2023年高考数学二轮优化提升专题训练13:运用空间向量研究立体几何问题(含答案解析)
《2023年高考数学二轮优化提升专题训练13:运用空间向量研究立体几何问题(含答案解析)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2023年高考数学二轮优化提升专题训练13:运用空间向量研究立体几何问题(含答案解析)(47页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、专题13 运用空间向量研究立体几何问题1、【2022年全国甲卷】在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值2、【2022年全国乙卷】如图,四面体ABCD中,ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,当AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值3、【2022年新高考1卷】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为22(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为
2、A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值4、【2022年新高考2卷】如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,ABAC,E是PB的中点(1)证明:OE/平面PAC;(2)若ABO=CBO=30,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值5、(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为的中点,且(1)求;(2)求二面角的正弦值6、(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知直三棱柱中,侧面为正方形,E,F分别为和的中点,D为棱上的点 (1)证明:;(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?7、(2019
3、浙江19)如图,已知三棱柱,平面平面,分别是AC,A1B1的中点(1)证明:;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值8、(2020全国理18)如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,是底面的内接正三角形,为上一点,(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值9、(2020全国理19)如图,在长方体中,点分别在棱上,且(1)证明:点在平面内;(2)证明:若时,求二面角的正弦值 题组一、线面角1-1、(2022山东泰安高三期末)如图1,在等腰直角中,分别为的中点,将沿直线翻折,得到如图2所示的四棱锥,若二面角的大小为,为中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.1-2、
4、(2022山东省淄博实验中学高三期末)如图,在四棱锥中,已知底面,是上一点.(1)求证:平面平面;(2)若是的中点,且二面角的余弦值是,求直线与平面所成角的正弦值.1-3、(2022湖南郴州高三期末)如图,在空间几何体中,已知均为边长为2的等边三角形,平面和平面都与平面垂直,为的中点(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值题组二、面面角2-1、(2022河北张家口高三期末)如图,在四棱锥中,底面为正方形,、分别为、的中点.(1)证明:平面;(2)若平面平面,为等边三角形,求二面角的正弦值.2-2、(2022河北唐山高三期末)四棱锥的底面是矩形,侧面底面OBCD(1)求证:底面OBCD
5、;(2)若,二面角的大小为120,求四棱锥的体积2-3、(2022河北保定高三期末)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面底面,且.(1)证明:.(2)若,求二面角的余弦值.题组三、探索性问题3-1、(2022河北深州市中学高三期末)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,. (1)证明:平面平面;(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.3-2、(2022山东枣庄高三期末)在四棱锥中,底面为直角梯形,Q为的中点,是边长为2的正三角形,(1)求证:平面底面;(2)棱上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由3-3、(20
6、22山东济南高三期末)如图,在正四棱柱中,分别为棱,的中点,为棱上的动点.(1)求证:,四点共面;(2)是否存在点,使得平面平面?若存在,求出的长度;若不存在,说明理由.3-4、(2022湖南娄底高三期末)如图,在长方体中,若平面APSB与棱,分别交于点P,S,且,Q,R分别为棱,BC上的点,且(1)求证:平面平面;(2)设平面APSB与平面所成锐二面角为,探究:是否成立?请说明理由1、(2022湖南常德高三期末)如图,已知AB是圆柱底面圆的一条直径,OP是圆柱的一条母线(1)求证:OAPB;(2)若C底面圆上一点,且,求直线PC与平面PAB所成角的正弦值2、(2022山东莱西高三期末)在如图
7、所示的三棱柱中,侧面为菱形,.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面ABC的夹角的余弦值.3、(2022山东淄博高三期末)如图,在四棱锥中,底面ABCD,E为PC的中点,点F在PD上且(1)求证:平面AEF;(2)求二面角的余弦值4、(2022湖北武昌高三期末)如图,一张边长为4的正方形纸片ABCD,E,F分别是AD,BC的中点,将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上(1)求证:;(2)若二面角的平面角为45,K是线段CF(含端点)上一点,问是否存在点K,使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为?若存在,求出CK的长度;若不存在,说明理由专题13 运用空间向量研究立体几何问题1、【20
8、22年全国甲卷】在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值【解析】(1)证明:在四边形ABCD中,作DEAB于E,CFAB于F,因为CD/AB,AD=CD=CB=1,AB=2,所以四边形ABCD为等腰梯形,所以AE=BF=12,故DE=32,BD=DE2+BE2=3,所以AD2+BD2=AB2,所以ADBD,因为PD平面ABCD,BD平面ABCD,所以PDBD,又PDAD=D,所以BD平面PAD,又因PA平面PAD,所以BDPA;(2)解:如图,以点D为原点建立空间直角坐标系,BD=
9、3,则A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),则AP=(-1,0,3),BP=(0,-3,3),DP=(0,0,3),设平面PAB的法向量n=(x,y,z),则有nAP=-x+3z=0nBP=-3y+3z=0,可取n=(3,1,1),则cosn,DP=nDP|n|DP|=55,所以PD与平面PAB所成角的正弦值为55.2、【2022年全国乙卷】如图,四面体ABCD中,ADCD,AD=CD,ADB=BDC,E为AC的中点(1)证明:平面BED平面ACD;(2)设AB=BD=2,ACB=60,点F在BD上,当AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值【解析】(1)因为AD
10、=CD,E为AC的中点,所以ACDE;在ABD和CBD中,因为AD=CD,ADB=CDB,DB=DB,所以ABDCBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点,所以ACBE;又因为DE,BE平面BED,DEBE=E,所以AC平面BED,因为AC平面ACD,所以平面BED平面ACD.(2)连接EF,由(1)知,AC平面BED,因为EF平面BED,所以ACEF,所以SAFC=12ACEF,当EFBD时,EF最小,即AFC的面积最小.因为ABDCBD,所以CB=AB=2,又因为ACB=60,所以ABC是等边三角形,因为E为AC的中点,所以AE=EC=1,BE=3,因为ADCD,所以DE=12AC=1,
11、在DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BEDE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则A1,0,0,B0,3,0,D0,0,1,所以AD=-1,0,1,AB=-1,3,0,设平面ABD的一个法向量为n=x,y,z,则nAD=-x+z=0nAB=-x+3y=0,取y=3,则n=3,3,3,又因为C-1,0,0,F0,34,34,所以CF=1,34,34,所以cosn,CF=nCFnCF=62174=437,设CF与平面ABD所成的角的正弦值为02,所以sin=cosn,CF=437,所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.3、【2022年新高考1卷】如图,直三棱柱ABC
12、-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为22(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,设点A到平面A1BC的距离为h,则VA-A1BC=13SA1BCh=223h=VA1-ABC=13SABCA1A=13VABC-A1B1C1=43,解得h=2,所以点A到平面A1BC的距离为2;(2)取A1B的中点E,连接AE,如图,因为AA1=AB,所以AEA1B,又平面A1BC平面ABB1A1,平面A1BC平面ABB1A1=A1B,且AE平面ABB1A1,所以AE平面A
13、1BC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,由BC平面A1BC,BC平面ABC可得AEBC,BB1BC,又AE,BB1平面ABB1A1且相交,所以BC平面ABB1A1,所以BC,BA,BB1两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,由(1)得AE=2,所以AA1=AB=2,A1B=22,所以BC=2,则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A1C的中点D(1,1,1),则BD=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0),设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z),则mBD=x+y+z=0mBA=2y=0,可取m=(1
14、,0,-1),设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c),则mBD=a+b+c=0mBC=2a=0,可取n=(0,1,-1),则cosm,n=mn|m|n|=122=12,所以二面角A-BD-C的正弦值为1-(12)2=32.4、【2022年新高考2卷】如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,ABAC,E是PB的中点(1)证明:OE/平面PAC;(2)若ABO=CBO=30,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值【解析】(1)证明:连接BO并延长交AC于点D,连接OA、PD,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO平面ABC,AO,BO平面ABC,所以POAO、POBO,又PA
15、=PB,所以POAPOB,即OA=OB,所以OAB=OBA,又ABAC,即BAC=90,所以OAB+OAD=90,OBA+ODA=90,所以ODA=OAD所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以OE/PD,又OE平面PAC,PD平面PAC,所以OE/平面PAC(2)解:过点A作Az/OP,如图建立平面直角坐标系,因为PO=3,AP=5,所以OA=AP2-PO2=4,又OBA=OBC=30,所以BD=2OA=8,则AD=4,AB=43,所以AC=12,所以O23,2,0,B43,0,0,P23,2,3,C0,12,0,所以E33,1,32,则AE=33,1,
16、32,AB=43,0,0,AC=0,12,0,设平面AEB的法向量为n=x,y,z,则nAE=33x+y+32z=0nAB=43x=0,令z=2,则y=-3,x=0,所以n=0,-3,2;设平面AEC的法向量为m=a,b,c,则mAE=33a+b+32c=0mAC=12b=0,令a=3,则c=-6,b=0,所以m=3,0,-6;所以cosn,m=nmnm=-121339=-4313设二面角C-AE-B为,由图可知二面角C-AE-B为钝二面角,所以cos=-4313,所以sin=1-cos2=1113故二面角C-AE-B的正弦值为1113;5、(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)如图,四棱锥
17、的底面是矩形,底面,为的中点,且(1)求;(2)求二面角的正弦值【解析】(1)平面,四边形为矩形,不妨以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则、,则,则,解得,故;(2)设平面的法向量为,则,由,取,可得,设平面的法向量为,由,取,可得,所以,因此,二面角的正弦值为.6、(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知直三棱柱中,侧面为正方形,E,F分别为和的中点,D为棱上的点 (1)证明:;(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因为三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因为,所以,又,所以平面所以两两垂直以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2023 年高 数学 二轮 优化 提升 专题 训练 13 运用 空间 向量 研究 立体几何 问题 答案 解析
链接地址:https://www.77wenku.com/p-236251.html