2023年云南省曲靖市中考第一次模拟数学试卷（含答案解析）

《2023年云南省曲靖市中考第一次模拟数学试卷（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年云南省曲靖市中考第一次模拟数学试卷（含答案解析）（22页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2023年云南省曲靖市中考第一次模拟数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 2. 一个物体从起始位置向西移动了5米后，又向东移动了7米，则这个物体最终位置在起始位置的（ ）A. 西边12米B. 西边2米C. 东边2米D. 东边12米3. 如图， 是 平分线，则 的度数是（ ）A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图像上有三个点：，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，

2、在ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记DOE的面积为S1，COB的面积为S2，则S1：S2（）A. 1：4B. 2：3C. 1：3D. 1：26. 2022年2月22日春城飘雪，低温挡不住昆明人对雪的热情21日至27日一周昆明每天的最低气温（单位：）分别为：2，1，3，5，5，6，则下列关于这组数据说法错误的是（ ）A. 平均数是3B. 方差是C. 中位数是3D. 众数是57. 如图是一个立体图形正视图、左视图和俯视图，那么这个立体图形是（ ）A. 圆锥B. 三棱锥C. 四棱锥D. 五棱锥8. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，第n个单项式是（ ）A. (2n-1

3、)B. (2n+1)C. (n-1)D. (n+1)9. 下列说法正确的是（ ）A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B. 圆的切线垂直于圆的半径；C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等；D. 同弧或等弧所对的圆周角相等；10. 下列运算正确的是（ ）A B. C. D. 11. 如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（）A. B. C. D. 12. 王利在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50打八折，于是王利又拿了一瓶相同酸奶，共花费了44.8元则王利一共买了几瓶酸奶？若设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 二

4、、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13. 写出一个能使有意义的x的值：_14. 在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是_15. 因式分解：_16. 如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么_17. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_18. 如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”将它沿AC向上折叠，若点B落在点E处，D=60，B=90，则DCE等于_三、（本大题共6小题，共48分19题8分，20题

5、7分，2123题各8分，24题9分）19. 为落实“双减”政策，某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成两幅统计图，试根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补充条形统计图；（3）若学校共有学生 3000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？20. 某西瓜种植户在直播平台销售西瓜时宣传：“我家西瓜呀大又甜，平均都在公斤以上货到不满意包退款！”，当天最后还有五个西瓜（封装在外观完全相同的纸箱中），所装西瓜的重量分别为公斤，公斤，公斤，公斤，公斤这五个纸箱随机摆放王先生下了当的最

6、后一单，发货员在不知道重量的情况下随机选择发货（1）若王先生下单只买了一个西瓜，则收到的西瓜重量超过5公斤的概率是_；（2）若王先生下单买了两个西瓜，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求他收到西瓜重量符合卖家宣传的概率21. 如图，中，在线段上，在的延长线上，连交于，过作于（1）若，试判断的形状；并说明理由（2）若，求证：22. 2022年1月7日，云南省全民健身实施计划（2021-2025年）新闻发布会顺利举行会议上就“十四五”时期深化体育改革，推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排其中，“强化供给，补齐全民健身设施建设短板”是云南省全民健身实施计划（2021-2025年）的主要任

7、务之一春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元（1）A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱？（2）春城小区计划购买B型健身器材数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元，请问共有哪几种购买方案，哪一种方案最省钱23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到（1）求证：（2）若，求正方形的边长24. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）

8、连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；（3）在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由2023年云南省曲靖市中考第一次模拟数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，据此可以解答【详解】解：故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表

9、示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键2. 一个物体从起始位置向西移动了5米后，又向东移动了7米，则这个物体最终位置在起始位置的（ ）A. 西边12米B. 西边2米C. 东边2米D. 东边12米【答案】C【解析】【分析】设向东为正，然后列出算式，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解【详解】解：设向东为正，则向西为负，根据题意得，7+（-5）=2（米），即这个物体最终位置在起始位置的东边2米处故选：C【点睛】本题考查了有理数的加法运算的应用，正负数的意义，设向东为正，然后列出算式是解题的关键3. 如图， 是 的平分线，则 的度数是（ ）A. B. C. D.

10、【答案】D【解析】【分析】先根据角平分线求得，进而由邻补角求得，最后由三角形的外角性质即可求解【详解】解：是的平分线，故选D【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算、邻补角的有关计算以及三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义以及外角性质是解题的关键4. 已知反比例函数的图像上有三个点：，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数图形的性质，对称性即可求解【详解】解：反比例函数中，图像经过第二、四象限，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大，在反比例函数的图象上，故选：【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键

11、5. 如图，在ABC中两条中线BE、CD相交于点O，记DOE的面积为S1，COB的面积为S2，则S1：S2（）A. 1：4B. 2：3C. 1：3D. 1：2【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线得出，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可【详解】解：BE和CD是ABC的中线， DE= BC， DOECOB， ， 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半6. 2022年2月22日春城飘雪，低温挡不住昆明人对雪的热情21日至27日一周昆明每天的

12、最低气温（单位：）分别为：2，1，3，5，5，6，则下列关于这组数据说法错误的是（ ）A. 平均数是3B. 方差是C. 中位数是3D. 众数是5【答案】B【解析】【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义求出各值即可求解【详解】将原数列从小到大排列： 1，1，2，3，5，5，6，平均数为(-1+1+2+3+5+5+6)7=3，方差为，中位数为：3，众数为：5，故选：B【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数和众数的概念，熟记平均数、方差、中位数和众数的概念是解答本题的关键7. 如图是一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，那么这个立体图形是（ ）A. 圆锥B. 三棱锥C. 四棱锥D. 五棱锥【答

13、案】C【解析】【分析】该几何体的俯视图是一个正方形，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何体为四棱柱【详解】解：根据三视图可以想象出该物体由四条棱组成，底面是正方形，此只有四棱柱的三视图与题目中的图形相符，故选：C【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力，本题较简单8. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，第n个单项式是（ ）A. (2n-1)B. (2n+1)C. (n-1)D. (n+1)【答案】A【解析】【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选

14、：A【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键9. 下列说法正确的是（ ）A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B. 圆的切线垂直于圆的半径；C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等；D. 同弧或等弧所对的圆周角相等；【答案】D【解析】【分析】利用垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，且平分弦所对的两条弧，错误，是假命题；B、圆的切线垂直于过切点的的半径，故错误，是假命题；C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误，是假命题；D、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，是真

15、命题，故选：D【点睛】本题考查了圆的有关知识，解题的关键是了解垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，难度不大10. 下列运算正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的性质，二次根式的加法运算，负整数指数幂，积的乘方，逐项判断即可求解【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；B、3和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的加法运算，负整数指数幂，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键11. 如图，在和中，已知，则添加以下条

16、件，仍不能判定的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理分别判定即可【详解】解：A、，添加条件，根据可判定，故本选项不符合题意；B、，添加条件，根据不能判定，故本选项符合题意；C、，添加条件，根据HL可判定，故本选项不符合题意；D、，添加条件，根据可判定，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目12. 王利在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50打八折，于是王利又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44

17、.8元则王利一共买了几瓶酸奶？若设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知等量关系：第二次购买酸奶数第一次购买酸奶数=1，由此列出方程即可【详解】解：根据题意可知第二次购买酸奶数第一次购买酸奶数=1，由可列出方程为：，故选：D【点睛】本题考查列分式方程解决实际问题，能够根据题意找出等量关系式解决本题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13. 写出一个能使有意义的x的值：_【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次根式有意义是条件列出不等式，解不等式求出x的范围，进而得到答案【详解】解：要使有意义，必须x20，

18、则x2，使有意义的x的值可以是3，故答案：3（答案不唯一）【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键14. 在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是_【答案】【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键15. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】利用平方差公式直接分解即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键16.

19、 如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么_【答案】#【解析】【分析】根据已知可得大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，然后设三角形的长直角边为a，短直角边为b，从而可得，进而可得，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答【详解】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， 大正方形的边长是5，小正方形的边长是1， 设三角形的长直角边为a，短直角边为b， 由题意得： ， 解得：， （负根舍去）， 故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键17. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆

20、锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_【答案】【解析】【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，进行解答即可得【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，故答案为：【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式18. 如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”将它沿AC向上折叠，若点B落在点E处，D=60，B=90，则DCE等于_【答案】15#15度【解析】【分析】根据已知条件可得ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，再由翻折性质即可解

21、决问题【详解】解：AD=CD，D=60，ACD是等边三角形，ACD=60，AB=CBB=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=45，由翻折可知：ACE=ACB=45，DCE=ACD-ACE=15故答案为：15【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质三、（本大题共6小题，共48分19题8分，20题7分，2123题各8分，24题9分）19. 为落实“双减”政策，某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成两幅统计图，试根据图中的信息，完成下列问题：（1）学校这次调查共抽取了多少名学生？（2）

22、请通过计算补充条形统计图；（3）若学校共有学生 3000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？【答案】（1） （2）作图见解析 （3）【解析】【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中“喜欢书法”人数所占百分比可得【小问1详解】解：（名），学校这次调查共抽取了名学生【小问2详解】“民乐”的人数为：（人），补全图形如下：【小问3详解】（人），该校有750名学生喜欢书法【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚

23、地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体的思想20. 某西瓜种植户在直播平台销售西瓜时宣传：“我家西瓜呀大又甜，平均都在公斤以上货到不满意包退款！”，当天最后还有五个西瓜（封装在外观完全相同的纸箱中），所装西瓜的重量分别为公斤，公斤，公斤，公斤，公斤这五个纸箱随机摆放王先生下了当的最后一单，发货员在不知道重量的情况下随机选择发货（1）若王先生下单只买了一个西瓜，则收到的西瓜重量超过5公斤的概率是_；（2）若王先生下单买了两个西瓜，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求他收到西瓜重量符合卖家宣传的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据所

24、装西瓜的重量中超过斤所占的百分比即可求出概率；(2)根据卖家要求列表求出两个西瓜平均超过斤的数量，最后算出百分比【小问1详解】解：所装西瓜的重量分别为公斤，公斤，公斤，公斤，公斤，这个西瓜中超过斤的有，王先生下单只买了一个西瓜，则收到的西瓜重量超过公斤的概率是：；【小问2详解】解：根据题意可知：456674（4，5）（4，6）（4，6）（4，7）5（5，4）（5，6）（5，6）（5，7）6（6，4）（6，5）（6，6）（6，7）6（6，4）（6，5）（6，6）（6，7）7（7，4）（7，5）（7，6）（7，6）由表可以看出，所有可能出现的结果共有20种，这些结果出现的可能性相等其中收到的西瓜平

25、均重量在5公斤以上的结果有14种，即（4，7），（5，6），（5，6），（5，7），（6，5），（6，6），（6，7），（6，5），（6，6），（6，7），（7，4），（7，5），（7，6），（7，7）（他收到的西瓜重量符合卖家承诺）【点睛】本题考查了求概率的方法：列表法和树状图法，熟练列表法是解题的关键21. 如图，中，在线段上，在的延长线上，连交于，过作于（1）若，试判断的形状；并说明理由（2）若，求证：【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

26、和求出，然后计算即可得解；（2）过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即可得证【小问1详解】解：是等腰直角三角形，理由如下：，是等腰直角三角形；【小问2详解】证明：，则，在和中，（AAS），又，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，（2）证得是解题的关键22. 2022年1月7日，云南省全民健身实施计划（2021-2025年）新闻发布会顺利举行会议上就“十四五”时

27、期深化体育改革，推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排其中，“强化供给，补齐全民健身设施建设短板”是云南省全民健身实施计划（2021-2025年）的主要任务之一春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元（1）A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱？（2）春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元，请问共有哪几种购买方案，哪一种方案最省钱【答案】（1）A型健身器材和B型健身器材的单价分别是1000元，1200元 （2）共有

28、三种购买方案方案一：购买4台A型健身器材和6台B型健身器材，购买资金是11200元；方案二：购买5台A型健身器材和5台B型健身器材，购买资金是11000元；方案三：购买6台A型健身器材和4台B型健身器材，购买资金是10800元；方案三最省钱【解析】【分析】（1）设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元，根据“购买1台型健身器材比1台型健身器材贵200元，购买2台型健身器材和5台型健身器材共花8000元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买台型健身器材，则购买台型健身器材，根据“购买型健身器材的数量不超过型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元”，即可得

29、出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论【小问1详解】解：设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元，依题意得：，解得：答：型健身器材的单价是1000元，型健身器材的单价是1200元【小问2详解】解：设购买台型健身器材，则购买台型健身器材，依题意得：，解得：又为整数，可以为4，5，6，共有3种购买方案，方案1：购买4台型健身器材，6台型健身器材，所需购买资金为（元；方案2：购买5台型健身器材，5台型健身器材，所需购买资金为（元；方案3：购买6台型健身器材，4台型健身器材，所需购买资金为（元，最省钱的购物

30、方案为：购买6台型健身器材，4台型健身器材【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组23. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到（1）求证：（2）若，求正方形的边长【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的边长为6【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定

31、理即可得【详解】（1）由旋转的性质得：四边形ABCD是正方形，即，即在和中，；（2）设正方形的边长为x，则由旋转的性质得：由（1）已证：又四边形ABCD是正方形则在中，即解得或（不符题意，舍去）故正方形的边长为6【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键24. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；（3）在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的

32、直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 （3）存在，点的坐标为，或【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线顶点式为，然后将点代入求解即可；（2）先求出直线的解析式，然后联立直线的解析式和抛物线的解析式得出点的坐标，最后利用勾股定理证明即可；（3）分两种情况讨论：当点在轴上时，当点在轴上时，根据勾股定理进行求解即可【小问1详解】抛物线的顶点坐标为，可设抛物线顶点式为，将点代入顶点式得，解得，；【小问2详解】是直角三角形，理由如下：直线过点，设直线的解析式为，点是对称轴与轴的交点，把点代入，并解得，直线的解析式为，联立，并解得，是直角三角形；【小问3详解】存在，点的坐标为，或当点在轴上时，设，若为斜边，则有，解得，若为斜边，则有，解得，；当点在轴上时，设，若为斜边，则有，解得，若为斜边，则有，解得（与点重合舍去），综上所述，点的坐标为，或【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三角形是解题的关键