE的中点，DACDEP，在RtABC中，tanDACtanDEP，即tanDEP2；由知，tanDEP2，不变