2023年浙江省中考数学一轮复习专题训练24：圆的有关位置关系（含答案解析）

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1、专题24 圆的有关位置关系一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.（2023宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，A的半径为2，要使点B在A内时，实数b的取值范围是（）Ab2Bb6Cb2或b6D2b62（2022洞头区模拟）如图，直线AB与圆O相切于点C，AO交圆O于点D，AOC50，则ACD的度数为（）A20B22C24D253（2022鹿城区校级二模）如图，PA切O于点A，连结OP交O点B，P10，点C在O上（点B，C在直径AO同侧），连结OC，AC，AB，当OCAB时，BAC等于（）A20B25C30D504（2022富阳区一模）如图，DB过

2、O的圆心，交O于点A、B，DC是O的切线，点C是切点，已知D30，DC则BCD的周长是（）A3+B2+2C3+2D3+5（2022宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（3，4），A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切A于点B，则PB的最小值为（）A2B3C2D46（2022吴兴区校级二模）如图，在矩形ABCD中，ABmBC（m1），以CD为直径作M将矩形ABCD绕点C顺时针旋转30，所得矩形EFCG的边EF与M恰好相切，切点为P，则m的值是（）ABCD7（2022海曙区校级一模）如图，A是O外一点，AB，AC分别与O相切于点B，C，P是上任意一点，过点P作O的切线，交AB于点M，交A

3、C于点N若O的半径为4，BAC60，则AMN的周长为（）AB8CD128（2022海曙区校级三模）如图，在矩形ABCD中AB10，BC8，以CD为直径作O将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与O相切于点E，则BB1的长为（）AB2CD9（2022金华模拟）如图，ABC周长为20cm，BC6cm，圆O是ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则AMN的周长为（）A14cmB8cmC7cmD9cm10（2021永嘉县校级模拟）如图，ABC，AC3，BC4，ACB60，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，O为APC的外接圆，直线BP交O于E点，则

4、AE的最小值为（）AB74CD1二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022下城区校级二模）如图，已知AB是O的直径，P为O外BA延长线上一点，PC切O于C若PA1，PB5，则PC的值为 12（2022慈溪市一模）如图，ABC中，ACBC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D当ABD是等腰三角形时，C的度数为 13（2020鹿城区校级三模）如图，C是扇形AOB上一点ACOB，CD与O切于点C交OB的延长线于点D若D41，则A 14（2022上城区校级二模）如图，PA、PB分别与半径为3的O相切于点A、B，直线CD分别交PA、PB于点C、D

5、，并切O于点E，当PO5时，PCD的周长为 15（2022鄞州区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作P当P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为 16（2022西湖区校级模拟）如图，已知O的直径AB为8，点M是O外一点，若MB是O的切线，B为切点，且MB3，Q为O上一动点，则MQ的最小值为 三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022鹿城区校级二模）如图，在O中，弦CD垂直平分半径OA于B，点E是圆上一点，连结AE交线段BC于F，过点E作O的切线交DC的延长线于点P，已知D，O，E三点共线

6、（1）求证：（2）若CP2，求PEF的面积18（2022金华模拟）如图，在ABC中，ABBC，D是AC中点，BE平分ABD交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由；（2）当BD6，AB10时，求BG的长19（2022金华模拟）如图，BC为ABC的外接圆O的直径，在线段BO上取点F作BC的垂线交AB于点E，点G在FE的延长线上，且GAGE（1）求证：AG与O相切（2）已知直径BC20，AC12若BEOB，试求OE的长20（2022兰溪市模拟）如图，AB为O的直径，延长AB至点D，CD切O于点C，点B是的中点，弦CF交A

7、B于点E，连结OF、BC，过B点作BGCD于点G（1）若BCD28，求F的度数；（2）若CF4OE，O的半径为，求BG的长21（2022衢江区一模）如图，O是ABC的外接圆，ABAC，BD是O的直径PABC，与DB的延长线交于点P连接AD（1）求证：PA是O的切线；（2）若tanABC，BC4，求BD与AD的长22（2022秋温州期末）如图，在O中，直径AB10，弦BC6，点D在BC的延长线上，线段AD交O于点E，过点E作EFBC分别交O，AB于点F，G，连结BF（1）求证：ABDFGB（2）当FGB为等腰三角形时，求CD的长（3）当D45时，求EG：FG的值23（2022秋余姚市校级期末）如

8、图1，四边形ABCD是O的内接四边形，其中ABAD，对角线AC、BD相交于点E，在AC上取一点F，使得AFAB，过点F作GHAC交O于点G、H（1）证明：AEDADC（2）如图2，若AE2，且GH恰好经过圆心O，求BCCD的值（3）若AE2，EF4，设BE的长为x如图3，用含有x的代数式表示BCD的周长如图4，BC恰好经过圆心O，求BCD内切圆半径与外接圆半径的比值专题24 圆的有关位置关系一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1（2023宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，A的半径为2，要使点B在A内时，实数b的取值范围是（）Ab2Bb6Cb2或

9、b6D2b6【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项【解答】解：A的半径为2，若点B在A内，AB2，点A所表示的实数为4，2b6，故选：D2（2022洞头区模拟）如图，直线AB与圆O相切于点C，AO交圆O于点D，AOC50，则ACD的度数为（）A20B22C24D25【分析】根据等腰三角形的性质可得ODCOCD65，再利用切线的性质可得OCA90，然后进行计算即可解答【解答】解：ODOC，AOC50，ODCOCD65，直线AB与圆O相切于点C，OCA90，ACDOCAOCD25，故选：D3（2022鹿城区校级二模）如图，PA切O于点A，连结OP

10、交O点B，P10，点C在O上（点B，C在直径AO同侧），连结OC，AC，AB，当OCAB时，BAC等于（）A20B25C30D50【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到OAP90，则POA80，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出OBA50，则根据平行线的性质得到BOC50，然后根据圆周角定理求解【解答】解：连接OA，如图，PA是O的切线，点A为切点，OAPA，OAP90，POA90P901080，OAOB，OABOBA（180AOB）（18080）50，ABOC，BOCOBA50，BACBOC5025故选：B4（2022富阳区一模）如图，DB过O的圆心，交O于点A、B，DC是O的切

11、线，点C是切点，已知D30，DC则BCD的周长是（）A3+B2+2C3+2D3+【分析】先证明DB30，再利用含30角的直角三角形的性质得DCOC，DO2OC，从而解决问题【解答】解：DC是O的切线，OCD90，D30，BOCD+OCD120，OBOC，BOCB30，DB30，BCCD，D30，DC，OCD90，DCOC，DO2OC，OC1OB，DO2，BCD的周长CD+BC+DB3+2，故选：C5（2022宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（3，4），A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切A于点B，则PB的最小值为（）A2B3C2D4【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂

12、线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题【解答】解：如图，连接AB，AP根据切线的性质定理，得ABPB要使PB最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则APx轴于P，此时P点的坐标是（3，0），AP4，在RtABP中，AP4，AB2，PB2则PB最小值是2故选：C6（2022吴兴区校级二模）如图，在矩形ABCD中，ABmBC（m1），以CD为直径作M将矩形ABCD绕点C顺时针旋转30，所得矩形EFCG的边EF与M恰好相切，切点为P，则m的值是（）ABCD【分析】连接MP，作MHFC于点H，连接MN，由旋转的性质得出BCF30，ABCD，BCFC，求出FCM

13、60，证出CNMNPM，设CHx，则CM2x，则PMFH2x，则可求出答案【解答】解：连接MP，作MHFC于点H，连接MN，则MPFMHF90，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转30得到矩形为EFCG，BCF30，ABCD，BCFC，FCM60，CMH30，MNCM，CMN为等边三角形，CNMNPM，设CHx，则CM2x，PMFH2x，CFFH+CH3x，又CD2CM4x，m，故选：A7（2022海曙区校级一模）如图，A是O外一点，AB，AC分别与O相切于点B，C，P是上任意一点，过点P作O的切线，交AB于点M，交AC于点N若O的半径为4，BAC60，则AMN的周长为（）AB8CD12【分析】先证

14、明RtABORtACO，得到BAO30，从而得到OA的值，再利用切线的性质得到OBAB，则利用勾股定理可计算出AB的长，再根据切线长定理得到ABAC，MBMP，NCNP，然后利用等线段代换得到AMN的周长2AB【解答】解：AB，AC分别与O切于点B，C，ABAC，OBAB，在RtABO和RtACO中，RtABORtACO（HL），BAOCAO30，AO2BO8，在RtAOB中，AB4，MN与O相切于P，MBMP，NCNP，AMN的周长AM+MN+ANAM+MP+NP+ANAM+BM+NC+ANAB+AC2AB248故选：C8（2022海曙区校级三模）如图，在矩形ABCD中AB10，BC8，以C

15、D为直径作O将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与O相切于点E，则BB1的长为（）AB2CD【分析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1GBC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EFB1C8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：OCFB1CG，则sinOCFsinB1CG，cosOCFcosB1CG；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论【解答】解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1GBC于点G，如图，边A1B1与O相切于点E，OEA1B1四边形A1B1C1D1是矩形，A1B1B1C，B1CC

16、D1四边形B1EFC为矩形EFB1C8CD为O的直径，OEDOOCAB5OFEFOE3A1B1CD1，OEA1B1，OFCD1CF4由旋转的性质可得：OCFB1CGsinOCFsinB1CG，cosOCFcosB1CGsinOCF，cosOCF，B1G，CGBGBCCGBB1故选：C9（2022金华模拟）如图，ABC周长为20cm，BC6cm，圆O是ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则AMN的周长为（）A14cmB8cmC7cmD9cm【分析】根据切线长定理得到BFBE，CFCD，DNNG，EMGM，ADAE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得A

17、MN的周长【解答】解：圆O是ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，BFBE，CFCD，DNNG，EMGM，ADAE，ABC周长为20cm，BC6cm，AEAD4（cm），AMN的周长为AM+MG+NG+ANAM+ME+AN+NDAE+AD4+48（cm），故选：B10（2021永嘉县校级模拟）如图，ABC，AC3，BC4，ACB60，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，O为APC的外接圆，直线BP交O于E点，则AE的最小值为（）AB74CD1【分析】如图，连接CE首先证明BEC120，由此推出点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，连接OA交于E，此时AE的值最小【解

18、答】解：如图，连接CEAPBC，PACACB60，CEPCAP60，BEC120，点E在以O为圆心，OB为半径的上运动，连接OA交于E，此时AE的值最小此时O与O交点为EBEC120所对圆周角为60，BOC260120，BOC是等腰三角形，BC4，OBOC4，ACB60，BCO30，ACO90OA5，AEOAOE541故选：D二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022下城区校级二模）如图，已知AB是O的直径，P为O外BA延长线上一点，PC切O于C若PA1，PB5，则PC的值为 【分析】求出半径的长，求出PO长，根据切线的性质求出PCO90，再根据

19、勾股定理求出即可【解答】解：PA1，PB5，ABPBPA4，OCOAOB2，PO1+23，PC切O于C，PCO90，在RtPCO中，由勾股定理得：PC，故答案为：12（2022慈溪市一模）如图，ABC中，ACBC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D当ABD是等腰三角形时，C的度数为 45或36【分析】连接OC，分BABD、ABAD两种情况解答即可【解答】解：连接OC，CACB，CABCBA，DCOBCO，OCOB，OBCBCO，ADB3OBC，当BABD时，BADBDA3OBC，则8OBC180，解得：OBC22.5，ACB45，当ABAD时，ABDBDA3OBC，则10OBC18

20、0，解得：OBC18，ACB36，DADB的情况不存在，综上所述，当ABD是等腰三角形时，C的度数为45或36，故答案为：45或3613（2020鹿城区校级三模）如图，C是扇形AOB上一点ACOB，CD与O切于点C交OB的延长线于点D若D41，则A49【分析】连接OC，根据切线的性质得到OCD90，根据三角形的内角和定理得到COD904149，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接OC，CD与O切于点C，OCD90，D41，COD904149，ACOD，ACOCOD49，OAOC，AACO49，故答案为：4914（2022上城区校级二模）如图，PA、PB分别与半径为3的

21、O相切于点A、B，直线CD分别交PA、PB于点C、D，并切O于点E，当PO5时，PCD的周长为 8【分析】连接OA、OB，根据PA、PB分别与半径为3的O相切于点A、B，得PAOPBO90，OAOB3，而PO5，即有PAPB4，由切线长定理得DBDE，CECA，故PCD的周长为PD+CD+PC（PD+DB）+（CA+PC）PB+PA8【解答】解：连接OA、OB，如图：PA、PB分别与半径为3的O相切于点A、B，PAOPBO90，OAOB3，PO5，PAPB4，CD切O于E，DBDE，CECA，PCD的周长为PD+CD+PCPD+（DE+CE）+PC（PD+DB）+（CA+PC）PB+PA8，故

22、答案为：815（2022鄞州区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作P当P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为 或【分析】过点P作PEAD于E，PFAB于F，根据勾股定理求出AC，分P与AD相切、P与AB相切相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质计算【解答】解：过点P作PEAD于E，PFAB于F，在RtABC中，AB1，BC，由勾股定理得：AC，由题意可知，P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，当P与AD相切时，PEPC，PEAD，CDAD，PECD，APEACD，即，解得，CP，当P与AB相切时，PFPC，PFAB，CBAB，

23、PFBC，APEACD，即，解得，CP，综上所述，当P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为或，故答案为：或16（2022西湖区校级模拟）如图，已知O的直径AB为8，点M是O外一点，若MB是O的切线，B为切点，且MB3，Q为O上一动点，则MQ的最小值为 1【分析】根据切线的性质和勾股定理即可得到结论【解答】解：MB是O的切线，ABM90，O的直径AB为8，OB4，连接OM交O于Q，则此时MQ的值最小，MB3，OM5，MQ541，故MQ的最小值为1，故答案为：1三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022鹿城区校级二模）如图，在O中，弦CD垂直平分半

24、径OA于B，点E是圆上一点，连结AE交线段BC于F，过点E作O的切线交DC的延长线于点P，已知D，O，E三点共线（1）求证：（2）若CP2，求PEF的面积【分析】（1）连接DE，AC，OC，CE，先证明AOC和COE是等边三角形，可得AOCCOE，即可得证；（2）先证明CEP30，根据tanCEP，再证明CFCP2，根据三角形的面积公式求解即可【解答】解：（1）证明：连接DE，AC，OC，CE，如图所示：弦CD垂直平分半径OA，CACO，OCOA，AOC是等边三角形，AOC60，OCB30，D，O，E三点共线，DE为直径，DCE90，OCE60，OCOE，COE为等边三角形，COE60，AOC

25、COE，（2）解：点E作O的切线交DC的延长线于点P，OEP90，CEP30，CP2，tanCEP，CE，AOE120，OAOE，OEA30，AEC30，CFPC2，PEF的面积18（2022金华模拟）如图，在ABC中，ABBC，D是AC中点，BE平分ABD交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F（1）判断直线AC与O的位置关系，并说明理由；（2）当BD6，AB10时，求BG的长【分析】（1）连接OE，如图，根据等腰三角形的性质得到BDAC，再证明OEBD，则OEAC，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）连接FG，如图，设O的半径为r，则OEr，OA10r，

26、利用OEBD得到，求出r得到BF，再根据圆周角定理得到FGB90，则FGAD，根据平行线分线段成比例得到，从而可求出BG【解答】解：（1）AC与O相切理由如下：连接OE，如图，ABBC，D是AC中点，BDAC，BE平分ABD，OBEDBE，OBOE，OBEOEB，OEBDBE，OEBD，OEAC，而OE为O的半径，AC为O的切线；（2）连接FG，如图，设O的半径为r，则OEr，OA10r，OEBD，即，解得r，BF2r，BF为O的直径，FGB90，FGAD，即，BG19（2022金华模拟）如图，BC为ABC的外接圆O的直径，在线段BO上取点F作BC的垂线交AB于点E，点G在FE的延长线上，且G

27、AGE（1）求证：AG与O相切（2）已知直径BC20，AC12若BEOB，试求OE的长【分析】（1）连接OA，由OAOB，GAGE得出ABOBAO，GEAGAE；再由EFBC，得出BFE90，进一步由ABO+BEF90，BEFGEA，最后得出GAO90求得答案；（2）BC为直径得出BAC90，根据CFBC，得出BFE90，从而证得BEFBCA，求得EF、BF的长，进一步在OEF中利用勾股定理得出OE的长即可【解答】（1）证明：如图，连接OA，OAOB，GAGE，ABOBAO，GEAGAE，EFBC，BFE90，ABO+BEF90，又BEFGEA，GAEBEF，BAO+GAE90，OAAG，OA

28、是O的半径，AG与O相切；（2）解：BC为直径，BAC90，GFBC，EFB90，BC20，AC12，AB16，BEOB，BE10，EBFCBA，BFEBAC，BEFBCA，EF6，BF8，OFOBBF1082，OE20（2022兰溪市模拟）如图，AB为O的直径，延长AB至点D，CD切O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，连结OF、BC，过B点作BGCD于点G（1）若BCD28，求F的度数；（2）若CF4OE，O的半径为，求BG的长【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OCCD，进而求出OCB，根据直角三角形的两锐角互余计算即可；（2）根据勾股定理分别求出OE、EC，根据相似三角形的

29、性质求出OD，证明DBGDOC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】解：（1）连接OC，CD切O于点C，OCCD，BCD28，OCB902862，OBOC，OBCOCB62，BOC18062256，点B是的中点，BOFBOC56，OBCF，F905634；（2）OBCF，CEEFCF，CF4OE，EC2OE，设OEm，则EC2m，由勾股定理得：OCm，OC，m1，OECOCD90，EOCCOD，OECOCD，即，解得：OD5，BD5，BGCD，OCCD，BGOC，DBGDOC，即，解得：BG121（2022衢江区一模）如图，O是ABC的外接圆，ABAC，BD是O的直径PABC，与D

30、B的延长线交于点P连接AD（1）求证：PA是O的切线；（2）若tanABC，BC4，求BD与AD的长【分析】（1）由垂径定理的推论可证明OABC，又因为PABC，所以APOA，即PA是O的切线；（2）设BC和OA相交于点M，由已知条件易求AB的长，由圆周角定理定理可得DAB是直角三角形，进而可求出BD，AD的长【解答】（1）证明：ABAC，OABC，PABC，APOA，即PA是O的切线；（2）ACBC，ABCACB，BC4，OMBC，BM2，tanABC，AB，DACB，tanABC，tanD，BD是O的直径，BAD90，AD2，BD522（2022秋温州期末）如图，在O中，直径AB10，弦B

31、C6，点D在BC的延长线上，线段AD交O于点E，过点E作EFBC分别交O，AB于点F，G，连结BF（1）求证：ABDFGB（2）当FGB为等腰三角形时，求CD的长（3）当D45时，求EG：FG的值【分析】（1）可证明AGEABD，AGEFGB，进而得出结论；（2）可讨论ABD是等腰三角形，分为BDAB，ADAB和ADBD；当BDAB10时，易得CD4，当ADAB时，连接AC，可得CDBC6，当ADBD时，连接OD，可证明ABCDBO，进而得出结果；（3）连接BE和AC，可求得CD和AD，DE，AE，进而根据AGEABD，求得EG和AG，BG的长，根据ABDFGB可求得FG，进而得出结果【解答】

32、（1）证明：EFBD，AGEABD，AECD，AGEABD，AEFABF，FBAE，AGEFGB，ABDFGB；（2）解：由得，ABDFGB，FGB是等腰三角形，ABD是等腰三角形，如图1，当ABAD时，连接AC，AB是O的直径，ACB90，CDBC6，如图2，当ADBD时，连接OD，AC，OAOB，DOAB，BOD90，ACB90，ACBBOD，AC8，BB，ABCDBO，BD，CDBDBC，当BDAB10时，CDBDBC1064，综上所述：CD6或或4；（3）解：如图，连接BE，AC，AB是O的直径，BEDABE90，ACDACB90，CDACtanDAC8，AD8，BDBC+CD14，D

33、EBDcosD14cos457，AEADDE8，由（1）知，AGEABD，ABDFGB；，EG，AG，BGABAG10，FG，23（2022秋余姚市校级期末）如图1，四边形ABCD是O的内接四边形，其中ABAD，对角线AC、BD相交于点E，在AC上取一点F，使得AFAB，过点F作GHAC交O于点G、H（1）证明：AEDADC（2）如图2，若AE2，且GH恰好经过圆心O，求BCCD的值（3）若AE2，EF4，设BE的长为x如图3，用含有x的代数式表示BCD的周长如图4，BC恰好经过圆心O，求BCD内切圆半径与外接圆半径的比值【分析】（1）利用等腰三角形的性质与圆周角定理解得即可；（2）利用垂径定

34、理和（1）的结论求得AC、CE的长，通过证明DECABC，利用相似三角形的性质即可得出结论；（3）利用垂径定理和（1）的结论求得AC、CE的长，再通过证明AFDBEC和AEBDEC，利用相似三角形的性质求得BC，DE，CD的关系式，利用三角形周长的意义解答即可；利用勾股定理求得BC，则BCD的外接圆半径可得，设BCD内切圆半径为r，利用中的结论求得BD，CD和BCD的周长，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可求得BCD内切圆半径【解答】（1）证明：ABAD，ADBACD，DAECAD，AEDADC；（2）解：AEDADC，GH为O的直径，GHAC，ABAD，AFAB，ABADAF，AC2A

35、D，AE1，AD2，AB2，AC4，ECACAE3，ABAD，ACBACD，BDCBAC，DECABC，BCCDACEC4312；（3）解：AE1，EF2，ABADAFAE+EF3AEDADC，AC3AD9，CEACAE8，CADCBD，CEBDEA，AEDBEC，DE，BC3x，ABDACD，AEBDEC，AEBDEC，DC，BCD的周长BC+CD+BE+DE3x+x+4x+；BC为O的直径，BAC90，BC3，BCD外接圆半径为，在RtABE中，BE，由的结论可得：DE，CD，BCD的周长4+，BDBE+DE设BCD内切圆半径为r，BCD的周长rBDCD，r，r，BCD内切圆半径与外接圆半径的比值