湖南省长沙市2019届高三上学期月考（一）数学（文）试卷（含答案）

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1、2019 届高三月考试卷（一）数学（文科）第 I 卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合 A，根据交集的定义写出 AB【详解】 ，故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分

2、析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位 i 的幂运算性质化简复数 z，求出其共轭复数，从而得到答案.【详解】复数 = = =13i， ，它在复平面内对应点的坐标为（1， 3），故对应的点位于在第二象限，故选：B【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位 i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题3.执行如图所示的程序图，如果输入 ， ，则输出的的值为A. 7 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论【详解】若输入 a=1，b=2，则第一次不满足条件 a6，则 a=2，第二次不满足条件 a6，

3、则 a=22=4，第三次不满足条件 a6，则 a=42=8，此时满足条件 a6，输出 a=8，故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础4.若变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为A. 1 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出 A 点的坐标，将 z=2x+y 转化为 y=2x+z，结合函数图象求出 z 的最大值即可【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由 ，解得：A（2， 1），由 z=2x+y 得：y=2x+z，显然直线 y=2x+z 过（2，1 ）时，z 最大，故 z 的最大值是：

4、z=4+1=5，故选：D【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是 123，样本点的中心为（4，5） ，则回归直线的方程是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果【详解】由条件知， ，设回归直线方程为 ，则 .回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程

5、问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系 ，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系 ，而相关关系不一定是因果关系 ，也可能是伴随关系（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 ( ， )点，可能所有的样本数据点都不在直线上（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值 ，而实质上是预测值( 期望值)6.在数列 中， ，数列 是以 3 为公比的等比数列，则 等于A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到 ，再结合对数运算得到结果.【详解】

6、 ，数列 是以 3 为公比的等比数列，故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设 ，且 ，则 等于A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得 asin+bcos= 3，再利用诱导公式求得 f（2019）的值【详解】即而 =8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和又该半圆

7、锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为 ，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为 2 的正三角形，所以轴截面面积为 ，则该几何体的表面积为 选 D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数为 ，则函数 的图象A. 关于点（ ，0）对称 B. 关于直线 对称C. 关于直线 对称 D. 关于点（ ）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到 ，然后研究函数的对称性 .【详解】将 的图象右移 个单位后得到图象的对应函数为 ，令 得， ，取 知 为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由 求增区间;由 求减区间.10.若

8、函数 且 ）的值域是4， ） ，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出当 x2 时，f（x）4，则根据条件得到当 x2 时，f（x）=3+log ax4 恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可【详解】当 时， ，要使得函数 的值域为 ，只需 的值域包含于 ，故 ，所以 ，解得 ，所以实数的取值范围是 .故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当 x2 时的函数的值域是解决本题的关键11.已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线的右顶点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，若 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是

9、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若 是钝角三角形，显然 为钝角，因此 ，由于过左焦点且垂直于 轴，所以 ， ， ，则 ， ，所以，化简整理得： ，所以 ，即 ，两边同时除以 得 ，解得 或 （舍） ，故选择 D.点睛： 求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和 转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.1

10、2.已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为 ABC 所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【详解】以 为 轴， 的垂直平分线 为 轴， 为坐标原点建立坐标系，则,设 ，所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试題考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小題，每小题 5 分，共 20 分13.锐角

11、 中， ，ABC 的面积为 ，则 _。【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出 A，再利用余弦定理求出 BC【详解】因为锐角ABC 的面积为 3 ，且 AB=4，AC=3，所以 34sinA=3 ，所以 sinA= ，所以 A=60，所以 cosA= ，所以 BC= = = 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，属于基础题.14.函数 且 ）的图象必过点 A，则过点 A 且与直线 2xy30 平行的直线方程是_。【答案】【解析】【分析】由题意可得函数 且 ）的图象必过点 A ，结合点斜式得到所求直线的方程.【详解】由题意可得：A ，又与直线 2xy 30 平

12、行，直线斜率为 ，所求直线方程为：故答案为：【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查了对数函数的图象与性质，属于基础题.15.已知正三棱锥 的侧面是直角三角形， 的顶点都在球 O 的球面上，正三棱锥的体积为 36，则球 O 的表面积为_。【答案】108【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题【详解】正三棱锥 PABC，PA，PB，PC 两两垂直，此正三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O，设球 O 的半径为 R，则正方体的边长为 ，正三棱锥 的体积为 36，V=R=球 O 的表面积为 S=4R

13、2=108故答案为：108 【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题16.已知函数 的定义域为 D，若满足： 在 D 内是单调函数；存在 使得 在上的值域为 那么就称 为“成功函数”。 若函数 是“成功函数”，则的取值范围为_。【答案】【解析】【分析】根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解【详解】依题意，函数 g（x）=log a（a2x+t）（a0， a1）在定义域上为单调递增函数，且 t0，而 t=0 时，g（x）=2x 不满足条件，t0设存在m，n ，使得 g（x

14、）在m， n上的值域为m， n， ，即 ，m， n 是方程（a x）2ax+t=0 的两个不等的实根，设 y=ax，则 y0，方程等价为 y2y+t=0 的有两个不等的正实根，即 ， ，解得 0 ，故答案为： .【点睛】本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键综合性较强三、解答題：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知公差不为 0 的等差数列 ，满足： 成等比数列（1）求数列 的通项公式及其前 n 项和 。（2）令 ，求数列 的前 项和 。【答案】 【解析】【分析】（1）通过将已知各项用首

15、项和公差表示，利用已知条件计算即得结果；（2）通过裂项可知 bn= ，利用裂项相消求和即可【详解】 （1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由于 ，又 成等比数列，即 ，所以 解得由于 ，所以（2 ）因为 ，所以 ，因此故 ，.所以数列 的前 项和【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在四棱锥 中， ，且（1）证明：平面 平面 （2）若 ，四棱锥 的体积为 9，求四棱锥 的

16、侧面积【答案】证明略；【解析】【分析】（1）推导出 ABPA，CDPD，从而 ABPD，进而 AB平面 PAD，由此能证明平面;（2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 E，连结 PE，则 PE底面 ABCD，由四棱锥 PABCD 的体积为9，求出 a=3，由此能求出该四棱锥的侧面积【详解】 （1）又又（2 ）设 ，则 .过 作 , 为垂足，为 中点.四棱锥 P-ABCD 的侧面积为：,。【点睛】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处

17、理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用19.某校决定为本校上学所需时间不少于 30 分钟的学生提供校车接送服务为了解学生上学所需时间，从全校 600 名学生中抽取 50 人统计上学所需时间（单位：分钟） ，将 600 人随机编号为001，002，600，抽取的 50 名学生上学所需时间均不超过 60 分钟，将上学所需时间按如下方式分成六组，第一组上学所需时间在0，10） ，第二组上学所需时间在 10，20），第六组上学所需时间在50，60 ，得到各组人数的频率分布直方图，如下图（1）若抽取的 50 个样本是用系统抽样的方法得到，且第一个抽取的号码为 006，则第五个抽取的号码是多少？

18、（2）若从 50 个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取 2 人，设他们上学所需时间分别为a、b，求满足 的事件的概率；（3）设学校配备的校车每辆可搭载 40 名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？【答案】054； ；3【解析】【分析】（1）根据抽取的 50 个样本，则应将 600 人平均分成 50 组，每组 12 人，然后利用系统抽样的原则，每组中抽出的号码应该等距即可；（2）先由直方图知第 4 组频率和第 6 组频率，然后利用频数=样本容量频率，求出第 4 组和第 6 组的人数，然后利用列举法将从这六人中随机抽取 2 人的所有情况逐一列举出来，然后将满足条件的也列举出

19、来，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可（3）利用样本估计总体的方法，先算出全校上学时间不少于 30 分钟的学生约有多少人，从而估计全校需要几辆校车【详解】 （1）60050=12，第一段的号码为 006，第五段抽取的数是 6（51）12=54，即第五段抽取的号码是 054（2 ）第四组人数=0.0081050=4 ，设这 4 人分别为 A、B 、C、D ，第六组人数=0.0041050=2，设这 2 人分别为 ,随机抽取 2 人的可能情况是：AB AC AD BC CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy一共 15 种情况，其中他们上学所需时间满足 的情况有 8 种，所以

20、满足 的事件的概率 ，（3 ）全校上学所需时间不少于 30 分钟的学生约有：600（0.008 0.0080.004）10=120 人，所以估计全校需要 3 辆校车.【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.20.已知抛物线 E： 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 E 交于 A，C 两点（1）求证：抛物线 E 在 A、C 两

21、点处的切线互相垂直（2）过点 F 作直线 l 的垂线与抛物线 E 交于 B，D 两点，求四边形 ABCD 的面积的最小值【答案】见证明；32【解析】【分析】（1）设过点 的直线方程为 .与抛物线联立得到 利用导数的几何意义表示切线斜率，从而得证；（2）表示 ， ，【详解】 （1）设过点 的直线方程为 .由 得 ，即 .设 ，则.设抛物线 E 在 A、C 两点处的切线的斜率分别为 ，则 .故抛物线 E 在 A、C 两点处的切线互相垂直.（2 ）由（1 ）知 ，同理 ，=32四边形 ABCD 的面积的最小值为 32.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显

22、体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.设函数 ，其中（1）讨论 的单调性；（2）若 a1，求 的最小值求证： 提示：（n1）！123（n1）【答案】见证明；1；见证明【解析】【分析】(1)求出 ，对 a 讨论，得到 的单调性；（2）利用单调性即可得到

23、最值， 由知 ，令 ，则 ，然后累加即可.【详解】 （1）当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（2 ） ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，即 的最小值为 1.由知 ，令 ，则 ，所以 ， ， ，叠加得： ,，则 ，所以.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以

24、 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为，曲线 C 的参数方程为 为参数）（1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M 且平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，若 ，求 a 的值【答案】 ，曲线 ；3 或-3【解析】【分析】（1）根据题意，由极坐标方程的定义可得直线 l 的方程，对于曲线 C 的参数方程，消去参数计算即可得答案；（2）设过点 且平行于直线的直线为 （为参数） ，结合题意直线 L1 与曲线 C 相交可得： .，又由题意可得 ，从而得到结果【详解】 （1）直线的极坐标方程为 ，所以直线的斜率为 1，直线 ，曲线 C

25、的参数方程为 （为参数） ，消去参数，可得曲线 .（2 ）设过点 且平行于直线的直线为 （为参数）.由直线 与曲线 C 相交可得 .因为 ,所以 ，即 或 .【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0，y 0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数)若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 ，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 ，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 23.选修 45：不等式选讲已知函数 （1）解不等式（2）若对任意的 ，任意的 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围【答案】见解析； 或【解析】

26、【分析】（1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；（2）因为对任意的 ，任意的 ，使得 成立，所以 .【详解】 （1）由 得不等式的解为 .（2 ）因为对任意的 ，任意的 ，使得 成立，所以 ，又,，得不等式的解为 或 .【点睛】求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题， 此两类问题都可转化为最值问题 ，即 f(x)f(x )max，f(x)a 恒成立af(x) min.第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即|a| |b| ab|a|b|；利用零点分区间法