2023年中考数学压轴培优专题:二次函数与动点综合问题(含答案解析)
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1、二次函数与动点综合问题二次函数与动点问题的背景是特殊图形,考查问题也是二次函数的有个性质和特殊图形的性质,体现的数学思想方法主要是数形结合思想和分类讨论思想,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或三角函数、线段或面积的最值.解决“动点型问题”的关键是动中求静,灵活运用“动中求静”,找到并运用不变的数、不变的量、不变的关系,建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题. 根据题意灵活运用特殊三角形和四边形的相关性质
2、、判定、定理知识确定二次函数关系式,通过二次函数解析式或函数图象判定“动点型问题”涉及的线与线关系、特殊三角形、四边形及相应的周长、面积,还有存在、最值等问题. 【例1】(2022本溪二模)如图,抛物线yx2+bx+c经过A(3,0),C(1,0)两点,与y轴交于点B(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点M是线段AB上方抛物线上一动点,以AB为边作平行四边形ABMD,连接OM,若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1:7的两部分,求点M的横坐标;(3)如图2,点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BA匀速运动,同时点Q从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AOB匀速运动,当点P到达点A时
3、,P、Q同时停止运动,设点P运动的时间为t秒,点G在坐标平面内,使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形,直接写出所有符合条件的t值【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;(2)连接AM,设AB与OM的交点为N,作NHOA于点H,则NHOB,设点M,点N,证明ANHAOB,求出,可得,求出直线OM的解析式,联立方程组,即可求M点的横坐标;(3)分两种情况讨论:当0t3时,P(t,4t),Q(3t,0),再由菱形的边的性质分三种情况求解:当BPPQ时,t或t5(舍);当BPBQ时,t(舍);当BQPQ时,t0(舍)或t(舍);当3t5时,P(t,4t),Q(0,t3),再由菱形的边的性质分三
4、种情况求解:当BPBQ,t3.5;当BPPQ时,t7(舍)或t(舍);当BQPQ时,t0(舍)或t【解答】解:(1)将(3,0),(1,0)代入yx2+bx+c,得,解得,;(2)连接AM,设AB与OM的交点为N,作NHOA于点H,则NHOB,A(3,0),B(0,4),设直线AB的解析式为ykx+4,3k+40,k,yx+4,设点M,点N,SBMN:SABM1:4,SBMN:SABM1:4,BN:AN1:3,NHOB,ANHAOB,即,解得,直线OM的解析式为y4x,联立方程组,解得,点M在第一象限,点M的横坐标为;(3)A(3,0),B(0,4),OA3,OB4,AB5,当0t3时,P(t
5、,4t),Q(3t,0),四边形BPQG是菱形,当BPPQ时,t2(t3+t)2+(t)2,解得t或t5(舍);当BPBQ时,(3t)2+42t2,解得t(舍);当BQPQ时,(3t)2+42(t3+t)2+(t)2,解得t0(舍)或t(舍);当3t5时,P(t,4t),Q(0,t3),四边形BPQG是菱形,当BPBQ,t2(7t)2,t3.5;当BPPQ时,t2(t)2+(4tt+3)2,解得t7(舍)或t(舍);当BQPQ时,(7t)2(t)2+(4tt+3)2,解得t0(舍)或t;综上所述:t的值为或3.5或【例2】(2022沈北新区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2+
6、bx+6(a0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且OAOC3OB,连接AC(1)求抛物线的解析式;(2)动点P和动点Q同时出发,点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C,连接PQ,当点P到达点A时,点Q停止运动,求SCPQ的最大值及此时点P的坐标;(3)点M是抛物线上一点,是否存在点M,使得ACM15?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)先求出点A,点B坐标,利用待定系数法可求解析式;(2)先求出CQ与PH的长,由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解;(3)分两种情况讨论,先求出CM的解析式,联立方程
7、组可求解【解答】解:(1)抛物线yax2+bx+6(a0)交y轴于点C,点C(0,6),OC6,OAOC3OB,OAOC6,OB2,点A(6,0),点B(2,0),将点A,点B坐标代入解析式,可得:,解得:,抛物线的表达式为:yx22x+6;(2)如图,过点P作PHCO于H,OAOC6,OCA45PHOC,ACOCPH45,PHCH,点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C,CP2t,OQt,PHCHt,CQ6t,SPCQCQPH(t2+6t)(t3)2+,当t3时,SCPQ的最大值为,PHCH3,OH63,点P的坐标为(3,63)
8、;(3)如图,当点M在AC的下方时,设CM与x轴的交点为H,ACM15,ACO45,OCH30,tanOCH,OH2,点H(2,0),直线CM的解析式为:yx+6,联立方程组可得:,解得:(舍去)或,故点M(42,4);当点M在AC的上方时,设CM与x轴的交点为G,ACM15,ACO45,OCG60,tanOCG,OG6,点H(6,0),直线CM的解析式为:yx+6,联立方程组可得:,解得:(舍去)或,故点M(4,+);综上所述:点M的坐标为(42,4)或(4,+)【例3】(2022三亚模拟)如图1,抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴、y轴分别交于A(3,0)、B(0,3)两点,点P为抛物线的
9、顶点,连接AB、BP(1)求抛物线的解析式;(2)求PBA的度数;(3)如图2,点M从点O出发,沿着OA的方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动,同时点N从点A出发,沿着AB的方向以个单位/秒的速度向B匀速运动,设运动时间为t秒,MEx轴交AB于点E,NFx轴交抛物线于点F,连接MN、EF当EFMN时,求点F的坐标;在M、N运动的过程中,存在t使得BNP与BMN相似,请直接写出t的值【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;(2)如图1,过点P作PDy轴于点D,可证:PBD是等腰直角三角形,AOB是等腰直角三角形,即可求得答案;(3)如图2,延长FN交x轴于点G,由AEM是等腰直角三角形,可得E
10、MAM3t,再由四边形EFNM是平行四边形,可得EMFN,建立方程求解即可得出答案;如图3,过点N作HGx轴于点G,由于MBN90,故MBNPBN,若BMNPBN90,推出t0,不符合题意;若BNMPBN90,可求得t1,进而可得BNMNBP,故t1【解答】解:(1)抛物线yx2+bx+c经过A(3,0)、B(0,3)两点,解得:,抛物线的解析式为yx2+2x+3;(2)yx2+2x+3(x1)2+4,顶点P(1,4),如图1,过点P作PDy轴于点D,则D(0,4),PDB90,PD1,BD431,PDBD,PBD是等腰直角三角形,PBD45,BP,OAOB3,AOB90,AOB是等腰直角三角
11、形,ABO45,AB3,PBA180PBDABO180454590,(3)如图2,延长FN交x轴于点G,由题意得:OMt,ANt,AM3t,FNx轴,AGN90,由(2)知:AOB是等腰直角三角形,BAO45,ABG是等腰直角三角形,AGNGANtt,G(3t,0),当x3t时,x2+2x+3(3t)2+2(3t)+3t2+4t,F(3t,t2+4t),FGt2+4t,FNFGNGt2+4ttt2+3t,MEx轴,AEM是等腰直角三角形,EMAM3t,MEx轴,EFMN,FNx轴,四边形EFNM是平行四边形,EMFN,3tt2+3t,解得:t1或t3(不符合题意,舍去),F(2,3);存在如图
12、3,过点N作HGx轴于点G,由知:OMt,ANt,AGNGt,MG32t,BN3t,BP,PBN90,MBN90,MBNPBN,若BMNPBN90,则BMO+NMG90,BOMMGN90,BMO+MBO90,MBONMG,BMOMNG,即1,32t3,解得:t0(不符合题意,舍去),故BMNPBN,若BNMPBN90,则ANM90,AMN是等腰直角三角形,AMAN2t,OAOM+AM3t3,t1,当t1时,MNAN,BNABAN32,且BNMPBN90,BNMNBP,综上所述,当BNP与BMN相似时,t1【例4】(2021长沙模拟)在一个三角形中,如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍,
13、则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”(1)已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4,6,m1,求m的值(2)已知RtABC是“调和三角形”,它的三边长分别为a,b,c,且abc求a:b:c的值;若ABC周长的数值与面积的数值相等,求a,b,c的值(3)在(2)的条件下,动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线ABC运动,动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,设yPQ2求y关于t的函数关系式;求y的最小值【分析】(1)根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍,分情况求m值即可;(
14、2)根据两边的长度之和等于第三边长度的两倍,及勾股定理列出三边关系,联立方程组求出比值即可;根据三边比值和ABC周长的数值与面积的数值相等,求出三边长度即可;(3)分点P在AB上和在BC上两种情况,根据勾股定理求出PQ2即可;利用的函数关系式求最值即可【解答】解:(1)“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍,当4+62(m1)时,解得m6,当m1+426时,解得m9,当6+m124时,解得m3(不合题意舍去),综上,m的值为6或9;(2)RtABC是“调和三角形”,且abc,a2+b2c2,a+c2b,由,得b,代入,得a2+()2c2,整理得(5a3c)(a+c)0,a,b,c为
15、三角形三边,0abc,5a3c0,故a:c3:5,同理可得,a:b3:4,a:b:c3:4:5;若ABC周长的数值与面积的数值相等,即a+b+c,a:b:c3:4:5,ba,ca,a+b+c,即a+a+aaa,解得a6或a0(舍去),a6,b8,c10;(3)()当P点在AB上时,即0t5时,过P作PDAC于D,则有AP2t,CQt,AA,PDABCA90,APDABC,PD:AD:AP3:4:5,PDt,ADt,DQ8tt8t,PQ2PD2+DQ2,PQ2(t)2+(8t)2t2t+64;()当P在BC上时,即5t8时,此时,PC6+102t162t,CQt,PQ2PD2+DQ2(162t)
16、2+t25t264t+256,综上,y关于t的函数关系式:;由y关于t的函数关系式可知当P在AB上时有最小值,yt2t+64(t)2+,当t,y有最小值为1(2021遵化市模拟)如图,关于x的二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使PBC为等腰三角形?若存在请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从 点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点
17、M、N运动到何处时,MNB面积最大,试求出最大面积【分析】(1)代入A(1,0)和C(0,3),解方程组即可;(2)求出点B的坐标,再根据勾股定理得到BC,当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:CPCB;BPBC;PBPC;(3)设AMt则DN2t,由AB2,得BM2t,SMNB(2t)2tt2+2t,运用二次函数的顶点坐标解决问题;此时点M在D点,点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解答】解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入yx2+bx+c,解得:b4,c3,二次函数的表达式为:yx24x+3;(2)令y0,则x24x+30,解得:x1或x3,B(3
18、,0),BC3,点P在y轴上,当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,当CPCB时,PC3,OPOC+PC3+3或OPPCOC33P1(0,3+3),P2(0,33);当BPBC时,OPOC3,P3(0,3);当PBPC时,OCOB3此时P与O重合,P4(0,0);综上所述,点P的坐标为:(0,3+3)或(0,33)或(0,3)或(0,0);(3)如图2,设M运动时间为t,由AB2,得BM2t,则DN2t,SMNB(2t)2tt2+2t(t1)2+1,即当M(2,0)、N(2,2)或(2,2)时MNB面积最大,最大面积是12(2020市中区一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax
19、2+bx+4经过A(3,0)、B(4,0)两点,且与y轴交于点C,D(44,0)动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动,同时动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点A移动(1)求该抛物线的解析式;(2)若经过t秒的移动,线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值;(3)在第一象限的抛物线上取一点G,使得SGCBSGCA,再在抛物线上找点E(不与点A、B、C重合),使得GBE45,求E点的坐标【分析】(1)直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可;(2)首先求出AQDACB,则,得出DQDP的长,进而得出答案;(3)首先得出G点坐标,进而得出BGMBEN,进而假设出E点坐标
20、,利用相似三角形的性质得出E点坐标【解答】解:(1)将A(3,0)、B(4,0)代入yax2+bx+4得:,解得:,故抛物线的解析式为:;(2)如图,连接QD,由B(4,0)和D(,0),可得BD,CO4,BC4,则BCBD,BDCBCDQDC,DQBC,AQDACB,DQDP,;(3)如图,过点G作GMBC于点M,过点E作ENAB于点N,SGCBSGCA,只有CGAB时,G点才符合题意,C(0,4),4x2+x+4,解得:x11,x20,G(1,4),GBEOBC45,GBCABE,BGMBEN,设E(x,)解得x1,x24(舍去),则E(,)3(2020项城市三模)如图,抛物线经过A(3,
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