2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练15：数列的概念与简单表示法（含答案解析）

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1、重难点15 数列的概念与简单表示法1.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an2.形如an1anf(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出ana1与n的关系式，进而得到an的通项公式3.形如an1anf(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式4.已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)即可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2时的表达式合并5.在数列中有（均为常数且），

2、从表面形式上来看是关于的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般方法：设 则而 即 ，故数列是以为公比的等比数列，借助它去求6.求数列的最大项与最小项的常用方法(1)函数法，利用函数求最值(2)利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项(3)比较法：若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1；若有an1anf(n1)f(n)0，则an10，则an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1；若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递减数列，所以数列an的最大项为a1.2023年高考仍将以考查由递推公

3、式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.（建议用时：40分钟）一、单选题1已知数列满足，则当时，等于ABCD【答案】C【解析】由题设可知，.代入四个选项检验可知，故选C.2已知数列对任意的满足，且，那么等于ABCD【答案】C【解析】对任意的p，qN*，满足apqapaq，pqn时，有a2n2an又a26，a82a44a224，故a10a2a8303已知数列对任意的满足，且，那么等于ABCD【答案】C【解析】对任意的p，qN*，满足apqapa

4、q，pqn时，有a2n2an又a26，a82a44a224，故a10a2a8304已知数列满足， ，则（）ABCD【答案】B【解析】因为数列满足，由上可知，对任意的，.故选：B.5设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则ABCD【答案】C【解析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.6已知数列满足，则（）ABCD【答案】B【解析】，易得，依次类推可得由题意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；综上：故选：B二、填空题7数列满足，则_【答案】【解析】解：由已知得，所以，故答案为：8数列中，若=1，=2+3 （n1），则该数列的通项=_【答案】【解析】因为=

5、2+3，所以，即是等比数列，公比为2，首项为，所以，即.故答案为：.9若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an=_.【答案】；【解析】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得anan1，即=-2，故数列an是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1考点:等比数列的通项公式10设数列中，则通项 _【答案】【解析】 ，将以上各式相加得： 故应填；11设数列的通项公式为N*），则_【答案】【解析】.故答案为：58.12设数列是首项为1的正项数列，且，则它

6、的通项公式_.【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即 所以故答案为：13已知数列的前项和，则其通项_；若它的第项满足，则_【答案】 2n-10， 8【解析】当n=1时，,经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以.14已知数列，满足，则的通项【答案】【解析】当时，有两式作差可得，即则 两边同时相乘可得，整理，得当时，可化为所以.显然，时，满足，时，不满足所以故答案为：.15数列满足，前16项和为540，则 _.【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，.故答案为：.16已知数列各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3；为等比数列；为递减数

7、列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】由题意可知，当时，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，则，整理可得，因为，解得，对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，错；当时，可得，所以，数列为递减数列，对；假设对任意的，则，所以，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.三、解答题17记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）方法一：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为

8、首项，以为公差等差数列;方法二【最优解】： 由已知条件知于是由得又，由得令，由，得所以数列是以为首项，为公差的等差数列方法三：由，得，且，又因为，所以，所以在中，当时，故数列是以为首项，为公差的等差数列方法四：数学归纳法由已知，得，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且下面用数学归纳法证明当时显然成立假设当时成立，即那么当时，综上，猜想对任意的都成立即数列是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.18已知数列的前n项和满足(1)写出数列的前三项；(2)求数列的通项公式；【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：当时，有：；当时，有：；当时，有：；综上可知，；（2）解：由已知得：当时，化简得：上式可化为：当时，所以故数列是以为首项，公比为2的等比数列故数列的通项公式为：