2023年高考数学二轮复习专题突破精练:第8讲 等高线问题与函数的整数解问题(含答案解析)
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1、第8讲 等高线问题与函数的整数解问题【典型例题】例1设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是A,B,C,D,例2(2022襄城区校级模拟)若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是ABCD例3(2022秋吕梁月考)已知函数,若关于的不等式的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是A,B,C,D,例4(2022全国卷模拟)若不等式的解集中有且仅有两个正整数,则实数的取值范围是ABCD例5(2022北海一模)已知函数,若存在唯一的正整数,使得,则实数的取值范围是ABCD例6(2022秋德州期中)已知函数,关于的不等式只有1个整数解,则实数的取值范围是A,B,C,D,
2、例7(2022秋重庆期末)已知函数若关于的方程有四个不同的根,且,则的取值范围是A,B,C,D,例8(2022西城区一模)设函数,若关于的方程有四个实数解,2,3,其中,则的取值范围是A,B,C,D例9(2022巴中模拟)已知函数对任意都有,当时,(其中为自然对数的底数),若存在实数,满足(a)(b)(c)(d),则的取值范围为ABCD例10(2022春东湖区校级期中)已知幂函数的图象经过点(1)(3)与(2)的大小;(2)定义在上的函数满足,且当,时:若关于的不等式在,上有且只有151个整数解,求实数的取值范围【同步练习】一选择题1(2022春荔城区校级期中)设函数,其中,若存在唯一的整数,
3、使得,则的取值范围是A,BCD2(2022雨花区校级模拟)若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是ABCD3(2022临沂二模)已知函数,时,若不等式的解集中有且仅有一个整数,则实数的取值范围是ABCD4(2022九江一模)已知函数,若关于的不等式恰有两个整数解,则实数的取值范围是A,B,C,D,5(2022秋浙江期末)设函数,若存在唯一的正整数,使得,则实数的取值范围是ABCD6(2022杏花岭区校级模拟)已知函数若存在唯一的正整数,使得,则实数的取值范围是A,B,C,D7(2022中卫二模)已知函数,若函数的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,则实数的
4、取值范围为A,B,C,D,8(2022秋新余期末)已知函数,若的解集中恰有一个整数,则的取值范围为ABCD9(2022秋庄河市校级月考)已知函数的导函数为,且对任意的实数都有是自然对数的底数),且,若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数,则实数的取值范围是ABCD10(2022泸州模拟)已知函数,关于的不等式只有一个整数解,则实数的取值范围是A,B,C,D,11(2022琼海模拟)已知函数,函数,直线分别与两函数交于,两点,则的最小值为AB1CD212(2022春南关区校级月考)已知直线分别与函数和函数(实常数,交于,两点,则的最小值为ABCD13(2022秋锡山区校级月考)已知函数,若方程有
5、3个不同的实根、,则的取值范围为A,BCD14(2022广东四模)已知函数,若关于的方程有两个不等实根,且,则的最小值是A2BCD15(2022春上饶期末)已知,关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数,则所有符合条件的的值之和是A13B15C21D2616(2022秋湖北校级月考)已知函数,若方程有四个不同解,且,则的取值范围为A,B,C,D,17(2022春龙岩期末)已知函数与函数的图象相交于不同的两点,若存在唯一的整数,则实数的最小值是A0BCD118(2022海淀区校级三模)已知函数,若存在唯一的整数,使得成立,则满足条件的整数的个数为A2B3C4D无数二填空题19(2022秋浙江
6、期中)已知函数,若集合中有且只有一个元素,则实数的取值范围为20(2022春孝义市期末)已知函数,若关于的不等式恰有两个整数解,实数的取值范围是21(2022春船营区校级月考)设函数,若方程有四个不同的实数解,则的取值范围是 22(2022秋杨浦区校级期末)已知函数,若方程有四个不同的实根,则的取值范围为23(2022春淮安期末)设函数,若关于的方程有四个不同的实数解,且,则的取值范围是24(2022秋尚志市校级月考)设函数,若关于的方程有四个实数解,且,则的取值范围是 25(2022秋常熟市校级月考)已知函数,其中为自然对数的底数,若存在实数,满足,且,则的取值范围为26已知直线与函数和分别
7、交于,两点,若的最小值为2,则27(2022春日照期末)已知函数,若存在实数,满足则的最小值为三解答题28(2022春张家港市期中)已知函数(1)求函数的最大值;(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围;(3)若不等式仅有一个整数解,求实数的取值范围29(2022镜湖区校级模拟)已知函数,()记,试判断函数的极值点的情况;()若有且仅有两个整数解,求的取值范围30(2022秋双峰县校级月考)已知函数,(1)当时,函数有两个零点,求的取值范围;(2)当时,不等式有且仅有两个整数解,求的取值范围31已知函数,为自然对数的底数(1)当时,求函数在处的切线方程;求函数的单调区间;(2)若有且只有唯一整
8、数,满足,求实数的取值范围第8讲 等高线问题与函数的整数解问题【典型例题】例1设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是A,B,C,D,【解析】解:设,由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方,因为,令,可得,单调递增,令,可得,单调递减,所以当时,取得最小值,当时,(1)(1),当时,由可得,即,由可得,可得,所以,所以实数的取值范围为,故选:例2(2022襄城区校级模拟)若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是ABCD【解析】解:令,则,令,得 或;,得, 在和, 上单调递增,在上单调递减,且(2),当 时, 至多有一个整数解当 时, 在区间 内的解集中有且仅有
9、三个整数,只需,即,解得:,故选:例3(2022秋吕梁月考)已知函数,若关于的不等式的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是A,B,C,D,【解析】解:由解析式得:函数的图象关于直线对称,且当时,函数递增,所以不等式可化为:,即,即,若原不等式的解集中有且仅有三个整数,则时,有且仅有三个整数,解得:,时,有且仅有三个整数,解得:,综上可得:,故选:例4(2022全国卷模拟)若不等式的解集中有且仅有两个正整数,则实数的取值范围是ABCD【解析】解:设;,显然当时,在,恒成立,即不等式没有正整数解,当时,与的大致图象如图所示,两个函数的图象均过原点,则原不等式的解集中的两个正整数解必然是和,所
10、以,即,解得,所以实数的取值范围是,故选:例5(2022北海一模)已知函数,若存在唯一的正整数,使得,则实数的取值范围是ABCD【解析】解:函数的导数,由得或,此时为增函数,由得,此时函数为减函数,即当时,函数取得极大值,当时函数取得极小值,当时,不满足条件,当时,(2),(1),(3),若存在唯一的正整数,使得,则唯一的正整数,则满足,即,得,得,则实数的取值范围是,故选:例6(2022秋德州期中)已知函数,关于的不等式只有1个整数解,则实数的取值范围是A,B,C,D,【解析】解:由,令,解得:,令,解得:,的递增区间为,递减区间为,故的最大值是(e);时,时,(1),故在时,在时,函数的图
11、象如下:时,由不等式得或,而时无整数解,的解集为,整数解有无数多个,不合题意;时,由不等式,得,解集为,整数解有无数多个,不合题意;时,由不等式,得或,的解集为无整数解,而的解集整数解只有一个,且在递增,在递减,而,(2)(4)(3),这一个正整数只能为3,(2)(3),;综上,的取值范围是,故选:例7(2022秋重庆期末)已知函数若关于的方程有四个不同的根,且,则的取值范围是A,B,C,D,【解析】解:作函数图象,的横坐标分别为,故,所以,即,所以,即,因为,所以,又,所以,所以,令,故选:例8(2022西城区一模)设函数,若关于的方程有四个实数解,2,3,其中,则的取值范围是A,B,C,D
12、【解析】解:函数的图象如右:关于的方程有四个实数解,可得的图象与直线有四个交点,可以判断,且,可得,即,即有,故,又由函数在,上递增,可得函数在,上的值域为,可知的取值范围为,故选:例9(2022巴中模拟)已知函数对任意都有,当时,(其中为自然对数的底数),若存在实数,满足(a)(b)(c)(d),则的取值范围为ABCD【解析】解:由函数对于任意,均满足,可知的对称轴方程为当时,作出函数的图象,如图:由图可知,与,与关于直线对称,则又(a)(b),所以,即,因此由题意知,令(b),则(b),令(b),得,故(b)在,上单调递减,在,上单调递增故(b),由,由,可得,所以得的取值范围是,故选:例
13、10(2022春东湖区校级期中)已知幂函数的图象经过点(1)(3)与(2)的大小;(2)定义在上的函数满足,且当,时:若关于的不等式在,上有且只有151个整数解,求实数的取值范围【解析】(1)由于函数为幂函数,故,即,又函数过点,则,即,故,此时(3),(2),故(3)(2)(2)由于函数满足,则为偶函数,又,则图象关于直线对称,由此可以得到,又,则有,即,故函数的周期为,然后由,以及奇偶性和对称性和周期性做出示意图如右图,其中函数的单调性,用导数方法判断,限于篇幅,只给出结论,在区间单调递增,在区间单调递减,最大值为,由不等式可得,则得到,或者,结合图象舍去第二种情形故只有可能成立,当时,由
14、上述不等式组可得,即时在,上有且只有151个整数解,结合图象可知,则在,上有且只有个整数解,则在区间,上有且只有3个整数解,我们设想直线在区间,和相交,当满足条件且时,整数解在区间,上有或者或者三个,满足题意,其中,这样有,即,满足;当时,由题意在,上有且只有151个整数解,我们结合图象可知,在一个周期,内,满足的整数解有2、3、4、5、6、8,显然不满足题意,故舍去;综上所述,实数的取值范围为【同步练习】一选择题1(2022春荔城区校级期中)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是A,BCD【解析】解:令,显然直线恒过点,则“存在唯一的整数,使得 “等价于存在唯一的故数使得点,在
15、直线下方,当时,当时,即在上递减,在上递增,则当时,当时,而,即当时,不存在整数使得点,在直线下方,当时,过点作函数图象的切线,设切点为,则切线方程为:,而切线过点,即有,整理得:,而,解得,因(1)(1),又存在唯一整数使得点,在直线下方,则此整数必为2,即存在唯一整数2使得点,(2)在直线下方,因此有,解得,所以的取值范围是故选:2(2022雨花区校级模拟)若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是ABCD【解析】解:令,则,令,得 或;,得, 在和 上单调递增,在上单调递减,(1),且如图所示,当 时, 至多有一个整数解当 时, 在区间 内的解集中有且仅有三个整数,只需
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