2023年河北省九年级下学期开学考数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年河北省九年级下学期开学摸底考数学试卷一、 选择题（本大题共16个小题.110小题每题3分，1116小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列方程是一元二次方程的是（）ABCD2下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D3若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为（）AB2CD14如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）ABCD5（2022春安徽合肥九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则的值是（）A1BCD6（广东省佛山市顺德区六校联考2021-2022学年九年级上学期11月素养展示

2、数学试卷（二）如图，、是边上的点，且，当时，的长是（）A6B7C8D97（四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知、是方程的两个实数根，则的值是（）A2016B2018C2022D20248（吉林省长春市二道区第一八学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（）ABCD9（2022春内蒙古包头九年级统考期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（）A增长了1mB缩短了1mC增长了

3、1.2mD缩短了1.2m10（2022春四川遂宁九年级射洪中学校联考期中）下列条件中，不能使成立的是（）AB， C， D， 11（2022春广东深圳九年级期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（）ABCD12（2022春广东深圳九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心若，则点F的坐标是（）ABCD13（浙江省杭州市江干区采荷中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）二次函数，自变量x与函数y的对

4、应值如下：说法正确的是（）x0y4.90.060.0064.9A抛物线的开口向下B当时，y随x的增大而增大C二次函数的最大值是4.9D抛物线的对称轴是直线14（2022春黑龙江佳木斯九年级抚远市第三中学校考期末）如图，在直角三角形中，将直角三角形绕点逆时针旋转，得到，连接，延长到，使，连接、，若，则的长为（）A2B4C3D515（2022春湖南永州九年级校考阶段练习）关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称中，轴，轴，与相交于点B若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（）A2个不相等的实数根B2个相等的实数根C1个实数根D无实数根16（第08讲二次函数定义

5、、图像与性质（7大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（苏科版）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）ABCD第卷（非选择题）二、填空题（本大共3个小题，每小题3分，共9分）17（2022春广东深圳九年级期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上则该正方形的边长是_18（山西省忻州市代县第三中学2022-2023学年九年级上学期数学期末综合评估）数学中，把这个比例称为黄金分割比例鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，P是AB的

6、黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为_cm19（山东省威海市文登区重点中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点下列说法：；若，是抛物线上的两点，则；（其中）其中正确的结论有_三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（9分）（2022秋河北石家庄九年级校考期末）（1）解方程：（2）计算：21（9分）（2022春辽宁沈阳九年级期末）教育部在中小学部署了“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动学校开展了“童心向党”的大赛活动，最后决赛环节由组委会提供“A组：图话百年”“B组：动听百年”“C组：话

7、说当年”三组题目，将依次代表三组题目的A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上甲乙两名同学进入了决赛环节，比赛时甲先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，放回后洗匀，再由乙从中随机抽取一张卡片，两人按各自抽取的卡片上的字母回答相应题组中的问题(1)请直接写出同学甲摸到“B组：动听百年”中问题的概率；(2)请利用画树状图或列表的方法求甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的概率22（9分）（2023全国九年级专题练习）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成图2是其侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂）已知基座高度

8、为米，主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：当时（如图3），伸展臂恰好垂直并接触地面(1)伸展臂长为 _米；(2)挖掘机能挖的最远处距点N的距离为_米23（10分）（2022春湖南长沙九年级长沙市南雅中学校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点(1)求反比例函数的关系式；（提示：过点作轴的垂线段）(2)将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上24（10分）（广东省阳江市阳江市实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交

9、于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号）25（10分）（山东省青岛市2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，为的中点动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为设点的运动时间为（）(1)当为何值时，四边形为矩形？(2)设四边形的面积为，写出与的关系式；(3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(4)当为何值时，的值最小？26（12分）（2022春陕西安康九年级校联考期末）如图，二次函数的图象过点，记为将沿直线翻折得到“部分抛物线

10、” ，点，的对应点分别为点，(1)求，的值；(2)在平面直角坐标系中描出点，并画出“部分抛物线” ；(3)某同学把和“部分抛物线” 看作一个整体，记为图形“”，若直线和图形“”只有两个交点，（点在点的左侧）直接写出的取值范围；若为等腰直角三角形，求的值2022-2023学年河北省九年级下学期开学摸底考数学试卷一、选择题（本大题共16个小题.110小题每题3分，1116小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12345678910111213141516ADACCCAADBACDCDC1下列方程是一元二次方程的是（）ABCD【答案】A【分析】判断一个方程是否是

11、一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1【详解】解：A，符合一元二次方程的定义，故符合题意；B，方程最高次数是3，不符合一元二次方程定义，故不符合题意；C，含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意；D不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数2下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【答案】D【分析】一个图形绕着某固定点旋转180

12、度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各个选项逐个判断即可求解【详解】A：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意；A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C选项不符合题意；A：既是轴对称图形也是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键3若正方形的外

13、接圆半径为2，则其内接圆半径为（）AB2CD1【答案】A【分析】根据题意可知由正方形边长的一半、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，画出图形；接下来根据勾股定理从而求得内切圆的半径，据此解答【详解】解：如图：正方形的外接圆半径为2， ，又，即，解得故选：A【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确利用正方形的外接圆的半径是解答此题的关键4如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）ABCD【答案】C【分析】根据俯视图的定义：从几何体的上面由上向下看所得到的视图，即可得出答案【详解】解：从上面看几何体得到的图形是：故选：C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知

14、识是解题关键5（2022春安徽合肥九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则的值是（）A1BCD【答案】C【分析】连接，根据勾股定理得到，即可判断，即可得到答案【详解】解：连接，则可得，在中，故选：C【点睛】本题考查勾股定与逆定理应用及直角三角形中正弦定义，解题的关键是得到6（广东省佛山市顺德区六校联考2021-2022学年九年级上学期11月素养展示数学试卷（二）如图，、是边上的点，且，当时，的长是（）A6B7C8D9【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理，先由求得，再由得到求解即可【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成

15、比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应7（四川省宜宾市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知、是方程的两个实数根，则的值是（）A2016B2018C2022D2024【答案】A【分析】根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解【详解】解：、是方程的两个实数根，即，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键8（吉林省长春市二道区第一八学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（）ABCD【答案】A【分析】根据圆周角定理即可求得的度数，

16、【详解】解：，故选：A【点睛】此题考查的是圆周角定理，比较简单，牢记定理是解答本题的关键9（2022春内蒙古包头九年级统考期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（）A增长了1mB缩短了1mC增长了1.2mD缩短了1.2m【答案】D【分析】由题意过B作BGAE交PC于G，过D作DHAE交PE于H，证BCGACP，DEHAEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解决问题【详解】解：过B作BGAE交PC于G，过D作DHAE交PE于H，则A

17、B=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BGAPDH，BCGACP，DEHAEP，即，解得：BC=1.2，DE=2.4，DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），即此时小明影子的长度缩短了1.2m.故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键10（2022春四川遂宁九年级射洪中学校联考期中）下列条件中，不能使成立的是（）AB， C， D， 【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】解：A.，故该选项不符合题意；B. ， 不能能使，故该选项符合题意；C. ， ,，故该选项不符

18、合题意；D. ，, ,，故该选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键11（2022春广东深圳九年级期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（）ABCD【答案】A【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解【详解】解：设剪去小正方形的边长为，则由题意可列方程为，故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键12（2022春广东深圳九

19、年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心若，则点F的坐标是（）ABCD【答案】C【分析】根据位似图形的性质得出求出，根据位似变换的性质计算，得到答案【详解】解：，与位似，与的位似比为1：3，点，F点的坐标为，即F点的坐标为（3，9），故选：C【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出与的位似比是解题的关键13（浙江省杭州市江干区采荷中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（）x0y4.90.060.0064.9A抛物线的开口向下B当时，y随x的增大而增大C二次函数

20、的最大值是4.9D抛物线的对称轴是直线【答案】D【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案【详解】解：由数据可得：当和时，对应y的值相等，故函数的对称轴为：直线，且数据从到对应的y值不断减小，故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，时，y随x的增大而增大故选项A，B，C都错误，只有选项D正确故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键14（2022春黑龙江佳木斯九年级抚远市第三中学校考期末）如图，在直角三角形中，将直角三角形绕点逆时针旋转，得到，连接，延长到，使，连接、，若，则的长为（）A2B4C3D5【答案】C【分析】根据旋转的性质

21、得到，进而由，得到是等腰直角三角形，得到，再由即可确定四边形是正方形，即可利用正方形四边相等得到的长为【详解】解：将直角三角形绕点逆时针旋转，得到，延长到，使，连接，是等腰直角三角形，连接，在四边形中，四边形为正方形，且边长为，即的长为，故选：C【点睛】本题考查旋转性质求线段长，涉及等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键15（2022春湖南永州九年级校考阶段练习）关于x的反比例函数的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称中，轴，轴，与相交于点B若的面积大于12，则关于x的方程的根的情况是（）A2个不相等的实数根B2个相等的实数根C1个实

22、数根D无实数根【答案】D【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，可得，再由反比例函数比例系数的几何意义，可得，再根据一元二次方程根的判别式，即可求解【详解】解：反比例函数的图象位于一、三象限，A、P关于原点成中心对称，轴，轴，的面积大于12，即，关于x的方程没有实数根故选：D【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义， 一元二次方程根的判别式，根据反比例函数比例系数的几何意义得到是解题的关键16（第08讲二次函数定义、图像与性质（7大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（苏科版）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）

23、ABCD【答案】C【分析】先根据二次函数的图像开口向下和对称轴可知，由抛物线交y的正半轴，可知，由当时，可知，然后利用排除法即可得出正确答案【详解】解：二次函数的图像开口向下，抛物线与y轴相交于正半轴，直线经过一、二、四象限，由图像可知，当x=1时，反比例函数的图像必在二、四象限，故A、B、D错误，C正确；故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键第卷（非选择题）二、填空题（本大共3个小题，每小题3分，共9分）17（2022春广东深圳九年级期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余

24、两个顶点分别在边、上则该正方形的边长是_【答案】【分析】设与的交点为，设，由题意可得，则，则，求解即可【详解】解：设与的交点为，如下图：设，则，由题意可得， ，即解得，即故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质18（山西省忻州市代县第三中学2022-2023学年九年级上学期数学期末综合评估）数学中，把这个比例称为黄金分割比例鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为_cm【答案】【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答【详解】解：点P是的黄金分割点

25、（），线段的长为，故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键19（山东省威海市文登区重点中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点下列说法：；若，是抛物线上的两点，则；（其中）其中正确的结论有_【答案】【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论；将点代入二次函数的解析式可判断结论；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，抛物线的对称轴为，则结

26、论正确；将点代入二次函数的解析式得：，结论错误；将代入得：，结论正确；抛物线的对称轴为，和时的函数值相等，即都为，又当时，随的增大而减小，且，结论错误；由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，即，结论正确；综上，正确的结论有故答案为【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（9分）（2022秋河北石家庄九年级校考期末）（1）解方程：（2）计算：【答案】（1）；（2）4【分析】（1）根据一元二次方程的解法可进行求解；（2）根据特殊三角函

27、数值、零次幂及二次根式的运算可进行求解【详解】解：（1）；（2）原式【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法、特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键21（9分）（2022春辽宁沈阳九年级期末）教育部在中小学部署了“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动学校开展了“童心向党”的大赛活动，最后决赛环节由组委会提供“A组：图话百年”“B组：动听百年”“C组：话说当年”三组题目，将依次代表三组题目的A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上甲乙两名同学进入了决赛环节，比赛时甲先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，放

28、回后洗匀，再由乙从中随机抽取一张卡片，两人按各自抽取的卡片上的字母回答相应题组中的问题(1)请直接写出同学甲摸到“B组：动听百年”中问题的概率；(2)请利用画树状图或列表的方法求甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有9种等可能性结果，再找出甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的结果数，然后根据概率公式求解【详解】（1）解：甲摸到“B组：动听百年”中问题的概率=；（2）列表得：甲乙ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由表格可知，共有9种等可能性结果

29、，其中甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的结果有6种，【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键22（9分）（2023全国九年级专题练习）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成图2是其侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂）已知基座高度为米，主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：当时（如图3），伸展臂恰好垂直并接触地面(1)伸展臂长为 _米；(2)挖掘机能挖的最远处距点N的距离为_米【答案】(1)

30、(2)【分析】（1）过点M作，垂足为Q，根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可求出的长；（2）当时，过点Q作，交的延长线于点A，连接，利用平角定义可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，然后在中，利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理即可求出的长【详解】（1）解：过点M作，垂足为Q，则米，在中，米，（米），米，伸展臂长为米，故答案为：；（2）解：当时，过点Q作，交的延长线于点A，连接，在中，米，（米），米，（米），在中，（米），在中，（米），挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加

31、适当的辅助线是解题关键23（10分）（2022春湖南长沙九年级长沙市南雅中学校考阶段练习）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点(1)求反比例函数的关系式；（提示：过点作轴的垂线段）(2)将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作轴的垂线段，垂足为，证明，得出的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点横坐标，根据平移的性质解答；【详解】（1）解：如图，过点作轴的垂线段，垂足为，则，四边形是正方形，在与中，；将点代入，得，反比例函数解析式为；

32、（2）解：如图，过点作轴于，同理可得，则，反比例函数解析式为；当时，向左平移2个单位得到，点恰好落在反比例函数的图象上【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质是解题的关键24（10分）（广东省阳江市阳江市实验学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)6(

33、3)【分析】（1）连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；（3）利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积【详解】（1）证明：连接，如图，D为的下半圆弧的中点，而，即，是的切线；（2）设的半径为r，则在中，解得（舍去），即的半径为6；（3）在中， 阴影部分的面积【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公

34、共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”25（10分）（山东省青岛市2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，为的中点动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为设点的运动时间为（）(1)当为何值时，四边形为矩形？(2)设四边形的面积为，写出与的关系式；(3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(4)当为何值时，的值最小？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可得，即可求解；（2）根据，可得，再由，即可求解；（3）根据题意可得，即可求解；（4）过点D作于点F，延长

35、至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，由垂线段最短得，的最小值为的长，证得，可得，再根据，可得，然后根据，列出方程，即可求解【详解】（1）解：在中，四边形为矩形，为的中点，即，即当t的值为时，四边形为矩形；（2）解：，即，即；（3）解：根据题意得：，即，解得：（舍去）或4，故存在某一时刻，使四边形与的面积比为；（4）解：如图，过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，此时，由垂线段最短得，的最小值为的长，即，即，即，解得：，即当时，的值最小【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短性质的应用，轴对称性质，求函数解析式，关键是构造直角三角形

36、和应用相似三角形解决问题26（12分）（2022春陕西安康九年级校联考期末）如图，二次函数的图象过点，记为将沿直线翻折得到“部分抛物线” ，点，的对应点分别为点，(1)求，的值；(2)在平面直角坐标系中描出点，并画出“部分抛物线” ；(3)某同学把和“部分抛物线” 看作一个整体，记为图形“”，若直线和图形“”只有两个交点，（点在点的左侧）直接写出的取值范围；若为等腰直角三角形，求的值【答案】(1)、的值分别为1、(2)见解析(3)或；的值是5【分析】（1）把，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；（2）先根据点、与点、关于直线对称，求出点、的坐标，再描出点、，并画出“部分抛物线”

37、；（3）由（1）得原抛物线的解析式为，将其配成顶点式，则翻折后得到的抛物线的顶点为，再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为；先求出K与L的公共点为，再结合图像，确定m的取值范围是或；按和两种情况分类讨论，当m0时，先求出直线的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当时，则不是等腰直角三角形【详解】（1）解：把，代入，得，解得，、的值分别为1、（2）解：由（1）得，由题意可知，点、与点、关于直线对称，描出点，画出“部分抛物线” 如图1所示：（3）解：由（1）得，L的解析式为，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，将抛物线沿直线翻折得到的抛物线的顶点坐标为，翻折后的抛物线为，即，K与L关于直线对称，“部分抛物线”K的解析式为由，得，与的公共点为，如图2，当直线在点上方，由直线与图形只有两个交点、，；如图3，当直线在点下方，直线经过、的顶点、，此时直线与图形只有两个交点、，综上所述，或如图2，为等腰直角三角形，设交轴于点，轴，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，点在直线上，解得，（不符合题意，舍去），；如图3，此时不是等腰直角三角形，综上所述，的值是5【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键