2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练16：等差数列及其前n项和（含答案解析）

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1、重难点16 等差数列及其前n项和1.通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)2.若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.3.若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.4.若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列5.若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列6.等差数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.7.若等差数列的项数为2n(nN*)，则S偶S奇nd，.8.若等差数列的项数为2n

2、1(nN*)，则S奇S偶an，(S奇nan，S偶(n1)an)9.若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.10.若Smn，Snm(mn)，则Smn(mn)11.由公式Snna1得a1dna1，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列an公差的一半12.等差数列与函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数当d0时，数列为递增数列；当d100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D1107图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意

3、图其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）A0.75B0.8C0.85D0.98等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和ABCD9设等差数列的前n项和为，若，则()A3B4C5D610已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（）A9B10C11D1211在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11A58B88C143D17612设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件二、填空题13将数列2

4、n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_14设是数列的前项和，且，则_15设是等差数列，且，则的通项公式为_16若等差数列满足，则当_时，的前项和最大三、解答题17记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值18为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.重难点16 等差数列及其前n项和1.通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)2.若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.3.若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公

5、差为2d.4.若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列5.若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列6.等差数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.7.若等差数列的项数为2n(nN*)，则S偶S奇nd，.8.若等差数列的项数为2n1(nN*)，则S奇S偶an，(S奇nan，S偶(n1)an)9.若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.10.若Smn，Snm(mn)，则Smn(mn)11.由公式Snna1得a1dna1，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列an公差的一

6、半12.等差数列与函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数当d0时，数列为递增数列；当d100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.7图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

7、）A0.75B0.8C0.85D0.9【答案】D【解析】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D8等差数列的公差是2，若 成等比数列，则的前 项和ABCD【答案】A【解析】试题分析：由已知得，又因为是公差为2的等差数列，故，解得，所以，故9设等差数列的前n项和为，若，则()A3B4C5D6【答案】C【解析】是等差数列又，公差，故选C10已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（）A9B10C11D12【答案】C【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，所以.对于，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11故选：C

8、11在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11A58B88C143D176【答案】B【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，12设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，取且，假设，令可得，且，当时，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时

9、，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.二、填空题13将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.14设是数列的前项和，且，则_【答案】【解析】原式为，整理为： ，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以 ，即 .15设是等差数列，且，则的通项公式为_【答案】【解析】设等差数列的公差为，16若等差数列满足，则当_时，的前

10、项和最大【答案】8【解析】试题分析：由等差数列的性质，又因为，所以所以，所以，故数列的前8项最大.三、解答题17记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【答案】（1）；（2），最小值为16【解析】（1）方法一：【通性通法】【最优解】 公式法设等差数列的公差为，由得，解得：，所以方法二：函数+待定系数法设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以 （2）方法1：邻项变号法由可得当，即，解得，所以的最小值为，所以的最小值为方法2：函数法由题意知，即，所以的最小值为，所以的最小值为18为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（）（）.