2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练12：解三角形（含答案解析）

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1、重难点12 解三角形1正弦定理(1)定理：在ABC中，2R（其中R为ABC的外接圆半径）。(2)运用方法适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)。列方程：。(3)变形：a2Rsin_A，sin A，abcsin_Asin_Bsin_C等等。2余弦定理(1)定理：在ABC中，a2b2c22bccos A，b2c2a22accos B，c2a2b22abcos_C。(2)运用方法适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)。列方程：a2b2c22bccos A或cos A。(3)变形：cos A，b2c2a22bccos A等等。3三角形面积公式(1)正弦定理推论：SABCabsin C

2、bcsin Aacsin B。(2)其他常用公式方法：S底高；SCr(C为周长，r为内切圆半径)等等。4.判断三角形的形状主要从两个角度考虑（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论。无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。 5.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等

3、形式出现的条件转化为三角函数式；（2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a =，b = 1，则c =（）ABC1D22在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）ABCD3如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）ABCD无解4的内角A，B，C的

4、对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，的面积为，则b=（ ）ABCD5魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为海岛算经.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（）A60米B61米C62米D63米6在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（）ABC1D7ABC

5、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D38在中，若，则的形状是 （ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定.9在中，角，的对边分别为，b，若，则角的值为（）ABC或D或10在中，内角，的对边分别是，若，且 ，则等于（）A3BC3或D-3或11在ABC中，则的取值范围是（ ）A（0，B，）C（0，D，）12知为 的三个内角 的对边，向量 若 ，且 ，则角的大小分别为 ABCD题号123456789101112答案二、填空题13在中，等于_14记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_15如图，在三棱锥P

6、ABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.16在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_三、解答题17在中，(1)求的值(2)设，求的面积18在中，（1）求；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长条件：；条件：的周长为；条件：的面积为.重难点12 解三角形1正弦定理(1)定理：在ABC中，2R（其中R为ABC的外接圆半径）。(2)运用方法适用情形：两角A，B及其对边a，b(知三求一)。列方程：。(3)变形：a2Rsin_A，sin A，abcsin_Asin_Bsin_C等等。2余弦

7、定理(1)定理：在ABC中，a2b2c22bccos A，b2c2a22accos B，c2a2b22abcos_C。(2)运用方法适用情形：三边a，b，c，任一内角A(知三求一)。列方程：a2b2c22bccos A或cos A。(3)变形：cos A，b2c2a22bccos A等等。3三角形面积公式(1)正弦定理推论：SABCabsin Cbcsin Aacsin B。(2)其他常用公式方法：S底高；SCr(C为周长，r为内切圆半径)等等。4.判断三角形的形状主要从两个角度考虑（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的

8、关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论。无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。 5.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；（2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中

9、档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a =，b = 1，则c =（）ABC1D2【答案】D【解析】解法一：（余弦定理）由得：，或（舍.解法二：（正弦定理）由，得：，从而，.故选：D2在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）ABCD【答案】A【解析】在中，根据余弦定理：可得 ，即由故.故选：A.3如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）ABCD无解【答案】D【解析】，无解.故选D.4的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，的面积为

10、，则b=（ ）ABCD【答案】B【解析】，成等差数列，平方得，又的面积为，且，故由，得，由余弦定理得，解得，又为边长，故选.5魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为海岛算经.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（）A60米B61米C62米D63米【答案】D【解析】解：根据题意，所

11、以，解得故选：D.6在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（）ABC1D【答案】D【解析】由正弦定理有.又,故.故选：D7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=A6B5C4D3【答案】A【解析】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A8在中，若，则的形状是 （ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定.【答案】A【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，所以三角形是钝角三角形，故选A.9在中，角，的对边分别为，b，若，则角的值为（）ABC或D或【答案】D【解析】解：，即，且有意义即

12、，在中，为或，故选：10在中，内角，的对边分别是，若，且 ，则等于（）A3BC3或D-3或【答案】A【解析】，故选：A.11在ABC中，则的取值范围是（ ）A（0，B，）C（0，D，）【答案】C【解析】由于，根据正弦定理可知，故又，则的范围为.故本题正确答案为C.12知为 的三个内角 的对边，向量 若 ，且 ，则角的大小分别为 ABCD【答案】C【解析】由可得即所以角，因为所以可得二、填空题13在中，等于_【答案】【解析】，由正弦定理可知，.故答案为：14记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【解析】由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.15如图，在三棱锥P

13、ABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案为：.16在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】方法一：【最优解】角平分线定义三角形面积公式基本不等式由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为：.方法二： 角平分线性质向量的数量积基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式因为，所以，化简得，即，亦即，所以，当且仅当，即时取等号方法三：解析法基本不等式如图5，以B为坐标原点，

14、所在直线为x轴建立平面直角坐标系设，因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以下同方法一方法四：角平分线定理基本不等式在中，同理根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得当时，下同方法一方法五：正弦定理基本不等式在与中，由正弦定理得在中，由正弦定理得所以，由正弦定理得，即，下同方法一方法六： 相似基本不等式如图6，作，交的延长线于E易得为正三角形，则由，得，即，从而下同方法一三、解答题17在中，(1)求的值(2)设，求的面积【答案】(1)；(2)【解析】（1），.（2）由正弦定理得：；.18在中，（1）求；（2）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长条件：；条件：的周长为；条件：的面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1），则由正弦定理可得，解得；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.