2022-2023学年湖北省武汉市九年级下学期开学摸底考数学试卷（含答案解析）

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1、2022-2023学年湖北省武汉市九年级下学期开学摸底考数学试卷一、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD2在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）ABCD3（2022春广东深圳九年级红岭中学期末）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）ABCD4（2022春广东揭阳九年级统考期末）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数102040501002005001000击中靶心的频数919374589181449901击中靶心的频率0.9000.9500.9250.9000.8900.9050.8980.901该射手击中

2、靶心的概率的估计值是_（精确到0.01）.（）A0.89B0.90C0.92D0.955（2021春广东佛山九年级校联考阶段练习）如图，、是边上的点，且，当时，的长是（）A6B7C8D96（2022春吉林长春九年级期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（）ABCD7（2022春广东深圳九年级期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（）ABCD8（2022春广东深圳九年级期末）下面说法错误的是（）A点，都在反比例函数图象上，且，则B

3、若点是线段的黄金分割点，则C顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形D平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积9（2022春浙江杭州九年级杭州市采荷中学阶段练习）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（）x0y4.90.060.0064.9A抛物线的开口向下B当时，y随x的增大而增大C二次函数的最大值是4.9D抛物线的对称轴是直线10（2022江苏九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11（2022浙江九年级专题练习）计算的正确结果

4、是_12（2022春天津河北九年级天津五十七中期末）已知的两个根为、，则的值为_13（2022春湖北武汉九年级武汉市第十一中学校考阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角最小可以为_度14（2022春山西忻州九年级期末）数学中，把这个比例称为黄金分割比例鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为_cm15（2022春江苏扬州九年级校联考期中）如图，在中，动点从点开始沿着边向点以的速度移动，动点从点开始沿着边点以的速度

5、移动若、两点同时开始运动，当点运动到点时停止，点也随之停止运动过程中，若以、为顶点的三角形与相似，则运动时间为_s16（2022春山东威海九年级期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点下列说法：；若，是抛物线上的两点，则；（其中）其中正确的结论有_三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）（2022春江苏徐州九年级统考阶段练习）（1）计算：（2）解方程：；18（8分）（2022春山西忻州九年级期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起强国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）比赛时，将

6、A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛(1)小云抽中题目“时代赋予我们的使命”的概率是_(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率19（8分）（2022浙江九年级专题练习）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且（结果精确到1cm，参考数据，）

7、(1)求下管的长；(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫E离地面的距离20（8分）（2022春九年级单元测试）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；(2)求路灯灯泡的垂直高度；(3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为（直接用的代数式表示）21

8、（8分）（2022秋福建泉州九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点(1)求这个反比例函数的表达式；(2)C为反比例函数的图象上异于点A的一点，直线交轴于点，设直线所对应的函数表达式为若的面积为，求直线的函数表达式；作轴，垂足为，求线段的长22（10分）（2022春广东阳江九年级校考期中）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号）23（10分）（2022九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义

9、：如果二次函数，是常数）与，是常数）满足，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、关于原点的对称点分别是、，试证明经过点、的二次函数与函数互为“旋转函数”24（12分）（山东省青岛市2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，为的中点动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为设点的运动时间为（）(1)当为何值时，四边形为矩形？(2)设四边

10、形的面积为，写出与的关系式；(3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(4)当为何值时，的值最小？2022-2023学年湖北省武汉市九年级下学期开学摸底考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）12345678910DCCBCAAADC1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【答案】D【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形

11、和中心对称图形的定义，对各个选项逐个判断即可求解【详解】A：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意；A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C选项不符合题意；A：既是轴对称图形也是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键2在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】连接利用格点和勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用正切的定义即可求出的值【详解】解：如图，连接，是直角三角形，故选

12、C【点睛】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形3（2022春广东深圳九年级红岭中学期末）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（）ABCD【答案】C【分析】根据俯视图的定义：从几何体的上面由上向下看所得到的视图，即可得出答案【详解】解：从上面看几何体得到的图形是：故选：C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键4（2022春广东揭阳九年级统考期末）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数102040501002005001000击中靶心的频数919374589181449901击中靶心的

13、频率0.9000.9500.9250.9000.8900.9050.8980.901该射手击中靶心的概率的估计值是_（精确到0.01）.（）A0.89B0.90C0.92D0.95【答案】B【分析】根据频率估计概率的思想进行解答，实验次数越多，某事件发生的频率越稳定在相应的概率附近【详解】解：依题意可得：当实验1000次时，击中靶心的频率都在0.901附近波动，射手击中靶心的概率的估计值是0.90；故选：B【点睛】本题考查的是利用频率估计概率的思想，解题的关键是能熟记相关的知识点5（2021春广东佛山九年级校联考阶段练习）如图，、是边上的点，且，当时，的长是（）A6B7C8D9【答案】C【分析

14、】根据平行线分线段成比例定理，先由求得，再由得到求解即可【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应6（2022春吉林长春九年级期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（）ABCD【答案】A【分析】根据圆周角定理即可求得的度数，【详解】解：，故选：A【点睛】此题考查的是圆周角定理，比较简单，牢记定理是解答本题的关键7（2022春广东深圳九年级期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边

15、长为，则所列方程正确的为（）ABCD【答案】A【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解【详解】解：设剪去小正方形的边长为，则由题意可列方程为，故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键8（2022春广东深圳九年级期末）下面说法错误的是（）A点，都在反比例函数图象上，且，则B若点是线段的黄金分割点，则C顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形D平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，黄金分割点、中点四边形，以及平行四边形的性质，对选项逐个判断即可【详解】解：A、

16、点，都在反比例函数图象上，反比例函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，则，说法错误，符合题意；B、若点是线段的黄金分割点，则，说法正确，不符合题意；C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，说法正确，不符合题意；D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，说法正确，不符合题意；故选：A【点睛】此题考查了反比例函数的性质，黄金分割点、中点四边形以及平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质9（2022春浙江杭州九年级杭州市采荷中学阶段练习）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（）x0y4.90.060.0064.9A

17、抛物线的开口向下B当时，y随x的增大而增大C二次函数的最大值是4.9D抛物线的对称轴是直线【答案】D【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案【详解】解：由数据可得：当和时，对应y的值相等，故函数的对称轴为：直线，且数据从到对应的y值不断减小，故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，时，y随x的增大而增大故选项A，B，C都错误，只有选项D正确故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解对应数据的意义是解题关键10（2022江苏九年级专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（）ABCD【答案】C【分析】先根据

18、二次函数的图像开口向下和对称轴可知，由抛物线交y的正半轴，可知，由当时，可知，然后利用排除法即可得出正确答案【详解】解：二次函数的图像开口向下，抛物线与y轴相交于正半轴，直线经过一、二、四象限，由图像可知，当x=1时，反比例函数的图像必在二、四象限，故A、B、D错误，C正确；故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11（2022浙江九年级专题练习）计算的正确结果是_【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可【详解】解：，故答案为：1【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练

19、掌握特殊角的三角函数值是解题的关键12（2022春天津河北九年级天津五十七中期末）已知的两个根为、，则的值为_【答案】【分析】根据根与系数的关系求解【详解】解：的两个根为、，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程 （）的根与系数的关系：若方程两个根为、，则，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系13（2022春湖北武汉九年级武汉市第十一中学校考阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角最小可以为_度 【答案】60【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可【详解】解：根据题意得：该图形可以看

20、做为一个正六边形，3606=60，旋转角最小可以为60，故答案为：60【点睛】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键14（2022春山西忻州九年级期末）数学中，把这个比例称为黄金分割比例鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为_cm【答案】【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答【详解】解：点P是的黄金分割点（），线段的长为，故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键15（2022春江苏扬州九年级校联考期中）如图，在中，动点从点

21、开始沿着边向点以的速度移动，动点从点开始沿着边点以的速度移动若、两点同时开始运动，当点运动到点时停止，点也随之停止运动过程中，若以、为顶点的三角形与相似，则运动时间为_s【答案】或【分析】设点运动的时间为，则，再分两种情况求值，当时，可列方程；当时，可列方程，解方程分别求出相应的值即可【详解】设点运动的时间为，则，当时，；，当时，；综上所述，运动时间为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，动点问题的求解，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示出相似三角形的对应边的长度是解本题的关键16（2022春山东威海九年级期中）二次函数的部分图象如图所示，对

22、称轴为，且经过点下列说法：；若，是抛物线上的两点，则；（其中）其中正确的结论有_【答案】【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论；将点代入二次函数的解析式可判断结论；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，抛物线的对称轴为，则结论正确；将点代入二次函数的解析式得：，结论错误；将代入得：，结论正确；抛物线的对称轴为，和时的函数值相等，即都为，又当时，随的增大而减小，且，结论错误；由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，即，结论正确；

23、综上，正确的结论有故答案为【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）（2022春江苏徐州九年级统考阶段练习）（1）计算：（2）解方程：；【答案】（1）；（2），【分析】（1）先分别计算零次幂，化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再合并即可；（2）先把方程的左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可【详解】解：（1） （2），或，解得：，【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，特殊角的三角函数值，一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值，掌握利

24、用因式分解法解一元二次方程都是解本题的关键18（8分）（2022春山西忻州九年级期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起强国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛(1)小云抽中题目“时代赋予我们的使命”的概率是_(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率【答案】(1)(2)【分析】

25、（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有16种等可能性结果，再找出小明和小亮加同一项目的结果数，然后根据概率公式求解【详解】（1）解：小云抽中题目“时代赋予我们的使命”的概率是： 故答案为：（2）列表如下：ABCDA（A,A）（A,B）（A,C）（A,D）B（B,A）（B,B）（B,C）（B,D）C（C,A）（C,B）（C,C）（C,D）D（D,A）（D,B）（D,C）（D,D）一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中小青和小云抽中不同题目的结果有12种，所以小青和小云抽中不同题目的概率为【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再

26、从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率19（8分）（2022浙江九年级专题练习）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且（结果精确到1cm，参考数据，）(1)求下管的长；(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫E离地面的距离【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点E作，垂足为F，根据已知可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的

27、长，进行计算即可解答【详解】（1）解：，在中，下管的长为；（2）过点E作，垂足为F，在中，座垫E离地面的距离，座垫E离地面的距离约为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键20（8分）（2022春九年级单元测试）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；(2)求路灯灯泡的垂直高度；(3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明

28、继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 （直接用的代数式表示）【答案】(1)见解析；(2)；(3)【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中，由它们对应成比例可以求出；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律【详解】（1）解：如图（2）， ，m（3）同理，设长为，则，解得：，即 同理，解得， ，可得，故答案为：【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用

29、相似三角形的性质对应边成比例解题21（8分）（2022秋福建泉州九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点(1)求这个反比例函数的表达式；(2)C为反比例函数的图象上异于点A的一点，直线交轴于点，设直线所对应的函数表达式为若的面积为，求直线的函数表达式；作轴，垂足为，求线段的长【答案】(1)(2)；1【分析】（1）直接利用点横坐标代入求出的值，进而得出的值；（2）直接利用的面积为，得出的长进而得出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；由一次函数表示出点的坐标，根据一次函数与反比例函数的交点求法表示出点坐标，得出，进而即可求得的长【详解】（1）解：

30、把代入，得，点坐标为：，则反比例函数表达式为：；（2）解的面积为，把代入，得，点坐标为：，点的坐标为：，把、点的坐标代入，得 解得：，直线的函数表达式为；把代入得得，则，令，得，点的坐标为：，当时，解得：，点的坐标为：，【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及一次函数与反比例函数的交点求法等知识，正确表示出，的长是解题关键22（10分）（2022春广东阳江九年级校考期中）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)6(

31、3)【分析】（1）连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；（3）利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积【详解】（1）证明：连接，如图，D为的下半圆弧的中点，而，即，是的切线；（2）设的半径为r，则在中，解得（舍去），即的半径为6；（3）在中， 阴影部分的面积【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公

32、共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”23（10分）（2022九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数，是常数）与，是常数）满足，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数可知，根据，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面的问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、关于原点的对称点分别是、，试证明经过点、的二次函数与函数互为“旋转函数”【答案】(1)(2)1(3)见解析【分析】（1）根据“旋转

33、函数”的定义求出，从而得到原函数的“旋转函数”；（2）根据“旋转函数”的定义得到，再解方程组求出和的值，然后根据乘方的意义计算；（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到，则可利用交点式求出经过点，的二次函数解析式为，再把化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断【详解】（1）解：，函数的“旋转函数”为；（2）解：根据题意得，解得，；（3）证明：当时，则，当时，解得，则，点、关于原点的对称点分别是，设经过点，的二次函数解析式为，把代入得，解得，经过点，的二次函数解析式为，而，经过点、的二次函数与函数互为“旋转函数”【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题

34、的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力24（12分）（山东省青岛市2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，为的中点动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为设点的运动时间为（）(1)当为何值时，四边形为矩形？(2)设四边形的面积为，写出与的关系式；(3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(4)当为何值时，的值最小？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可得，即可求解；（2）根据，可得，再由，即可求解；（3）

35、根据题意可得，即可求解；（4）过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，由垂线段最短得，的最小值为的长，证得，可得，再根据，可得，然后根据，列出方程，即可求解【详解】（1）解：在中，四边形为矩形，为的中点，即，即当t的值为时，四边形为矩形；（2）解：，即，即；（3）解：根据题意得：，即，解得：（舍去）或4，故存在某一时刻，使四边形与的面积比为；（4）解：如图，过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，此时，由垂线段最短得，的最小值为的长，即，即，即，解得：，即当时，的值最小【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短性质的应用，轴对称性质，求函数解析式，关键是构造直角三角形和应用相似三角形解决问题