2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练26：双曲线（含答案解析）

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1、重难点26 双曲线1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.4.若渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minca，|PF2|minca.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2的面积为.命题角度：（1）双曲线的定义及应用；（2）双曲线的标准方程；（3）双曲线的几何性质核心素养：直观想象、数学运算（建议用时：40分钟）一、单选题1双曲线的离心率为，则其渐近线方程

2、为ABCD2若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于A11B9C5D33已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为ABCD4双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABC D5已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）ABCD6已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为ABCD7若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（）ABCD8已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（）

3、ABC2D39设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为ABCD10已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为ABCD11设F为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC2D12已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=AB3CD4二、填空题13已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B

4、为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_.14已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_15已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_16已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题17已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程18已知双曲线C：（a0,b0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.（）求a,b；（

5、）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、成等比数列.重难点26 双曲线1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.4.若渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minca，|PF2|minca.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2的面积为.命题角度：（1）双曲线的定义及应用；（2）双曲线的标准方程；（3）双曲线的几何性质核心素养：直观想象、

6、数学运算（建议用时：40分钟）一、单选题1双曲线的离心率为，则其渐近线方程为ABCD【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.2若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于A11B9C5D3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B3已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为ABCD【答案】D【解析】所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D4双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABC D【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，故选A5已知是双曲线C的两个焦点，P为C

7、上一点，且，则C的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A6已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为ABCD【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质7若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（）ABCD【答案】B【解析】，则，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B8已知双曲线的右焦点与抛物线的焦

8、点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（）ABC2D3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.9设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为ABCD【答案】B【解析】由题可知在中，在中,故选B.10已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为ABCD【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c

9、0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.11设F为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC2D【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A12已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=AB3CD4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为

10、，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.二、填空题13已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_.【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：14已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_【答案】4【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距.故答案为：4.15已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则

11、C的离心率为_【答案】2.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为16已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为 【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，直线的方程为，即代入整理得，解得或 (舍)，所以P点的纵坐标为，=.故答案为：.三、解答题17已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）

12、记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程【答案】(1) 双曲线方程为(2) 满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和【解析】（1）由已知及点在双曲线上得解得；所以，双曲线的方程为（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为由得 设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根，且即且这时 ，又即 所以即 又 适合式所以，直线的方程为与18已知双曲线C：（a0,b0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.（）求a,b；（）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、成等比数列.【答案】（）（）见解析【解析】（）由题设知，即，故.所以C的方程为.将y=2代入上式，求得.由题设知，解得.所以.（）由（）知，C的方程为. 由题意可设的方程为，代入并化简得.设，则，.于是，由得，即.故，解得，从而.由于，.故，.因而，所以、成等比数列.