第4章三角形 培优单元试卷（含答案）2022-2023学年北师大版七年级数学下册

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1、第4章三角形一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是().A一边和这一边上的高对应相等B两边和第三边上的中线对应相等C两边和其中一边的对角对应相等D直角三角形的斜边对应相等2老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（）A4B5C6D73如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（）ABCD4如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE

2、的两侧，ABDE，BFCE，添加一个适当的条件后，仍不能使得ABCDEF（）AACDFBACDFCADDABDE5如图，ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A2对B3对C4对D5对6如图，则下列结论错误的是（）ABCD7若a，b，c是ABC的三边，则化简的结果是（）ABCD08如图，在ABC中，AB=BC，点D是BC的中点，BFAD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）A1=3B2=3C3=4D4=59“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），AOB和OA上一点C求作：一

3、个角等于AOB，使它的顶点为C，一边为CA作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（ODOC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC所以CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A三边分别相等的两个三角形全等B全等三角形的对应角相等C两直线平行同位角相等D两点确定一条直线10如图1，已知 AB=AC，D为BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F

4、为BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（） AnB2n-1CD3（n+1）二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11在三角形ABC中，AB4，AD为ABC的中线，且AD3.则AC的取值范围是_12如图，在中，若的面积为4，则四边形的面积为_13如图，在中，平分，于，若，则为_14如图所示，锐角ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F将ADC和AEB分别绕着边AB、AC翻折得到ADC和AEB，且EBDCBC，若BAC42，则BFC的大小是 _15如图，三角形ABC中，BD平分，若，则_1

5、6如图，在ABC中，AH是高，AEBC，ABAE，在AB边上取点D，连接DE，DEAC，若，BH1，则BC_17如图，在四边形ABCD中，ADAB，DCBC，DAB60，DCB120，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DEBF，若G在AB上，且ECG60，则DE、EG、BG之间的数量关系是_18如图，在中，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为 _三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）图1是小朋友荡秋千的场景静止时场景平面图中，秋千位于铅垂线上，转轴中心B到地

6、面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若(1) 求证：；(2) 求到的距离20（8分）如图，在RtABC中，BAC=90，ABC=60，AD，CE分别平分BAC，ACB(1) 求AOE得度数；(2) 求证：AC=AE+CD21（10分）如图，在ABC中，点D在边上，连接，点E，F在线段上，连接， (1) 与全等吗？说明你的理由；(2) 若，请直接写出BF的长为 ；(3) 若与的面积之和为12，则的面积为 22（10分）如图1，中，若，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：(

7、1) 由已知和作图能得到的理由是_(2) 求得的取值范围是_(3) 如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：23（10分）如图中，是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接(1) 如图1，若点在线段上，且，的度数为_；(2) 设，如图2当点在线段上移动时，求证：；当点在的延长线上时，中的结论是否仍然成立？说明理由；当点在的延长线上时，直接写出之间的数量关系：_24（12分）在中，将一个含45角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证

8、明，只需证明即可请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接，如图所示，求证：；(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系参考答案1B【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析解：A、一边和这边上的高对应相等，无法得出它们全等，故此选项错误；B、两边和第三边上的中线对应相等，通过如图所示方式（倍长中线法）可以证明它们全等（ABCABC），故此选项正确.C、两边和其中一边的对角对应相等，无法利用ASS得出它们全等，故此选项错误；D、直角三角形的斜边对应相等,无法得出它们全等，故此选项错误故选：

9、B【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角2C【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x，则，即，整数x的值为5、6 、7 、8、9、10，同学们最多能做出6个不同的三角形木架故选：C【点拨】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键3C【分析】DCM=D+DBC，ACM=A+ABC，再结合角平分线，得到A=2D即可解：是的平分线，ABC=2DBC，同理，ACM=2DCM，A

10、CM=A+ABC，2DCM=A+2DBCDCM=D+DBC，A=2D，故选：C【点拨】本题考查了角平分线性质和三角形外角的性质，解题关键是利用外角的性质和角平分线性质得到A与D的关系4A【分析】根据ABDE证得BE，又已知BFCE证得BCEF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.解：ABDE，BE，BFCE，BF+FCCE+FC，BCEF，若添加ACDF，则不能判定ABCDEF，故选项A符合题意；若添加ACDF，则ACBDFE，可以判断ABCDEF（ASA），故选项B不符合题意；若添加AD，可以判断ABCDEF（AAS），故选项C不符合题意；若添加ABDE，可以判断AB

11、CDEF（SAS），故选项D不符合题意；故选：A【点拨】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.5C【分析】先根据条件，利用AAS可知ADBAEC，然后再利用HL、ASA即可判断AOEAOD，BOECOD，AOCAOB.解：AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，ADB=AEC=90，A为公共角，ADBAEC，（AAS）AE=AD，B=CBE=CD，AE=AD，OA=OA，ADB=AEC=90，AOEAOD（HL），OAC=OAB，B=C，AB=AC，OAC=OAB，AOCAOB.（ASA）B=C，BE=CD，ODC=OEB=90，BOE

12、COD（ASA）综上：共有4对全等三角形，故选C.【点拨】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏6D【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可解：在和中，（），故选项A正确，不合题意；连接，（），故选项C正确，不合题意；，证不出，选项D错误，符合题意；在和中，（），故选项B正确，不合题意；故选：D【点拨】本题考查了全等三角形的判

13、定和性质，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键7B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c0，b-a-c0，再根据绝对值的性质进行化简计算解：根据三角形的三边关系，得a-b-c0，b-a-c 0原式=故选B【点拨】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系8A【分析】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形全等的判定定理与性质推出，又根据三角形全等的判定定理与性质推出，由此即可得出答案解：如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，即在和中，点D是BC的

14、中点在和中，故选：A【点拨】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键9C【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知EODGCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C【点拨】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断10C【分析】根据条件可得图1中ABDACD有1对三角形全等；图2

15、中可证出ABDACD，BDECDE，ABEACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数解：AD是BAC的平分线，BAD=CAD在ABD与ACD中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD图1中有1对三角形全等；同理图2中，ABEACE，BE=EC，ABDACDBD=CD，又DE=DE，BDECDE，图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是故选：C【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律112AC10【分析】先

16、画出图形，利用三角形的边的关系确定BD的取值范围，再确定BC的取值范围，最后再利用三角形的边的关系确定AC的取值范围解：解：延长AD到E 使AD=DE 连BE 易得BE=ACAB=4，AE=6根据两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 得2BE10即 2AC10【点拨】本题主要考查了三角形的边的关系和中线的定义，可见做出辅助线是解答本题的关键1214【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题解：如图，连接AF，的面积为4，解得，故答案为：14【点拨】本题主要考查了根据三角形的中线求面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三角形面积相等134【分析】延长BA，CE交于点F，证BEFBEC，AB

17、DACF，得出EFEC，ECCF，及BDCF，则CEBD，可以求出其值解：延长BA，CE交于点F，BAC90，BAC=BEC=FAC，ABD+ADB90，CDE+ACF90，ADB=CDE，ABDACF，在ABD和ACF中 ABDACF，BDCF=8，BD平分ABC，ABECBE，CEBD，BEFBEC90在BEF和BEC中 BEFBEC，EFEC，ECCF=4故答案为：4【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质及判定，会添加辅助线构造全等是解题关键1496#96度【分析】根据题意由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行分析解答解：

18、设C=，B=，将ADC和AEB分别绕着边AB、AC翻折得到ADC和AEB，ADCADC，AEBAEB，ACD=C=，ABE=B=，BAE=BAE=42，CDB=BAC+ACD=42+，CEB=42+CDEBBC，ABC=CDB=42+，ACB=CEB=42+，BAC+ABC+ACB=180，即126+=180则+=54BFC=BDC+DBE，BFC=42+=42+54=96故答案为：96【点拨】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是利用“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理158【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解；解：如图，延长AD交BC与点

19、E，BD平分BD=BDAB=BEAD=DE，故答案为：8【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键162.5【分析】过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，先分别证明，由此可得，再结合可得，由此可得，进而即可求得答案解：如图，过点E作EFAB，交BA的延长线于点F，EFAB，AHBC，EFAAHBAHC90，AEBC，EAFB，在与中，在与中，解得：，即，又BH1，CH1.5，BCBHCH2.5，故答案为：2.5【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决

20、本题的关键17DE+BGEG【分析】连接，利用全等三角形的判定和性质，求解即可解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BGEG理由如下：连接AC，如图所示，在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），又ECG60，DCEACG，ACEBCG，D+DAB+ABC+DCB360，DAB60，DCB120，D+ABC36060120180，又CBF+ABC180，DCBF，在CDE和CBF中，CDECBF（SAS），CECF，DCEBCF，BCG+BCFACE+DCE60，即FCG60，ECGFCG，在CEG和CFG中，CEGCFG（SAS），EGFG，又DEBF，FGBF+BG，DE+BG

21、EG故答案为：DE+BGEG【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质185或2.5或6【分析】分三种情况讨论得出关于的方程，解方程求得的值，进而即可求得的长解：当在上，在上时，于，于，若，则，解得，；当在上，在上时，即、重合时，则，由题意得，解得，当在上，且点与重合，点运动到上时，综上，当与全等时，满足条件的的长为5或2.5或6故答案为5或2.5或6【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于的方程是解题的关键19(1)见分析(2)到的距离是【分析】（1）根据，得到，即可得到答案；（2）作，垂足为F，易得，即可得到，再根据且，得到，

22、即可得到答案解：（1）证明：，又，；（2）解：如图2，作，垂足为F，；在和中，；且，即到BD的距离是【点拨】本题考查全等三角形判定与性质应用，解题的关键是根据垂直找到全等三角形的条件20(1) (2) 见分析【分析】（1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数；（2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题解：（1）解：，平分，平分，,，是的外角，；（2）证明：在上截取，连接，平分，在和中， ，平分，在和中， ，【点拨】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法21(1) 全等，证明见分析(2) 3(3) 48【

23、分析】（1）连接，易得，进而得到再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用 即可说明理由；（2）由，则利用全等三角形的性质和已知条件即可求得的长；（3）由可得，所以，根据，可得到 ，从而可得的面积（1）解：与全等，理由如下：且，由外角定理可得，又，在和中，（）（2）解：，又，故答案为：3（3）解：，又，故答案为：48【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形外角定理等知识点，证得是解答本题关键22(1) ；(2) ；(3) 证明见分析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；（2）根据三角形的三边关系计算；（3）延长到E，使，连接，证明，得到，证明，得到，再利用即

24、可证明（1）解：是边上的中线，在和中，故答案为：（2）解：，在中，即，故答案为：（3）解：延长到E，使，连接，在和中，在和中，在中，【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键23(1) (2) 见分析；中的结论仍然成立理由见分析；【分析】（1）利用证明，得则；（2）利用证明，得，则；与同理可证明结论；由同理可得得，则，即可得出结论解：（1）解：，在和中，故答案为：（2）证明：，在和中，结论仍然成立，如图：，在和中，；如图，由同理可得得，则，【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的

25、判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练证明是解题的关键24(1) 见分析(2) 见分析(3) ，见分析【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；（2）根据，得出，从而得到，由于是含45直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明解：（1）证明：在中，又点D是的中点，且，又是直角三角尺，即，在和中，；（2）证明：，且由于是含45直角三角尺，即在和中，；（3）解：作图正确（如图所示）猜想：，理由如下：，又，【点拨】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质