第17章勾股定理 尖子生培优单元试卷（含答案解析）2022-2023学年人教版八年级数学下册

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1、第17章勾股定理一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（）AA：B：C2：3：5Ba：b：c5：3：4Ca，b，cDA+B2C2（2020春凯里市期末）如图，已知RtABC中，ABC90，分别以AB、BC、AC为边长向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3若S14，S29，则S3的值为（）A13B5C11D373（2022秋余庆县期末）在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（）A6B12C24D484（2022秋东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断

2、之前高（）A5mB7mC8mD10m5（2022秋雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（）A13B119C169D119或1696如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则AC边上的高是（）ABCD7（2022秋萧县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）221大正方形的面积为13则小正方形的面积为（）A3B4C58（2022秋宁德期末）意大利著名画家达芬奇用下图所示的方法证

3、明了勾股定理若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（）AS1a2+b2+2abBS1a2+b2+abCS2c2DS2c2+ab9（2022秋辉县市校级期末）如图，在RtABC中，C90，以ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CPCG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S14，S27，则SACP：SBCP等于（）A2：B4：3C：D7：410（2021秋乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成若较短的直

4、角边BC5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（）A76B57C38D19二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022秋伊川县期末）已知a、b为直角三角形的两边长，且满足（a3）2+|b4|0，则第三边长为 12（2022秋沙坪坝区校级期末）如图ABC中，ABAC，过点C作CDAB交AB于点D已知CD5，BD2，则AB的长是 13如图，在ABC中，C90，点D是BC上的点，若BD2，DC3，则AB2AD2的值为 14（2022秋平顶山期末）如图，四边形ABCD中

5、，AB14，BC10，CD8，DA6，其中D90，则四边形ABCD的面积是 15（2022秋平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米16（2022秋阳泉期末）如图所示，已知ABC中，BC16cm，AC20cm，AB12cm，点P是BC边上的一个动点，点P从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），若ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t 三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022秋卧龙区校

6、级期末）如图，已知CD6m，AD8m，ADC90，BC24m，AB26m求图中着色部分的面积18（2022秋莱阳市期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图根据安全标准需满足BCCD，现测得ABCD6dm，BC3dm，AD9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90的零件连接（即ABD90），通过计算说明该车是否符合安全标准19（2022秋南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC6千米，CH4.

7、8千米，BH3.6千米（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明（2）求原来的路线AC的长20（2022春朝阳区校级期中）如图，44方格中每个小正方形的边长都为1（1）图（1）中正方形ABCD的面积为 ，边长为 ；（2）在图（2）的44方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并在图（2）的数轴上，用圆规找出实数的准确位置21如图，在RtABC中，B90，AD平分BAC交BC于点D，作DEAC于点E（1）若ADCD，求C的度数（2）若AB6，BC8求AE的长度；求ACD的面积22（2022秋兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答

8、问题已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2（1）已知A（2，4），B（3，8），试求A，B两点间的距离（2）已知DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由23（2022秋代县期末）综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个

9、全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S342，求S2的值第17章勾股定理 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（）AA：B：C2：3：5Ba：b：c5：3：4Ca，b，cDA+B2C【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D【解析】AA：B：C2：3：5，A+B+C180，最大角C18090，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；Ba：b：c5：3：4，b2+c2a2，ABC是直角三角形，故

10、本选项不符合题意；Ca，b，c，b2+c2a2，ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；DA+B2C，A+B+C180，3C180，C60，A+B120，不能求出ABC的一个角是直角，即ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D2（2020春凯里市期末）如图，已知RtABC中，ABC90，分别以AB、BC、AC为边长向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3若S14，S29，则S3的值为（）A13B5C11D37【分析】先根据勾股定理得出ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S3的值【解析】ABC中，ABC90，AB2+BC2AC2，BC2AC2AB2，AB2S14，BC2S2

11、9，AC2S3，S3S1+S24+913故选：A3（2022秋余庆县期末）在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（）A6B12C24D48【分析】设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，由题意得x+y13，则（x+y）2132，再由勾股定理得x2+y2112，得2xy48，则xy24，即可求解【解析】设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，由题意可得：x+y241113，（x+y）2132，由勾股定理可得：x2+y2112，得：2xy48，xy24，该三角形的面积为：xy2412，故选：B4（2022秋东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m

12、处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）A5mB7mC8mD10m【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度【解析】如图；在RtABC中，AB3米，BC4米，由勾股定理，得：AC5米，AC+AB3+58米，即大树折断之前有8米高故选：C5（2022秋雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（）A13B119C169D119或169【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分m为直角边与斜边两种情况进行讨论【解析】当m为直角边时，m212252119；当m为斜边时，m252+122169故选：D6如图，

13、小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则AC边上的高是（）ABCD【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高【解析】四边形DEFA是正方形，面积是4；ABF，ACD的面积相等，且都是121BCE的面积是：11则ABC的面积是：411在直角ADC中根据勾股定理得到：AC设AC边上的高线长是x则ACxx，解得：x故选：C7（2022秋萧县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2

14、21大正方形的面积为13则小正方形的面积为（）A3B4C5【分析】观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）221，大正方形的面积为13，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案【解析】如图所示：（a+b）221，a2+2ab+b221，大正方形的面积为13，a2+b213，2ab21138，小正方形的面积为1385故选：C8（2022秋宁德期末）意大利著名画家达芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（）AS1a2+b2+2abBS1a2+b2+abCS2c2

15、DS2c2+ab【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题【解析】观察图象可知：S1S2a2+b2+abc2+ab，故选：B9（2022秋辉县市校级期末）如图，在RtABC中，C90，以ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CPCG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S14，S27，则SACP：SBCP等于（）A2：B4：3C：D7：4【分析】过点P作PMCB，交CB的延长线于点M，作PNCA，交CA的延长线于点N根据CP平分ACB，即可得出PMPN再根据正方形ACDE和正方形BCFG的面积之

16、比为4：3，即可得到AC：BC2：，进而利用三角形面积公式得到SACP：SBCP的值【解析】如图所示，过点P作PMCB，交CB的延长线于点M，作PNCA，交CA的延长线于点N，由题可得，BCG45，CPCG，BCP45，又ACB90，ACP45，即CP平分ACB，又PMBC，PNAC，PMPN，正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S14，S27，正方形BCFG的面积743，正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，AC：BC2：， 即SACP：SBCP等于2：故选：A10（2021秋乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三

17、角形围成若较短的直角边BC5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（）A76B57C38D19【分析】由题意ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个【解析】设ACADx，则BD3052x252x，BD2BC2+CD2，52+（2x）2（252x）2，x6，BD252x13，AD6，这个风车的外围周长是：（13+6）476故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022秋伊川县期末）已知a、b为直角三角

18、形的两边长，且满足（a3）2+|b4|0，则第三边长为 5或【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用勾股定理得出答案【解析】（a3）2+|b4|0，a30，b40，解得：a3，b4，直角三角形的两边长分别为a，b，第三边长5或，故答案为：5或12（2022秋沙坪坝区校级期末）如图ABC中，ABAC，过点C作CDAB交AB于点D已知CD5，BD2，则AB的长是 【分析】设ABACx，则ADx2，在RtACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解析】设ABACx，则ADABBDx2，CDAB，ADC90，在RtACD中，由勾股定理得：CD2+AD2AC2，即52+（x2）2x2，解得：x

19、，即AB的长为，故答案为：13如图，在ABC中，C90，点D是BC上的点，若BD2，DC3，则AB2AD2的值为 16【分析】在RtABC与RtACD中，由勾股定理得AB2AC2+BC2，AD2AC2+CD2，两式相减即可得出结论【解析】BD2，DC3，BCBD+DC5，在RtABC与RtACD中，由勾股定理得：AB2AC2+BC2，AD2AC2+CD2，AB2AD2BC2CD2523216，故答案为：1614（2022秋平顶山期末）如图，四边形ABCD中，AB14，BC10，CD8，DA6，其中D90，则四边形ABCD的面积是 7+24【分析】连接AC，根据勾股定理计算出AC长，根据ACBC

20、确定ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出底边上的高，然后再求出面积，利用ACD和ABC的面积求和即可【解析】连接AC，过点C作CEAB于点E，如图所示：D90，CD8，DA6，BC10，ACBC，CEAB，AEC90，在RtACE中根据勾股定理得：，故答案为：15（2022秋平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米【分析】在RtABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BDABAD可得BD长【解析】在RtA

21、BC中：CAB90，BC17米，AC8米，AB15（米），CD10（米），AD6（米），BDABAD1569（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：916（2022秋阳泉期末）如图所示，已知ABC中，BC16cm，AC20cm，AB12cm，点P是BC边上的一个动点，点P从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），若ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t6s或12s或10.8s【分析】分情况讨论：ABBP，ABAP，画出图形分别求解即可【解析】BC16cm，AC20cm，AB12cm，BC2+AB2AC2，B90，如图1，ABPB12cm，t1226s；如图

22、2，APAB12cm，BC+PC（16+2012）cm24cm，t24212s；如图3，ABBP12cm，过点B作BDAC于D，则ADPD，SABCABBCACBD，121620BD，BD9.6cm，由勾股定理得：AD7.2cm，AP2AD14.4cm，t（16+2014.4）210.8s，综上所述，t的值是6s或12s或10.8s故答案为：6s或12s或10.8s三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022秋卧龙区校级期末）如图，已知CD6m，AD8m，ADC90，BC24m，AB26m求图中着色部分的面积【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再

23、根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角形，再根据S阴影ACBCADCD即可得出结论【解析】在RtADC中，CD6米，AD8米，BC24米，AB26米，AC2AD2+CD282+62100，AC10米（取正值）在ABC中，AC2+BC2102+242676，AB2262676AC2+BC2AB2，ACB为直角三角形，ACB90S阴影ACBCADCD10248696（米2）答：图中阴影部分的面积为96米218（2022秋莱阳市期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图根据安全标准需满足BCCD，现测得ABCD6dm，BC3dm，AD9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90的零件连接（即

24、ABD90），通过计算说明该车是否符合安全标准【分析】在RtABD中，由勾股定理求出BD，在BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可【解析】在RtABD中，BD2AD2AB2926245，在BCD中，BC2+CD232+6245，BC2+CD2BD2，BCD90，BCCD故该车符合安全标准19（2022秋南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中ABAC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC6千米，CH4.8千米，BH3.6千米（1）问CH

25、是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明（2）求原来的路线AC的长【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可【解析】（1）是，理由是：在CHB中，CH2+BH2（4.8）2+（3.6）236，BC236，CH2+BH2BC2，CHAB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设ACx千米，在RtACH中，由已知得ACx，AHx3.6，CH6，由勾股定理得：AC2AH2+CH2x2（x3.6）2+62，解这个方程，得x6.8，答：原来的路线AC的长为6.8米20（2022春朝阳区校级期中）如图，44方格中每个小正方形的边长都为1（1）

26、图（1）中正方形ABCD的面积为 5，边长为 ；（2）在图（2）的44方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并在图（2）的数轴上，用圆规找出实数的准确位置【分析】（1）根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算即可；（2）根据题意画出面积为8的格点正方形，根据算术平方根得到EF，尺规作图即可【解析】（1）正方形ABCD的面积331245，则正方形ABCD的边长为，故答案为：5；（2）如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数21如图，在RtABC中，B90，AD平分BAC交BC于点D，作DEAC

27、于点E（1）若ADCD，求C的度数（2）若AB6，BC8求AE的长度；求ACD的面积【分析】（1）根据角平分线的性质得到DBDE，根据全等三角形的性质得到BADEAD，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AC10，根据全等三角形的性质得到AEAB6；设BDDEx，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论【解析】（1）B90，AD平分BAC交BC于点D，作DEAC于点E，BDDE，ADAD，RtABDRtAED（HL），BADEAD，ADCD，DACACD，BADCADC，BAC+C90，C30；（2）B90，AB6，BC8，AC10，由（1）知，ABDAED，AEAB6

28、；AC10，AE6，CE4，设BDDEx，CD8x，DE2+CE2DC2，x2+42（8x）2，解得x3，DE3，ACD的面积ACDE1031522（2022秋兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2（1）已知A（2，4），B（3，8），试求A，B两点间的距离（2）已知DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可；（2）根据两点的距离公式求出各条线段的长度，再判定三角形的性质可求解【解析】（1）根据两点的距离公式得，AB；

29、（2）DEF为等腰三角形理由：D（1，6），E（2，2），F（4，2），DE，EF，DF，DEDF，DEF为等腰三角形23（2022秋代县期末）综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S34

30、2，求S2的值【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理；（2）可设ACx，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到2S2S1+S3，再根据S1+2S2+S342，即可得出S2的值【解析】（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，大正方形的面积4ab+（ab）2，4ab+（ab）2c2，化简可得，a2+b2c2；（2）2446，设ACx，则AB6x，依题意得：（x+3）2+32（6x）2，解得x1，该“勾股风车”图案的面积为：（3+1）3443424答：该“勾股风车”图案的面积为24；（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则S2S14a，S2S3+4a，两式相加，可得2S2S1+S3，又S1+2S2+S342，4S242，S210.5