2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练14：平面向量的数量积及其应用（含答案解析）

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1、重难点14 平面向量的数量积及其应用1平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .2设e是单位向量，且e与a的夹角为，则eaae|a|cos .3平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.4两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b

2、不共线5a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.2023年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中档题或难题，题型为选择或填空.（建议用时：40分钟）一、单选题1已知向量，则（）A2B3C4D52若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD3已知向量，那么等于（）ABC1D04已知向量满足，则（）ABC1D25已知向量，若，则（）ABC5D66已知非零向量，若与互相垂直，则（）AB4CD27设向量，则等于（）ABCD8已知是单位向量，.若向量满足（ ）ABCD9设为非零向量，且相互不共线，下列命题；

3、不与垂直；.其中真命题是（）ABCD10已知向量，满足，则（）A1BCD11在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD12是所在平面上一点，若，则是的（）A外心B内心C重心D垂心二、填空题13已知向量、，若，则_14设向量，的夹角的余弦值为，且，则_15在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM 2，则）的最小值是_16如图，在平行四边形ABCD中，则_.三、解答题17已知向量，且.(1)求的值；(2)求函数的值域.18设向量，函数(1)求函数的最大值与最小正周期；(2)求使不等式成立的的取值集合重难点14 平面向量的数量积及其应用1平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(

4、x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .2设e是单位向量，且e与a的夹角为，则eaae|a|cos .3平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.4两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线5a在b方向上的投影为，b在a方向上的投影为.2023年高考仍将重点单独或

5、与平面图形等知识结合重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中档题或难题，题型为选择或填空.（建议用时：40分钟）一、单选题1已知向量，则（）A2B3C4D5【答案】D【解析】因为，所以.故选：D2若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】A【解析】3已知向量，那么等于（）ABC1D0【答案】A【解析】，.故选：A.4已知向量满足，则（）ABC1D2【答案】C【解析】：，又9，故选：C.5已知向量，若，则（）ABC5D6【答案】C【解析】,即,解得,故选：C6已知非零向量，若与互相垂直，则（）AB4CD2【答案】D【解析】与互相垂直

6、，即，即.故选：D7设向量，则等于（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，故.故选：B.8已知是单位向量，.若向量满足（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.9设为非零向量，且相互不共线，下列命题；不与垂直；.其中真命题是（）ABCD【答案】D【解析】,即，因为，都是实数，所以等式左侧是与共线的向量，右侧是与共线的向量，一般不相等，故错误；根据向量的减法的几何意义可知正确，故正确；,故错误；由向量的数量积的运算可知 ,故正确；故选：D.10已知向量，满足，则（）A1BCD【答案】D【解析】

7、因为，所以，即，故.故选：D.11在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，所以，所以，其中，因为，所以，即；故选：D12是所在平面上一点，若，则是的（）A外心B内心C重心D垂心【答案】D【解析】因为，则，所以，同理可得，故是的垂心.故选：D.二、填空题13已知向量、，若，则_【答案】【解析】因为向量、， ，所以，解得，故答案为：.14设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【答案】【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：15在ABC中，O为中线AM上的一

8、个动点，若AM 2，则）的最小值是_【答案】【解析】因为M为中点，所以,且与夹角为，设，则，因为，所以当时，其最小值为16如图，在平行四边形ABCD中，则_.【答案】3【解析】令，则所以.三、解答题17已知向量，且.(1)求的值；(2)求函数的值域.【答案】(1)2；(2)【解析】（1）由题意得，因为，所以（2）由（1）知得因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值3，所以函数的值域是18设向量，函数(1)求函数的最大值与最小正周期；(2)求使不等式成立的的取值集合【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：由题意知，即，的最大值为，最小正周期（2）解：由（1）知，即，即，解得，即成立的的取值集合是