2023年高考数学二轮复习专题突破精练:第12讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题(含答案解析)
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1、第12讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题【典型例题】例1已知函数(1)当时,求曲线在点,处的切线方程;(2)若在区间,各恰有一个零点,求的取值范围例2已知(1)当时,求曲线在点,处的切线方程;(2)当时,研究函数在区间上的单调性;(3)是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点?若存在,请求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由例3已知函数,且(1)求;(2)证明:存在唯一的极小值点,且例4已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为(1)求,的值;(2)证明函数存在唯一的极大值点,且例5已知函数,为的导函数,证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)在区间存在唯一极小值点;(3)有且只有一
2、个零点例6已知函数,其中()求函数的单调区间;()若曲线在点,处的切线与曲线在点,处的切线平行,证明:;()证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线例7已知,函数(1)求曲线在点,处的切线方程;(2)证明函数存在唯一的极值点;(3)若,使得对任意的恒成立,求实数的取值范围例8已知函数,且()求()证明:存在唯一的极大值点,且例9已知实数,函数(1)若函数在中有极值,求实数的取值范围;(2)若函数有唯一的零点,求证:(参考数据:,【同步练习】一解答题1已知函数,其中为非零常数(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;(2)设,且,证明:当时,函数在上恰有两个极值点2已知函数,其中为大于零
3、的常数(1)若函数在区间,内单调递增,求的取值范围;(2)求函数在区间,上的最小值;(3)对于函数,若存在,使不等式成立,求实数的取值范围3设,已知函数,()当时,证明:当时,;()当时,证明:函数有唯一零点4设函数,其中为自然对数的底数(1)若,求的单调区间;(2)若,求证:无零点5设函数,其中为自然对数的底数(1)若,求的单调区间;(2)若,求证:无零点6已知函数(1)若函数,求函数的单调区间;(2)若直线为曲线在点,处的切线,直线与曲线相交于点,且,求实数的取值范围7已知函数(1)若在区间上存在极值,求实数的范围;(2)若在区间上的极小值等于0,求实数的值;(3)令,曲线与直线交于,两点
4、,求证:8设函数,曲线在处的切线与轴交于点(1)求;(2)若当,时,记符合条件的的最大整数值、最小整数值分别为,求注:为自然对数的底数9已知函数,(1)当时,证明:;(2)设函数,若有极值,且极值为正数,求实数的取值范围10已知曲线(其中为自然对数的底数)在处切线方程为()求,值;()证明:存在唯一的极大值点,且11已知曲线(其中为自然对数的底数)在处的切线方程为(1)求,值;(2)证明:存在唯一的极大值点,且12设函数(1)当时,求函数在点,(1)处的切线方程;(2)若函数存在两个极值点,求实数的范围;证明:13已知函数(1)当时,求函数,的最大值;(2)求函数的单调区间;(3)设函数存在两
5、个极值点,且,若,求证:14已知函数,恰好有两个极值点,()求证:存在实数,使;()求证:15已知函数,其中(1)求函数的单调区间(2)若函数有两个极值点、,且,证明:16已知函数,其中为自然对数的底数,(1)若对,恒成立,求实数的值;(2)在(1)的条件下,()证明:有三个根,;()设,请从以下不等式中任选一个进行证明:;参考数据:,17设函数,为的导函数()求的单调区间;()当,时,证明;()设为函数在区间,内的零点,其中,证明:18已知,(1)若函数,求的单调区间;(2)若过点能作函数的两条切线,求实数的取值范围;(3)设,且,求证:19设为正实数,函数存在零点,且存在极值点与(1)当时
6、,求曲线在,(1)处的切线方程;(2)求的取值范围,并证明:20已知函数(1)当时,判断并证明函数的奇偶性;(2)设求实数的取值范围,并将表示为的函数;若,均有,求实数的取值范围21已知函数(1)当,时,判断函数在区间内的单调性;(2)已知曲线在点,处的切线方程为判断方程在区间上解的个数,并说明理由22已知函数()时,试判断的单调性并给予证明;()若有两个极值点,求实数的取值范围;证明:(注是自然对数的底数)23已知函数有两个不同的极值点,()求实数的取值范围;()记函数的导函数为若函数有两个不同的零点,函数有两个不同的零点,证明:();()(注是自然对数的底数)24已知函数(1)讨论函数的单
7、调性;(2)当时,判断函数的零点个数25已知函数,(1)讨论的单调性;(2)证明:当时,;(3)若函数有两个零点,比较与0的大小,并证明你的结论26已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若,证明27已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若,证明:28已知函数在时取到极大值()求实数,的值;()记设函数,若函数在上为增函数,求实数的取值范围29已知函数()若,求证:当时,;()讨论方程的根的个数30已知函数,(1)当时,求函数 的极值;(2)若存在与函数, 的图象都相切的直线,求实数的取值范围31已知函数,为的导数证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)有且仅有2个零点第12讲 零点问题、隐零
8、点问题与零点赋值问题【典型例题】例1已知函数(1)当时,求曲线在点,处的切线方程;(2)若在区间,各恰有一个零点,求的取值范围【解析】解:(1)当时,则,又,所求切线方程为;(2),若,当时,单调递增,则,不合题意;故,令,注意到,令,解得或,令,解得,在单调递减,在单调递增,且时,若,当时,单调递增,不合题意;若,(1),则存在,使得,且当时,单调递减,则,当时,则由零点存在性定理可知在,上存在一个根,当时,单调递减,当时,则由零点存在性定理可知在上存在一个根综上,实数的取值范围为例2已知(1)当时,求曲线在点,处的切线方程;(2)当时,研究函数在区间上的单调性;(3)是否存在实数使得函数在
9、区间和上各恰有一个零点?若存在,请求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由【解析】解:(1)若,则,则函数在,处的切线的斜率,又,所以曲线在点,处的切线方程是;(2)由,可得,当时,令,解得当时,单调递增;当时,单调递减,所以的单调递增区间是,单调递减区间是;(3)当时,所以在单调递增,故不可能有两个零点,故舍去;当时,令,解得当时,单调递增;因为,且,故当,故此时在区间无零点;当时,令,解得,当时,单调递减;因为,且故当,故此时在区间无零点;综上所述,并不存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点例3已知函数,且(1)求;(2)证明:存在唯一的极小值点,且【解析】解:(1)的定义域为,设,即,
10、则等价于,由,(1),故(1),即,若,则,故在上单调递增,在上单调递减,故是的极大值点,(1),综上,;(2)证明:,故在上单调递增,在上单调递减,故,使在上单调递减,在上单调递增,故存在唯一的极小值点,且,则,设,则,故在上单调递减,故,即,即,而,所以例4已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为(1)求,的值;(2)证明函数存在唯一的极大值点,且【解析】解:(1)函数的定义域为,则(1),(1),故曲线在点,(1)处的切线方程为,又曲线在点,(1)处的切线方程为,;(2)证明:由(1)知,则,令,则,易知在单调递减,又,(1),故存在,使得,且当时,单调递增,当,时,单调递减,由于,(1
11、),(2),故存在,使得,且当时,单调递增,当,时,单调递减,故函数存在唯一的极大值点,且,即,则,令,则,故在上单调递增,由于,故(2),即,例5已知函数,为的导函数,证明:(1)在区间存在唯一极大值点;(2)在区间存在唯一极小值点;(3)有且只有一个零点【解析】证明:(1)的定义域为,设,则,当时,所以单调递减;又当时,;且,由零点存在定理可知,在区间存在唯一的,使又当时,;当时,;所以为区间上唯一的极大值,即是区间上唯一的极大值点(2)当时,单调递增,且,所以在区间有唯一零点,设为,当时,此时单调递减;当时,此时单调递增;所以是在上唯一的极小值点(3)当时,由(1)可知在上单调递增,且,
12、当时,所以在上有唯一零点;当时,单调递减,且,所以在上没有零点当时,由(2)可知在区间上,此时单调递减,且,故有,此时单调递减,且,由,得,所以当时,由(2)知,所以单调递增,又,故,所以存在,使,即,故为的极小值点此时所以在上没有零点当时,所以,所以在区间上没有零点,综上在区间上有且仅有一个零点例6已知函数,其中()求函数的单调区间;()若曲线在点,处的切线与曲线在点,处的切线平行,证明:;()证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线【解析】()解:由已知,有,令,解得由,可知当变化时,的变化情况如下表:00极小值函数的单调减区间为,单调递增区间为;()证明:由,可得曲线在点,处的
13、切线的斜率为由,可得曲线在点,处的切线的斜率为这两条切线平行,故有,即,两边取以为底数的对数,得,;()证明:曲线在点处的切线,曲线在点,处的切线要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,使得与重合,即只需证明当时,方程组由得,代入得:,因此,只需证明当时,关于的方程存在实数解设函数,既要证明当时,函数存在零点,可知时,;时,单调递减,又,故存在唯一的,且,使得,即由此可得,在上单调递增,在,上单调递减,在处取得极大值,故下面证明存在实数,使得,由()可得,当时,有存在实数,使得因此,当时,存在,使得当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线例7已知,函数(
14、1)求曲线在点,处的切线方程;(2)证明函数存在唯一的极值点;(3)若,使得对任意的恒成立,求实数的取值范围【解析】(1)解:因为,所以,而,所以在,处的切线方程为;(2)证明:令,则,令,则,令,解得,当时,单调递减,当时,单调递增,当时,当时,作出图象,如图,所以当时,与仅有一个交点,令,则,且,当时,为增函数;当时,为减函数;所以时是的极大值点,故仅有一个极值点;(3)解:由(2)知,此时,所以,令,若存在,使对任意的恒成立,则等价于存在,使得,即,而,当时,为单调减函数,当时,为单调增函数,所以(1),故,所以实数的取值范围,例8已知函数,且()求()证明:存在唯一的极大值点,且【解析
15、】解:,化为:,令时,函数在上单调递减,而(1),时,不满足题意,舍去时,可得时,函数取得极小值,令(a),(a),可得时,(a)取得极大值即最大值,因此只有时满足题意故证明:由可得:,可得时,取得极小值,时,;时,(1),时,函数存在唯一的极大值点,且满足,可得令,令,可得时,函数取得极大值,且存在唯一的极大值点,且例9已知实数,函数(1)若函数在中有极值,求实数的取值范围;(2)若函数有唯一的零点,求证:(参考数据:,【解析】(1)解:因为,令,得,由,得,则在上单调递增,所以当时,因为函数在中有极值,则与在上有交点,故实数的取值范围为;(2)证明:因为在上单调递增,且当时,;当时,所以在
16、有唯一零点,设零点为,则有,故在上单调递减,在上单调递增,又函数有唯一的零点,且当时,;当时,则,即,将式代入得,记,则为函数的零点,因为,则当时,则单调递增;当时,则单调递减,且当时,当时,所以有唯一零点,又,(1),故【同步练习】一解答题1已知函数,其中为非零常数(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;(2)设,且,证明:当时,函数在上恰有两个极值点【解析】解:(1)若,因为,则,所以在上单调递增,符合要求若,则当时,从而,所以在上单调递减,不合要求综上分析,的取值范围是(2)令,则,即设,则当时,则,从而,所以单调递减当时,因为,则,从而单调递增因为,则在上有唯一零点,记为,且当时,则单
17、调递减;当时,则单调递增当时,因为,则,从而单调递减因为,则在内有唯一零点,记为,且当时,单调递增;当,时,单调递减因为,则当时,所以单调递增综上分析,在上单调递减,在,上单调递增因为,则当时,直线与函数的图象在上有两个交点,从而有两个变号零点,即在上恰有两个极值点因为,则,即从而取,则,且当时,函数在上恰有两个极值点2已知函数,其中为大于零的常数(1)若函数在区间,内单调递增,求的取值范围;(2)求函数在区间,上的最小值;(3)对于函数,若存在,使不等式成立,求实数的取值范围【解析】解:(1)由已知,得在,上恒成立,即上恒成立又当,即的取值范围为,(2)当时,在上恒成立,这时在,上为增函数(
18、1)当,在上恒成立,这时在,上为减函数当时,令又,综上,在,上的最小值为当时,;当时,当时,(3)因为,所以,存在,使成立,令,从而,由(2)知当时,成立,即在,上成立从而,所以,在,上单调递增所以,(1)所以,3设,已知函数,()当时,证明:当时,;()当时,证明:函数有唯一零点【解析】证明:,令,()要证原不等式成立,只需证:当时,则函数在上单调递增,因此,即原不等式成立()由()可得当时,故函数在上没有零点;当时,令,则为增函数,且,在上存在唯一零点,记为且,在上单调递减,在,上单调递增,在上存在唯一零点,且在,上恒小于0故,;,在上单调递增,在,上单调递减,且在上至多只有一个零点;令,
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