2023年上海市长宁区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分。）1. 已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是()A. 8B. 6C. 4D. 12. 下列各组图形中，一定是相似图形的是()A. 两个等腰梯形B. 两个矩形C. 两个直角三角形D. 两个等边三角形3. 将抛物线y=-x2+4向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为()A. y=-(x-1)2+4B. y=-(x+1)2+4C. y=-x2+5D. y=-x2+34. 在ABC中，C=90，已知AC=3，AB=5，那么A的余弦值为()A. 34B. 43C. 35D. 455.

2、 已知P是线段AB的黄金分割点，且APBP，那么AP-BPBP的值为()A. 3-52B. 3+52C. 5-12D. 5+126. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x-2-1012y-10-3-4-3由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是()A. -3B. -4C. 0D. -1二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 已知ab=14，那么ba+b的值为 8. 计算：-32a+2(a-32b)= 9. 如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是_10. 如果向量a与单位向量e的方向相反，且|a|=5，那么用向量e表示向量a为 11.

3、 小杰沿着坡度i=1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米.12. 已知抛物线y=(1+m)x2在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是 13. 已知抛物线y=ax2-2ax+2(a0)经过点(-1,y1)，(2,y2)，试比较y1和y2的大小：y1 y2(填“”，“0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB=OC(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点(不与点B、C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ.当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，

4、D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE=2ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得BEF与ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】解：线段a、b、c、d是成比例线段，a=1，b=2，c=3，a：b=c：d，即1：2=3：d，解得：d=6故选：B根据成比例线段的概念可得a：c=c：b，可求d的值此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键2.【答案】D【解析】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，两个等边三角形一定是相似图形，故D正确；又直角三角形、等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，两个直角三角形、两个等

5、腰梯形、两个矩形都不一定是相似图形，故A、B、C错误故选：D本题主要考查了相似多边形的概念如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形3.【答案】A【解析】解：抛物线y=-x2+4向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=-(x-1)2+4故选：A根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式4.【答案】C【解析】解：在RtABC中，AC=3，AB=5，cosA=ACAB=35，故选：C利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答本题考查了锐角三角函数的定义，熟

6、练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键5.【答案】C【解析】解：P是线段AB的黄金分割点，且APBP，BPAP=5-12，APBP=25-1=5+12，AP-BPBP=APBP-1 =5+12-1 =5+1-22 =5-12，故选：C利用黄金分割的定义，进行计算即可解答本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键6.【答案】D【解析】解：假设三点(0,-3)，(1,-4)，(2,-3)在函数图象上，把(0,-3)，(1,-4)，(2,-3)代入函数解析式得：c=-3a+b+c=-44a+2b+c=-3，解得a=1b=-2c=-3，函数解析式为y=x2-2x-3，当x=-1时，y=0，当

7、x=-2时，y=5，故选：D方法二：解：假设函数经过(0,-3)，(2,-3)，则对称轴为直线x=1，此时y=-4，函数值最小，函数开口向上，当x0)，则水平距离为：2.4x米，则：x2+(2.4x)2=1302，解得：x=50，故答案为：50设坡度的高为x米，根据勾股定理，列方程求解本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键12.【答案】m-1【解析】解：抛物线y=(1+m)x2在y轴左侧的部分是上升的，抛物线开口向下，1+m0，m-1，故答案为：m【解析】解：a0，抛物线开口向上，y=ax2-2ax+2，抛物线对称轴为直线x=-2a2a=1，1-(-1)2-

8、1，y1y2，故答案为：由a0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系14.【答案】12【解析】解：如图： AD/BE/CF，ABAC=DEDF，AB=5，DE=6，AC=15，515=6DF，解得DF=18，EF=DF-DE=18-6=12，故答案为：12由AD/BE/CF，可得ABAC=DEDF，即515=6DF，可解得DF=18，从而EF=DF-DE=12本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式15.【答案】210【解析】解：延长BG

9、交AC于F，过G作GDAB于G，直线DG交BC于E，如图： GDAB，BAC=90，DE/AC，BDE=BAC=90，DBE=ABC，DBEABC，BDAB=DEAC，同理可得DGAF=BDAB=BGBF=GECF，DEAC=BGBF，G为ABC的重心，AF=CF，BGBF=23，DG=GE，DEAC=23，AC=6，DE=4，DG=GE=2，tanABG=13，DGAD=13，即2AD=13，AD=6，AG=AD2+DG2=62+22=210，故答案为：210延长BG交AC于F，过G作GDAB于G，直线DG交BC于E，证明DBEABC，得BDAB=DEAC，同理可得DGAF=BDAB=BGB

10、F=GECF，即有DEAC=BGBF，根据G为ABC的重心，AC=6，得DE=4，DG=GE=2，又tanABG=13，可得AD=6，由勾股定理可得答案本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形16.【答案】24【解析】解：正方形EFGH面积为24，EF=GH=26，EFG=HGF=90=EFA=HGB，A+AEF=90，C=90，A+B=90，AEF=B，AEFHBG，AFGH=EFBG，AF26=26BG，AFBG=24，故答案为：24由正方形EFGH面积为24，可得EF=GH=26，EFG=HGF=90=EFA=HGB，又C=90，即可得AEF

11、=B，故AEFHBG，有AF26=26BG，从而AFBG=24本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明AEFHBG17.【答案】3【解析】解：过E作EG/AD交AB于G，如图： 四边形ABCD是正方形，C=90，正方形ABCD的面积为12，BC=23，CE=2，cotEBC=BCCE=232=3，EG/AD，AD/BC，EG/BC，BEG=EBC，cotBEG=3，EG/AD，DFE=FEG，BEF-DFE=BEF-FEG=BEG，cot(BEF-DFE)=3故答案为：3过E作EG/AD交AB于G，由正方形ABCD的面积为12，CE=2，可得cotE

12、BC=BCCE=232=3，即可得cotBEG=3，而BEF-DFE=BEF-FEG=BEG，故cot(BEF-DFE)=3本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，把BEF-DFE转化为BEG18.【答案】(1,2)或(4,4)或(5,2)【解析】解：由图可知，AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，在方格中画出与OAB相似的三角形，如图： 点C的坐标是(1,2)或(4,4)或(5,2)，故答案为：(1,2)或(4,4)或(5,2)AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，分别以A，B，C为直角顶点，画出两条直角边的比为1：2的直角三角形即可得到答案本题考查相似

13、三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用19.【答案】解：原式=(32)2-12+322+3 =14+32(2-3) =12+3-32 =3-1【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、分母有理化分别化简，进而得出答案此题主要考查了二次根式的性质与化简以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键20.【答案】解：(1)AC=AB+BC，AC=a+b，AD：DC=2：3，AD=25AC=25a+25b，BD=BA+AD=-a+25a+25b=-35a+25b；(2)如图，BM，BN即为所求【解析】(1)利用三角形法则求出AC，再求出AD，根据BD=AB+AD，可得结论；(

14、2)利用三角形法则作出图形即可本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型21.【答案】解：(1)根据题意得t+20且t2-2=2，解得t=2，所以抛物线解析式为y=4x2-4x-3；(2)y=4x2-4x-3=4(x-12)2-4，a=40，该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为(12,-4)，对称轴为直线x=12【解析】(1)根据二次函数的定义得到t+20且t2-2=2，然后解关于t的方程可得到满足条件的t的值，从而得到抛物线解析式；(2)利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题本题考查了待定系数法求二次函数的解析式

15、：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了二次函数的性质22.【答案】解：如图： 由已知可得：CBG=30，DBG=FED=45，BE=50米，设BG=EF=x米，则DG=DF=x米，GF=2x米，GF=BE，2x=50，解得x=25，BG=DG=25米，在RtBGC中，tanCBG=CGBG，CG=3325=2533，CD=CG+DG=(2533+25)米，答：大楼的高度为(2533+25)米【解析】由已知可得：CBG=30，DBG=FED=45，BE=50米，设BG=EF=x米，可得2x=50，解得BG=DG=25米，在R

16、tBGC中，CG=2533，即得CD=CG+DG=(2533+25)米本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题23.【答案】(1)证明：AB=AD，ABD=ADB，EF垂直平分BC，EB=EC，EBC=C，GBD=C，BDG=CBA，BDGCBA；(2)解：由(1)知BDGCBA，DGAB=BDBC，AB=18，DG=6，BDBC=618=13，BDCD=12，SABDSACD=12，SADC=180，SABD=90，AC=AB=18，DG=6，AG=12，DGAG=12，SBDGSABG=12，SABG=23SABD=2390=60【解析】(1)由AB

17、=AD得到ABD=ADB，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，则EBC=C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；(2)由(1)知BDGCBA，可得DGAB=BDBC，而AB=18，DG=6，即可得BDCD=12，SABDSACD=12，又SADC=180，故SABD=90，因AG=12，DGAG=12，即得SABG=23SABD=2390=60本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理24.【答案】解：(1)AB=AC，B=C，APC=APD+DPC=B+BAP，且APD=B，BAP=DPC，ABPPCD，BPCD=ABPC，CD=4.8，AB=

18、10，BP4.8=1016-BP，BC=16，解得x=4或x=12，BP的长为4或12；由(1)ABPPCD，BPCD=ABPC，B、P两点的距离为x，xCD=1016-x，CD=x(16-x)10，AD=AC-CD=10-x(16-x)10，B=C，APD=ABC，C=APD，PAD=CAP，PADCAP，PAAC=ADPA，PA2=ACAD，y2=1010-x(16-x)10=100-16x+x2，y=x2-16x+100，16-x0，x16，y=x2-16x+100(0x16)；(2)过A作AHBC于H，过D作DGBC于G，如图： AHBC，AB=AC，BH=12BC=8=CH，AH=A

19、B2-BH2=6，由(1)知当BP=1，即x=1时，CD=x(16-x)10=32，CP=BC-BP=15，AHBC于H，DGBC，AHC=90=DGC，C=C，AHCDGC，DGAH=CDAC，DG6=3210，DG=910，CPD的面积为1215910=274【解析】(1)证明ABPPCD，得BPCD=ABPC，即BP4.8=1016-BP，可解得BP的长为4或12；由ABPPCD，有BPCD=ABPC，可得CD=x(16-x)10，AD=AC-CD=10-x(16-x)10，而PADCAP，知PA2=ACAD，故y2=1010-x(16-x)10=100-16x+x2，即可得到答案；(2

20、)过A作AHBC于H，过D作DGBC于G，由AHBC，AB=AC，BH=8，AH=AB2-BH2=6，结合(1)知当BP=1，即x=1时，CD=x(16-x)10=32，CP=BC-BP=15，证明AHCDGC，可得DG=910，故CPD的面积为274本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用25.【答案】解：(1)B(4,0)，OB=OC，C(0,4)，把A(1,0)，B(4,0)，C(0,4)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=016a+4b+c=0c=4，解得：a=1b=-5c=4，y=x2-5x+4；(2)

21、由B(4,0)，C(0,4)可得直线BC解析式为y=-x+4，设P(m,-m+4)，则Q(m,m2-5m+4)，PQ=-m+4-(m2-5m+4)=-m2+4m，OC/PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC=PQ，-m2+4m=4，解得m=2，Q(2,-2)；(3)在直线QE上存在点F，使得BEF与ADC相似，理由如下：D是OC的中点，点C(0,4)，点D(0,2)，由(2)知Q(2,-2)，直线DQ的表达式为y=-2x+2，A(1,0)，A在直线DQ上，AD=5，AC=17，过点Q作QHx轴于点H，过E作EKx轴于K，如图： QH/CO，故AQH=ODQ，DQE=2ODQ，HQA

22、=HQE，直线AQ和直线QE关于直线QH对称，DAO=QAH=QGH=EGB，GH=AH=1，G(3,0)，由点Q(2,-2)，G(3,0)可得直线QE的表达式为y=2x-6，联立y=x2-5x+4y=2x-6，解得x=5y=4或x=2y=-2，点E的坐标为(5,4)，B(4,0)，BK=1，EK=4，BE=17，BKEK=14=OAOC，EKB=90=COA，EKBCOA，EBK=CAO，CAO-DAO=EBK-EGB，即DAC=GEB，BEF与ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为(t,2t-6)，则EF=(5-t)2+(10-2t)2，当BEFCAD时，有BEAC=EFAD，17

23、17=(5-t)2+(10-2t)25，解得t=4或t=6(在E右侧，舍去)，F(4,2)；当BEFDAC时，BEAD=EFAC，175=(5-t)2+(10-2t)217，解得t=8.4(舍去)或t=1.6，F(1.6,-2.8)，综上所述，F的坐标为(4,2)或(1.6,-2.8)【解析】(1)求出C(0,4)，用待定系数法可得y=x2-5x+4；(2)由B(4,0)，C(0,4)可得直线BC解析式为y=-x+4，设P(m,-m+4)，由OC=PQ，有-m2+4m=4，即可解得Q(2,-2)；(3)可得直线DQ的表达式为y=-2x+2，知A在直线DQ上，AD=5，AC=17，过点Q作QHx

24、轴于点H，过E作EKx轴于K，根据DQE=2ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有DAO=QAH=QGH=EGB，GH=AH=1，G(3,0)，从而可得直线QE的表达式为y=2x-6，点E的坐标为(5,4)，即得EKBCOA，EBK=CAO，故DAC=GEB，BEF与ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为(t,2t-6)，当BEFCAD时，有1717=(5-t)2+(10-2t)25，解得F(4,2)；当BEFDAC时，175=(5-t)2+(10-2t)217，解得F(1.6,-2.8)本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明DAC=GEB，从而得到BEF与ADC相似，点E与点A是对应点