2023年高考数学二轮优化提升专题训练11：空间几何体的表面积与体积（含答案解析）

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1、专题11 空间几何体的表面积与体积1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.9km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65）（）A1.0109m3B1.2109m3C1.4109m3D1.6109m32、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A100B128

2、C144D1923、【2022年新高考2卷】如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）AV3=2V2BV3=V1CV3=V1+V2D2V3=3V14、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）ABCD5、（2021年全国新高考卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）ABCD6、（2020全国I文理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该

3、四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A B C D 7、（2020全国I文12理10）已知为球的球面上的三个点，为的外接圆若的面积为，则球的表面积为（ ）A B C D 8、（2020全国文11理10）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为 （ ）ABCD9、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为_.10、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面

4、；（2）若，求四棱锥的体积11、 （2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.12、（2021年全国新高考卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.题组一、空间几何体的表面积1-1、（2022广东揭阳高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）ABCD不能确定1-2、（2022湖北武昌高三期末）已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小

5、值时，圆锥的侧面积为（ ）ABCD1-3、（2022河北唐山高三期末）已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（ ）ABCD1-4、（2021山东日照市高三二模）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧组成的图形称为球面已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且经度分别为东经和东经，则球面的面积为_题组二、空间几何体的体积1-1、（2021山东泰安市高三其他模拟）如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮

6、栈、米行等必备的用具它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来若将某个米斗近似看作一个四棱台，上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该米斗的容积约为（ ）附：ABCD1-2、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.年以

7、前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今.如图，三十二面体足球的面由边长相等的块正五边形和块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体.现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由个正六边形与个正五边形以及条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段，如图，则该足球的体积约为（ ）参考数据：，.ABCD1-3、（2022河北张家口高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为（ ）ABCD1-4、（

8、2022江苏如东高三期末）已知三棱锥PABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC6，ABC60，则三棱锥PABC体积的最大值是（ ）ABC24D1-5、（2022湖北省鄂州高中高三期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）ABCD1-6、（2022湖北江岸高三期末）（多选题）正方体的棱长为2，且（），过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是（ ）A平面 B四边形的面积的最大值为C若四边

9、形的面积为，则D若，则四棱锥的体积为题组三、球的切接问题3-1、（2022江苏海门高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）A16BC8D3-2、（2022广东潮州高三期末）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_3-3、（2022广东汕尾高三期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一

10、点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）ABCD3-4、（2021山东德州市高三期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球表面积为_1、（2022江苏海门高三期末）已知圆柱的底面半径为，体积为4，则该圆柱的侧面积为_2、【2022广州市荔湾区上学期调研】若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（ ）A.

11、 B. C. D. 3、【2022广东省梅江市梅州中学10月月考】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_.4、（2022广东铁一中学高三期末）已知四面体中，则其外接球的体积为_.5、（2022湖北襄阳高三期末）已知圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，则圆台的侧面积为（ ）ABCD6、（2022山东青岛高三期末）现有橡皮泥制作的表面积为的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的母线长为（ ）AB2CD17、（2022山东枣庄高三期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为（ ）ABCD8、（2022湖

12、南娄底高三期末）在三棱锥中，已知，平面平面ABC，且，则（ ）AB平面平面ABCC三棱锥的体积为D三棱锥的外接球的表面积为9、（2022山东青岛高三期末）已知正方体的棱长为1，分别为的中点.下列说法正确的是（ ）A正方体外接球的表面积为B面截正方体外接球所得圆的面积为C三棱锥的体积为D直线与面所成角的正切值为专题11 空间几何体的表面积与体积1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.9km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状

13、看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65）（）A1.0109m3B1.2109m3C1.4109m3D1.6109m3【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V棱台上底面积S=140.0km2=140106m2，下底面积S=180.0km2=180106m2，V=13hS+S+SS=139140106+180106+1401801012=3320+60710696+182.65107=1.4371091.4109(m3)故选：C2、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，

14、上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A100B128C144D192【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=33sin60,2r2=43sin60，即r1=3,r2=4，设球心到上下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，所以d1=R2-9，d2=R2-16，故d1-d2=1或d1+d2=1，即R2-9-R2-16=1或R2-9+R2-16=1，解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4R2=100故选：A3、【2022年新高考2卷】如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED,AB=ED=2FB，记三棱

15、锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）AV3=2V2BV3=V1CV3=V1+V2D2V3=3V1【答案】CD【解析】设AB=ED=2FB=2a，因为ED平面ABCD，FBED，则V1=13EDSACD=132a122a2=43a3，V2=13FBSABC=13a122a2=23a3，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，易得BDAC，又ED平面ABCD，AC平面ABCD，则EDAC，又EDBD=D，ED,BD平面BDEF，则AC平面BDEF，又BM=DM=12BD=2a，过F作FGDE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=22a,EG=a，则EM=2

16、a2+2a2=6a,FM=a2+2a2=3a，EF=a2+22a2=3a，EM2+FM2=EF2，则EMFM，SEFM=12EMFM=322a2，AC=22a，则V3=VA-EFM+VC-EFM=13ACSEFM=2a3，则2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.4、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】，为等腰直角三角形，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.5、（2021年全国新高考卷数学试题）已知圆锥的底面半

17、径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.6、（2020全国I文理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A B C D 【答案】C【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去），故选C7、（2020全国I文12理10）已知为球的球面上的三个点，为的外接圆若的面积为，则球的表面积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】

18、设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理可得，根据圆截面性质平面，球的表面积，故选A8、（2020全国文11理10）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为 （ ）ABCD【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得：设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，解得：，球心到平面的距离，故选C9、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为_.【答案】【解析】.故答案为：.10、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求

19、四棱锥的体积【解析】（1）因为底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）可知，平面，所以，从而，设，则，即，解得，所以因为底面，故四棱锥的体积为12、 （2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【解析】(1)如图所示，连结AF，由题意可得：，由于ABBB1，BCAB，故平面，而平面，故，从而有，从而，则，为等腰直角三角形，.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.12、（2

20、021年全国新高考卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【解析】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AOBD因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD，平面ABD，因此AO平面BCD，因为平面BCD，所以AOCD(2)作EFBD于F, 作FMBC于M,连FM因为AO平面BCD，所以AOBD, AOCD所以EFBD, EFCD, ,因此EF平面BCD，即EFBC因为FMBC，,所以BC平面EFM，即BCME则为二面角E-BC-D的平面角, 因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF

21、=FM=平面BCD,所以题组一、空间几何体的表面积1-1、（2022广东揭阳高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）ABCD不能确定【答案】A【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，故选：.1-2、（2022湖北武昌高三期末）已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即 又，所以，解得由，则当，即时，最小值

22、则圆锥的侧面积为 故选：C1-3、（2022河北唐山高三期末）已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面积为，所以，得，设圆柱的外接球半径为，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1，所以外接球的表面积S的最小值为，故选：B1-4、（2021山东日照市高三二模）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧组成的图形称为球面已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，

23、Q在赤道上，且经度分别为东经和东经，则球面的面积为_【答案】【解析】因为PQ在赤道上，且经度分别为东经和东经，上半球面面积为，球面的面积为；故答案为：题组二、空间几何体的体积1-1、（2021山东泰安市高三其他模拟）如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来若将某个米斗近似看作一个四棱台，上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该米斗的容积约为（ ）附：ABCD【答案】C【解析】如图，设上、下底面的

24、中心分别为，过作，垂足为，由题意易知，故，故，故该四棱台的体积故选：C1-2、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今.如图，三十二面体足球的面由边长相等的块正五边形和块正六边形拼接而成，形

25、成一个近似的球体.现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由个正六边形与个正五边形以及条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段，如图，则该足球的体积约为（ ）参考数据：，.ABCD【答案】A【解析】设正五边形的边长为，则，如下图，在正五边形中，内角为，边长为，中，因为在正六边形中，内角为，边长为，正六边形的轴长为，所以大圆的周长为，设球的半径为，则，可得，所以，该足球的体积为.故选：A.1-3、（2022河北张家口高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面面积是底面面积的倍，则该圆锥的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】设圆

26、锥的母线为，高为，由题意可知，圆锥的底面半径为，圆锥的侧面积为，所以，故，所以该圆锥的体积为，故选：D.1-4、（2022江苏如东高三期末）已知三棱锥PABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC6，ABC60，则三棱锥PABC体积的最大值是（ ）ABC24D【答案】A【解析】由已知可得，的外接圆的半径，且由余弦定理得，（当且仅当时取等号）所以,又外接球的球心到平面的距离为，所以点P到平面的距离的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为.故选：A1-5、（2022湖北省鄂州高中高三期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作

27、一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为轴截面的顶角为，所以底角，在中，依题意，该圆形攒尖的底面圆半径，高，则()，所以该屋顶的体积约为.故选：B.1-6、（2022湖北江岸高三期末）正方体的棱长为2，且（），过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是（ ）A平面 B四边形的面积的最大值为C若四边形的面积为，则D若，则四棱锥的体积为【答案】BD【解析】解：因为与不垂直，所以与平面不垂直，故选项A不正确；如图，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，0，2

28、，0，2，因为，所以，因为平面，所以，则，若平面，则，即，0，；若平面，则，即，2，因为，所以四边形的面积，当时，四边形的面积最大，且最大值为，点到直线的距离为，即点到平面的距离为，所以四棱锥的体积，故选项B正确，选项D正确若四边形的面积为，则或，解得或，故选项C不正确，故选：BD题组三、球的切接问题3-1、（2022江苏海门高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）A16BC8D【答案】B【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，连，如图，则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，顶点P

29、，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，所以球O的体积是.故选：B3-2、（2022广东潮州高三期末）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图所示：设CD=x，由题意得：，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如图所示：该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为：，所以外接球的表面积为 ，故答案为：3-3、（2022广东汕尾高三期末）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，

30、宋代称为撮尖，清代称攒尖攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）ABCD【答案】A【解析】设为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，取的中点，连接、，则是底面内切圆半径，如图所示：设侧棱长为，底面边长为，由题意知，则，解得；由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心到各边的距离，中，所以，由，解得，所以，所以，解得，即侧棱与底面内切圆半径的长度

31、之比为故选:A3-4、（2021山东德州市高三期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】取中点，中点，连接，则，因为底面，所以平面，是菱形，则，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心又，所以，所以，所以三棱锥的外接球表面积为故答案为：1、（2022江苏海门高三期末）已知圆柱的底面半径为，体积为4，则该圆柱的侧面积为_【答案】8【解析】因为底面半径为，体积为，设母线为，则，得，所以圆柱的侧面积为：，故答案为：2、【2022广州市荔湾区上学期调研】若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为

32、5，则其体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】：圆台的轴截面如图所示：则圆台的高，所以圆台的体积，故选：C3、【2022广东省梅江市梅州中学10月月考】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_.【答案】【解析】如图所示：正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为，所以所得几何体的表面积为，故答案为：4、（2022广东铁一中学高三期末）已知四面体中，则其外接球的体积为_.【答案】【解析】如图，构造长方体，其面对角线长分别为，则四面体的外接球即为此长方体的外接球，设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球

33、半径为R则，所以,则，解得，所以.故答案为：5、（2022湖北襄阳高三期末）已知圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，则圆台的侧面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，所以圆台的母线为：，所以圆台的侧面积为：，故选：C6、（2022山东青岛高三期末）现有橡皮泥制作的表面积为的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的母线长为（ ）AB2CD1【答案】A【解析】表面积为的球半径为1，其体积为，而圆锥的高，设圆锥的母线长为，则有圆锥底面圆半径，圆锥体积为，依题意，而，解得，所以圆锥的母线长为.故选：A7、（2022山东枣庄高三期末）已知圆锥

34、的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设此圆的底面半径为，高为，母线长为，圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，又，解得，因此，此圆锥的高圆锥的体积为故选：C8、（2022湖南娄底高三期末）在三棱锥中，已知，平面平面ABC，且，则（ ）AB平面平面ABCC三棱锥的体积为D三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABC【解析】因为，所以，所以，过D作于E因为平面平面ABC，平面平面，所以平面ABC，所以，假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，所以，这样与矛盾，所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以，由于平面，所以平

35、面平面ABC，所以A，B正确；三棱锥的体积为，所以C正确；设三角形ABC的外心为F，外接圆半径为，过F作平面ABC，设O为外接球的球心，则，所以，所以，解得，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确故选：ABC9、（2022山东青岛高三期末）已知正方体的棱长为1，分别为的中点.下列说法正确的是（ ）A正方体外接球的表面积为B面截正方体外接球所得圆的面积为C三棱锥的体积为D直线与面所成角的正切值为【答案】ABC【解析】正方体外接球的半径为，外接球的表面积为.故A正确；面截正方体外接球所得圆的半径为外接球的半径，其圆的面积为，故B正确；由题意知，故C正确； 取的中点为，连接，设，连接，面，面， ， ，面，面，直线与面所成角的正切值为.故D错误；故选：ABC.