2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练22：空间中的平行与垂直关系（含答案解析）

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1、重难点22 空间中的平行与垂直关系1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.2.三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.3.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理垂直于平面的传递性面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质4.面面垂直判定的两种方法与一个

2、转化两种方法：()面面垂直的定义；()面面垂直的判定定理(a，a)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直5.面面垂直性质的应用两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面平行与垂直关系是高考的必考点。主要出现在解答题第一问的位置，点考查线面平行与垂直关系的证明；也可能出现在选择题，属于中档题。（建议用时：40分钟）一、单选题1已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）ABCD2在下列条件中，可判断平面与平行的

3、是（）A都垂直于平面B内存在不共线的三点到的距离相等Cl，m是内两条直线，且Dl，m是两条异面直线，且3过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（）A4条B6条C8条D12条4在正方体中，为棱的中点，则ABCD5如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A若则B若，则C若，则D若，则7如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A直线与直线垂直，直线平面B

4、直线与直线平行，直线平面C直线与直线相交，直线平面D直线与直线异面，直线平面8在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面9在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A平面PDFB平面PAEC平面平面ABCD平面平面10对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线，直线，使得；存在异面直线，使得，其中，可以判定与平行的条件有（）A1个B2个C3个D4个二、多选题11如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足的是（）ABCD12如图，在下列四个正方体中，A，B

5、为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（）ABCD三、填空题13过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有_条.14如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB/CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_15已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形若PA=2，则OAB的面积为_.16已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：若垂直于内的两条相交直线，则；若，则平行于内的所有直线；若，且，则；若，则；若，且，则；其中正确命题的序号是_（把你认为正确命

6、题的序号都填上）四、解答题17如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，、分别为、的中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求证：平面.18如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由重难点22 空间中的平行与垂直关系1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.2.三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化

7、规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.3.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理垂直于平面的传递性面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质4.面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法：()面面垂直的定义；()面面垂直的判定定理(a，a)一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直5.面面垂直性质的应用两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂

8、直于第三个平面平行与垂直关系是高考的必考点。主要出现在解答题第一问的位置，点考查线面平行与垂直关系的证明；也可能出现在选择题，属于中档题。（建议用时：40分钟）一、单选题1已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（）ABCD【答案】D【解析】A.，与相交，所以与异面，故A错误；B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；D.连结，所以平面，所以，故D正确.故选：D2在下列条件中，可判断平面与平行的是（）A都垂直于平面B内存在不共线的三点到的距离相等Cl，m是内两条直线，且Dl，m是两条异面直线，且【答案】D【解析】对于A，当，且时，满足

9、都平行于直线a，不能推出，故A不符题意；对于B，当，且在内直线b一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出，故B不符题意；对于C，当l与m平行时，不能推出，故C不符题意；对于D，因，则存在过直线的平面，于是得，则，因，则存在过直线的平面，于是得，则，又是两条异面直线，则是平面内的两条相交直线，所以，故D符合题意.故选：D.3过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（）A4条B6条C8条D12条【答案】D【解析】如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有12条.故选：D.4在正方体中，为棱的中点，则ABCD【答案】C【解析】画出正方体，如图所

10、示对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确对于选项C，连，则连，则得，所以平面，从而得，所以所以C正确对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确故选C5如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平

11、面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等6已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A若则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.7如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线相交，直线平面D直线与直线异面，直线平面【答案】A【解析】连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，平面，所以

12、，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.8在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】A【解析】在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；选项BCD解法一：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为， 则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.选项BCD解法二：

13、解：对于选项B，如图所示，设，则为平面与平面的交线，在内，作于点，在内，作，交于点，连结，则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，底面正方形中，为中点，则，由勾股定理可得，从而有：，据此可得，即，据此可得平面平面不成立，选项B错误；对于选项C，取的中点，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；故选：A.9在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A平面PDFB平面PAEC平面平面ABCD平面平面【答案】C【解析】如下图所示：对于A选项，、分别为、的中点，

14、平面，平面，平面，A选项正确；对于B选项，是等边三角形，为的中点，同理，平面，平面，平面，B选项正确；对于C选项，设，连接，假设面面成立，、分别为、的中点，且，则为的中点，由B选项知，平面，平面，若面面，面面，平面，平面，过点作平面，垂足为点，则为等边的重心，则，矛盾，所以面面不成立，C选项错误；对于D选项，由B选项知，平面，平面，平面平面，D选项正确.故选：C10对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线，直线，使得；存在异面直线，使得，其中，可以判定与平行的条件有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】若存在平面，使得，都垂直于

15、，则与平行或相交，故错误若存在平面，使得，都平行于，因为与是不重合的两个平面，所以与平行，故正确若存在直线，直线，使得，则与平行或相交，故错误；若存在异面直线，使得，则可以判定与平行可在面内作，因为，是异面直线，则与必相交又，即正确故选：B二、多选题11如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足的是（）ABCD【答案】BC【解析】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，则，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以平面

16、，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.12如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（）ABCD【答案】BCD【解析】对于选项A，OQAB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于ABCDMQ，结合线面平行判定定理可知AB平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于ABCDM

17、Q，结合线面平行判定定理可知AB平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于ABCDNQ，结合线面平行判定定理可知AB平面MNQ：故D正确；故选：BCD三、填空题13过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有_条.【答案】6【解析】过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条14如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB/CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_【答案】4【解析】因为

18、过EF作垂直于CD（AB）的平面垂直平分CD，所以该平面与过AB中点并与AB垂直的平面平行，和正方体的左右侧面平行，和正方体的前后侧面及上下底面相交，所以它与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.考点：该题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查空间直线与平面的平行与相交，考查空间想象能力和逻辑思维能力.15已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形若PA=2，则OAB的面积为_.【答案】【解析】如图所示， .可知PC为球O直径，取PC的中点为O，取AC的中点为，则，又， ，球半径.为等边三角形. .16已知两条不同直线、，两个不同平面、，给

19、出下列命题：若垂直于内的两条相交直线，则；若，则平行于内的所有直线；若，且，则；若，则；若，且，则；其中正确命题的序号是_（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】【解析】由直线与平面垂直的判定定理知l，故正确；若l，则l与内的直线平行或异面，故不正确；若m，l且lm，则与不一定垂直故不正确；若l，l，则由平面与平面垂直的判定定理知，故正确；若m，l且，则ml或m与l异面，故不正确故答案为四、解答题17如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，、分别为、的中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求证：平面.【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析.【解析】（），且为的中点，.底面为矩形，；（）

20、底面为矩形，.平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.又，、平面，平面，平面，平面平面；（）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.18如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD