2023年高考数学二轮复习（热点·重点·难点）专练31：随机抽样、用样本估计总体（含答案解析）

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1、重难点31 随机抽样、用样本估计总体1频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和2巧用四个有关的结论(1)若x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数为ma；(2)数据x1，x2，xn与数据x1x1a，x2x2a，xnxna 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2；(4)s2 (xi)

2、2x2，即各数平方的平均数减去平均数的平方在抽样方法的考查中，简单随机抽样、分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题用样本估计总体，是统计学的基础以考查频率分布直方图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解.（建议用时：40分钟）一、单选题1某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（）ABCD2某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一

3、年级抽取人，则高一年级学生人数为（）ABCD3某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图下列结论错误的是（）A这辆小型车辆车速的众数的估计值为B这辆小型车辆车速的中位数的估计值为C这辆小型车辆车速的平均数的估计值为D在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为4分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C甲同学周课外体育运

4、动时长大于8的概率的估计值大于0.4D乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（）A，B，C，D，62022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（

5、）A，B，C，D，7某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（）A，B，C，D，8是的平均值，5为的平均值，10为的平均值，则（）A8B9C15D9某校高一年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（）A86B84C96D89【答案】A【解析】因为所以这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为86故选：A.10为了解学生体育锻

6、炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图：下列说法正确的是（）A班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大B班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65D班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大11某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（）A73B75C77D7912某高中学校学生人数和近视情况分别如图和图所示.为了解该学校学生近

7、视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A32B45C64D90二、填空题13一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为_14下列说法中错误的有_个将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是99.9%；设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；线性回归方程必过0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.70

8、63.8415.0246.6357.87910.82815下面活动中属于统计活动的是_.（填序号）某校医务室人员通过调查学校近三年学生的视力情况，来预测毕业时学生的视力情况.班主任通过调查学生平时的数学学习成绩，来预测学生的数学期末考试成绩.化学教师通过测量一瓶某品牌矿泉水的矿物质含量，来推测该品牌矿泉水的矿物质含量.物理教师通过物理实验多次测量某物体的质量，最后通过求平均数推测该物体的质量.162022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方

9、图（如图所示）已知学习时长在的学生人数为72，则n的值为_17我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有_人18某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了50个样本，若样本数据的方差为8，则数据的方差为_.重难点31 随机抽样、用样本估计总体1频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘

10、以小长方形底边中点的横坐标之和2巧用四个有关的结论(1)若x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数为ma；(2)数据x1，x2，xn与数据x1x1a，x2x2a，xnxna 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2；(4)s2 (xi)2x2，即各数平方的平均数减去平均数的平方在抽样方法的考查中，简单随机抽样、分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题用样本估计总体，是统计学的基础以考查频率分布直方图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解

11、.（建议用时：40分钟）一、单选题1某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（）ABCD【答案】D【解析】由统计图可知，测试成绩按从高到低的顺序排好后，中间的两个测试成绩为80分，90分，故中位数（分），众数分，平均数（分），则.故选：D2某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）ABCD【答案】B【解析】设高一年级学生人数为，因为从三个年级中抽

12、取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，所以从高二和高三年级抽取人，则，解得，即高一年级学生人数为.故选：B.3某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图下列结论错误的是（）A这辆小型车辆车速的众数的估计值为B这辆小型车辆车速的中位数的估计值为C这辆小型车辆车速的平均数的估计值为D在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为【答案】C【解析】对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值，故A正确对于B：，所对应的矩形的面积分别为，其和为，而对应的矩形面积为，因此中

13、位数的估计值为，故B正确对于C：平均数的估计值为，故C错误对于D：估计车速超过的概率为，故D正确故选：C4分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时

14、长大于的概率的估计值，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，D选项结论正确.故选：C5已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（）A，B，C，D，【答案】B【解析】设这10个数据分别为：，根据题意，所以，.故选：B.62022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，分组，分别得到频率分布直方图如下

15、：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（）A，B，C，D，【答案】A【解析】由题意进行数据分析，可得：，解得：；，解得：；所以.比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更分散，由方差的意义可以得到：.故选：A7某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（）A，B，C，D，【答案】C【解析】设这个班n位同学的成绩分别是，第一次漏过了第i位同学的成绩，

16、第一次计算时总分是，方差是第二次计算时，方差故，故选：C8是的平均值，5为的平均值，10为的平均值，则（）A8B9C15D【答案】A【解析】因为5为的平均值，所以，即，因为10为的平均值，所以，即，所以，故选：A9某校高一年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（）A86B84C96D89【答案】A【解析】因为所以这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为86故选：A.10为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数

17、据统计，得到如下折线图：下列说法正确的是（）A班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大B班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65D班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大【答案】A【解析】对这两个班级一周内每天的人均体育锻炼时间分别排列（单位：分钟）.将班级甲的数据由小到大排列为；将班级乙的数据由小到大排列为.对于A，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差为，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差为，故A正确；对于B，根据以上排序可知班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误；对于C，班级乙该周每天的人均体

18、育锻炼时间的众数为30，故C错误；对于D，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数为，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的平均数为，所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小，故D错误.故选:A11某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（）A73B75C77D79【答案】C【解析】由题意可知，解得，化学考试成绩在内的频率为，所以第39百分位数的一定位于内，设第39百分位数为，则，解得.所以估计化学老师选取的学生分数应不低于分.故选：C.12某高中学校学生人数和近视情况

19、分别如图和图所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A32B45C64D90【答案】D【解析】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.故选：D.二、填空题13一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为_【答案】3【解析】由题意，可得该组数据的众数为2，所以，解得，故该组数据的平均数为所以该组数据的方差为，即标准差

20、为3故答案为：314下列说法中错误的有_个将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是99.9%；设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；线性回归方程必过0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】2【解析】对，方差反应一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故正确；对，在一个列联表中，由计算得，因为，所以两个变量之间有关系的可能性小于99.9%，故错误；对，一个

21、回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故错误；对，线性回归方程必过样本中心点，故正确.所以错误的有2个.故答案为：2.15下面活动中属于统计活动的是_.（填序号）某校医务室人员通过调查学校近三年学生的视力情况，来预测毕业时学生的视力情况.班主任通过调查学生平时的数学学习成绩，来预测学生的数学期末考试成绩.化学教师通过测量一瓶某品牌矿泉水的矿物质含量，来推测该品牌矿泉水的矿物质含量.物理教师通过物理实验多次测量某物体的质量，最后通过求平均数推测该物体的质量.【答案】【解析】中都选取了样本，符合样本估计总体的统计活动；对于，多次测量取平均值只是为了得到更准确的物体的质量不属于统计活动

22、.故答案为：.162022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）已知学习时长在的学生人数为72，则n的值为_【答案】【解析】解：由频率分布直方图的性质，得，解得，学习时长在的频率为，所以故答案为：17我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有_人【答案】8100【解析】设北乡有人，根据题意得：，解得：，故北乡共有人.故答案为：.18某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了50个样本，若样本数据的方差为8，则数据的方差为_.【答案】72【解析】样本数据的方差为8，所以数据的方差为.故答案为：72.