2023年高考数学二轮优化提升专题训练18：等差数列与等比数列基本量的问题（含答案解析）

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1、专题18 等差数列与等比数列基本量的问题1、【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=（）A14B12C6D32、【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举， OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3，若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=（）A0.75B0.8C0.85D0.93、（2021年全国高考甲卷数学（

2、文）试题）记为等比数列的前n项和.若，则（ ）A7B8C9D104、（2021年全国新高考卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.5、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设是等比数列，且，则（ ）A12B24C30D326、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记Sn为等比数列an的前n项和若a5a3=12，a6a4=24，则=（

3、）A2n1B221nC22n1D21n17、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A3699块B3474块C3402块D3339块8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）数列中，若，则（ ）A2B3C4D59、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记为等差数列的前n

4、项和若，则_10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_11、【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值12、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式13、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.14、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和

5、，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分题组一、等差、等比数列的基本量的问题1-1、（2022江苏海安高三期末）设数列为等比数列，若，则数列的前项和为（ ）ABCD1-2、（2022江苏常州高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为按复利计算，则小李每个月应还（ ）A元B元C元D元1-3、（2022山东淄博高三期末）己知等比数列的前n项和为，若，则

6、公比（ ）A2B2CD1-4、（2022江苏苏州高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）ABCD1-5、（2022广东罗湖高三期末）（多选题）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）A数列为递减数列B数列是等差数列C，依次成等差数列D若，则1-6、（2022江苏苏州高三期末）记数列的前项积为，写出一个同时满足的数列的通项公式：_是递增的等比数列；题组二、等差、等比数列的判断与证明2-1、（2022山东青岛高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A是等方差数列B若数列既是等方差数列

7、，又是等差数列，该数列必为常数列C正项等方差数列的首项，且是等比数列，则D若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码2-2、（2022山东日照高三期末）数列的各项均是正数，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（ ）AB数列是等比数列C数列是等比数列D2-3、（2021河北张家口市高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）A若，则是等差数列B若，则是等比数列C若是等差数列，则D若是等比数列，且，则2-4、（2020河北邯郸市高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）A若，则是等差数列B

8、若，则数列的前项和为C若，则是等比数列D若，则1、（2022湖南常德高三期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）A35B42C49D562、（2021山东济南市高三二模）（多

9、选题）已知数列中，则下列说法正确的是（ ）AB是等比数列CD3、（2022广东揭阳高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则_.4、（2022广东潮州高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和若，则_5、（2022广东汕尾高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则_6、（2022山东烟台高三期末）在等差数列中，则_7、（2022河北唐山高三期末）等差数列的公差为2，若，成等比数列，则_8、（2022河北张家口高三期末）已知为等差数列，且、成等比数列，则_.专题18 等差数列与等比数列基本量的问题1、【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=（）

10、A14B12C6D3【答案】D【解析】设等比数列an的公比为q,q0，若q=1，则a2-a5=0，与题意矛盾，所以q1，则a1+a2+a3=a11-q31-q=168a2-a5=a1q-a1q4=42，解得a1=96q=12，所以a6=a1q5=3.故选：D.2、【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举， OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3，若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列，且直

11、线OA的斜率为0.725，则k3=（）A0.75B0.8C0.85D0.9【答案】D【解析】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3，依题意，有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，所以0.5+3k3-0.34=0.725，故k3=0.9，故选：D3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，则（ ）A7B8C9D10【答案】A【解析】为等比数列的前n项和，成等比数列，.故选：A.4、（2021年全国新高考卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现

12、剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】 (1). 5 (2). 【解析】（1）由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，

13、根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.5、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设是等比数列，且，则（ ）A12B24C30D32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，因此，.故选：D.6、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记Sn为等比数列an的前n项和若a5a3=12，a6a4=24，则=（ ）A2n1B221nC22n1D21n1【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.7、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下

14、三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A3699块B3474块C3402块D3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）数列中，若，则（ ）A2B3C4D5【答案】

15、C【解析】在等式中，令，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，则，解得.故选：C.9、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记为等差数列的前n项和若，则_【答案】【解析】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【答案】.【解析】：设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以11、【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a

16、4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)-78【解析】(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn-1+n-12=2n-1an-1+n-1，-得，2Sn+n2-2Sn-1-n-12=2nan+n-2n-1an-1-n-1，即2an+2n-1=2nan-2n-1an-1+1，即2n-1an-2n-1an-1=2n-1，所以an-an-1=1，n2且nN*，所以an是以1为公差的等差数列(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即a1+62=a1

17、+3a1+8，解得a1=-12，所以an=n-13，所以Sn=-12n+nn-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时Snmin=-7812、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式【解析】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,当n=1时，,当n2时,显然对于n=1不成立,.13、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）

18、记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【解析】数列是等差数列，设公差为，当时，当时，满足，的通项公式为，是等差数列.14、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【解析】选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以.选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，

19、此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.题组一、等差、等比数列的基本量的问题1-1、（2022江苏海安高三期末）设数列为等比数列，若，则数列的前项和为（ ）ABCD【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，解得，因此，数列的前项和为.故选：C.1-2、（2022江苏常州高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为按复利计算，则小李每个月应还（ ）A元B元C元D元【答案】A【解析】设每月还元，按复利计算，则有即解之得

20、，故选：A1-3、（2022山东淄博高三期末）己知等比数列的前n项和为，若，则公比（ ）A2B2CD【答案】B【解析】由题得，等比数列的前项和为，解得，故选：B1-4、（2022江苏苏州高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】 ，则，故选：C1-5、（2022广东罗湖高三期末）（多选题）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（ ）A数列为递减数列B数列是等差数列C，依次成等差数列D若，则【答案】BD【解析】由题意可知数列是等差数列，且递减，则 ，不妨举例如： 则 ，这三项不构成递减数列，故A错；而 ,这三项不构成等差数列，说明C错；

21、对于B， ，是关于n的一次函数，因此是等差数列，故B正确；对于D， ，则 ， ，则 ，故 ，故D正确，故选：BD.1-6、（2022江苏苏州高三期末）记数列的前项积为，写出一个同时满足的数列的通项公式：_是递增的等比数列；【答案】(答案不唯一)【解析】，不妨设，则，故答案为：(答案不唯一)题组二、等差、等比数列的判断与证明2-1、（2022山东青岛高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A是等方差数列B若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C正项等方差数列的首项，且是等比数列，则D若等方差数列的首项为2，

22、公方差为2，若将，这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码【答案】ABD【解析】选项A. 若，则，则，所以是等方差数列，故正确.选项B. 由数列是等差数列，则由数列既是等方差数列,则，则即当时，数列为常数列当时，结合，可得，所以数列为常数列故数列为常数列，所以选项B正确.选项C. 由题意，则，由等比数列，则，即，解得或当时，满足题意，故选项C不正确.选项D. 数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，则 由题意，所以中的每一项，可能取正或负，有2种取法.所以，有种不同的排法结果；所以选项D正确故选：ABD2-2、（2022山东日照高三期末）数列的各项均是正数，函数在点处的切

23、线过点，则下列正确的是（ ）AB数列是等比数列C数列是等比数列D【答案】ABD【解析】对函数求导得，故函数在点处的切线方程为，即，由已知可得，对任意的，则，即，所以，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，B对；，A对；且，故数列不是等比数列，C错；由上可知，因为，且，则，即，所以，且，故数列是等比数列，且首项为，公比为，因此，D对.故选：ABD.2-3、（2021河北张家口市高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）A若，则是等差数列B若，则是等比数列C若是等差数列，则D若是等比数列，且，则【答案】BC【解析】若，当时，不满足，故A错误.若，则，满足，所以是等比数列，故B

24、正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.故选：BC2-4、（2020河北邯郸市高三期末）（多选题）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）A若，则是等差数列B若，则数列的前项和为C若，则是等比数列D若，则【答案】ACD【解析】因为数列的前项和为，且满足，当时，可得，即，所以，可得，即，又因为，所以，则，可得，故A正确，B不正确.当时，由已知得，即，所以，所以，所以，所以，所以，故C正确，D正确.故选：ACD.1、（2022湖南常德高三期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的

25、接触频率、每次接触过程中传染的概率决定对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）A35B42C49D56【答案】B【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：，当感染人数增加到1000人时，化简得，由，故得，又平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天

26、，故选：B2、（2021山东济南市高三二模）（多选题）已知数列中，则下列说法正确的是（ ）AB是等比数列CD【答案】ABC【解析】因为，所以，由可得，所以，所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，综上可知，ABC正确，D错误.故选：ABC3、（2022广东揭阳高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则_.【答案】8【解析】根据韦达定理可得，由等差数列的性质可得，从而可得.故答案为：84、（2022广东潮州高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和若，则_【答案】62【解析】设数列的公比为，则根据题意得，又 ，所以计算得.由等比数列前n项和得，数列的前五项和为，故答案为：62.5、（2022广东汕尾高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则_【答案】136【解析】由题意得故答案为：1366、（2022山东烟台高三期末）在等差数列中，则_【答案】2【解析】因为是等差数列，设其公差为d，所以根据可得： ，即 ，则 ，故答案为：2.7、（2022河北唐山高三期末）等差数列的公差为2，若，成等比数列，则_【答案】4【解析】由题意，.故答案为：4.8、（2022河北张家口高三期末）已知为等差数列，且、成等比数列，则_.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，由可得，整理可得，可得，所以，可得，因此，.故答案为：.