小学奥数《计算公式》类完全平方公式（含答案解析）

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1、计算-公式类计算-完全平方公式课程目标知识点考试要求具体要求考察频率完全平方公式B1.熟悉完全平方公式2.能够运用完全平方公式进行计算。少考知识提要完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 精选例题完全平方公式 1. 填空： a2+b2=(a+b)2- ； a2+b2=(a-b)2+ ； a2+b2=12 + ； (a-b)2=(a+b)2- ； ab= = = 【答案】见解析【分析】 2ab； 2ab； a2+b2=12(a+b)2+(a-b)2； 4ab； 12(a+b)2-a2-b2，12a2+b2-(a-b)2，14(a+b)2-(a-b)2 2.

2、 设 a，b 为有理数，且 a+b=20，设 a2+b2 的最小值为 m，ab 的最大值为 n，则 m+n= 【答案】300【分析】a2+b2=(a+b)2+(a-b)22=12202+(a-b)2，因为 (a-b)20，所以 a2+b2 最小值 m=200；ab=(a+b)2-(a-b)24=14400-(a-b)2，所以 ab 的最大值 n=100，故 m+n=300 3. 已知 a+b=3，a2b+ab2=-30，则 a2-ab+b2+11= 【答案】50【分析】a2b+ab2=ab(a+b)=3ab=-30，所以 ab=-10，a2-ab+b2+11=(a+b)2-3ab+11=50

3、4. 如图所示的几何图形可以表示的公式是 【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2【分析】如图，整个大正方形的面积为 (a+b)2，而四个小图形的面积之和为 a2+2ab+b2，因此验证的公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2 5. 若 (x+2)2+(x-3)2=13，则 (x+2)(3-x)= 【答案】6【分析】(x+2)2+(x-3)2=(x+2)2+(3-x)2=(x+2)+(3-x)2-2(x+2)(3-x)=25-2(x+2)(3-x)=13所以 2(x+2)(3-x)=12，(x+2)(3-x)=6 6. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法

4、，写出一个关于 a、b 的恒等式 【答案】见解析【分析】(a-b)2=(a+b)2-4ab 或 4ab=(a+b)2-(a-b)2 7. 3737+26337+6363= 【答案】10000【分析】原式=37+632=1002=10000 8. 计算：（1）314159262-3141592531415927= ；（2）12342+87662+24688766= 【答案】（1）1；（2）100000000【分析】（1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;（2）原式=12342

5、+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000. 9. 314159262-3141592531415927= ； 12342+87662+24688766= 【答案】 1； 100000000【分析】观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.10. 计算：2010220092011+1= 【答案】1【分析】设 a=2009，原式=(a

6、+1)2a(a+2)+1=a2+2a+1a2+2a+1=111. 计算：31431.4+62868.6+68.6686= 【答案】100000【分析】原式=10(31.42+231.468.6+68.62)=10(31.4+68.6)2=101002=100000本题利用到完全平方和公式 a2+2ab+b2=(a+b)212. 计算 (20142014+2012)-20132013= 【答案】6039【分析】方法一：找规律 32+1-22=6、42+2-32=9、52+3-42=12、62+4-52=15 规律找到了，(n+1)2+(n-1)-n2=3n,20142014+2012-20132

7、013=32013=6039.方法二：原式=(2013+1)(2013+1)+2013-1-20132013=20132013+22013+1+2013-1-20132013=6039.方法三：原式=2014(2013+1)+2012-20132013=20132014+2014+2012-20132013=6039.13. 计算： (4m+n)2； x-122； (3x-2y)2； -4y-142【答案】见解析【分析】 (4m+n)2=(4m)2+24mn+n2=16m2+8mn+n2； (x-12)2=x2-2x12+(12)2=x2-x+14； (3x-2y)2=(3x)2-23x2y+

8、(2y)2=9x2-12xy+4y2；-4y-142=-4y+142=(4y+14)2=(4y)2+24y14+142=16y2+2y+116.14. 请设计一个几何图形，验证 (a-b)2=a2-2ab+b2【答案】见解析【分析】如图整个大正方形的面积为 a2，两个小正方形的面积分别为 (a-b)2、b2，另外两个长方形的面积均为 b(a-b)，故 (a-b)2=a2-b2-2(a-b)b=a2-2ab+b2，这就是差的完全平方公式的几何意义15. 已知 a+b=3，ab=12，求下列各式的值： a2+b2； a2-ab+b2； (a-b)2【答案】 33； 45； 57【分析】a2+b2=

9、a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab=32-2(-12)=33;a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab=45;(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab=(a+b)2-4ab=57.16. 计算： (-8a+11b)2； (-2x-3y)2【答案】见解析【分析】 原式=(11b-8a)2=121b2-176ab+64a2； 原式=(2x+3y)2=4x2+12xy+9y217. 已知 a(a-1)-(a2-b)=-5，求 a2+b22-ab 的值【答案】252【分析】由条件得 a-b=5，a2+b22-ab=(a-b)22=25218.

10、 计算： (3a2b+0.5ab2)2； (11am-13bn)2； (2x-5)(5-2x)-(2x-5)2【答案】见解析【分析】 (3a2b+0.5ab2)2=9a4b2+3a3b3+0.25a2b4； (11am-13bn)2=121a2m-286amnn+169b2n；(2x-5)(5-2x)-(2x-5)2=-(2x-5)2-(2x-5)2=-2(2x-5)2=-8x2+40x-50.19. 计算： (x+2)2(x-2)2； (x+5y-9)(x-5y+9)； (a+b+c)(a-b-c)；先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2，其中 x=-13【

11、答案】 x4-8x2+16； x2-25y2+90y-81； a2-b2-c2-2bc； -8【分析】(x+2)2(x-2)2=(x+2)(x-2)2=(x2-4)2=x4-8x2+16;(x+5y-9)(x-5y+9)=x2-(5y-9)2=x2-(25y2-90y+81)=x2-25y2+90y-81;原式=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-b2-c2-2bc;(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2=9x2-4-5x2+5x-(4x2-4x+1)=9x-5,又 x=-13，故 原式=9x-5=9-13-5=-820. 计算： (a+b+c)2； (a

12、-b-c)2； (a-2b+3c)2【答案】见解析【分析】 原式=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 原式=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc； 原式=a2+2b3+3c2-4ab+6ac-18bc21. 已知实数 a、b 满足 (a+b)2=1，(a-b)2=25，求 a2+b2+ab 的值【答案】7【分析】a2+b2=(a+b)2+(a-b)22=13，ab=(a+b)2-(a-b)24=-6，a2+b2+ab=722. 计算：（1）(-2x+3y)2；（2）(a-2b)(2b-a)；（3）(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)；（4）(2x-y+2)(y-2x+2)【答案

13、】（1）4x2-12xy+9y2；（2）-a2+4ab-4b2；（3）a4+a2b2+b4；（4）4-4x2+4xy-y2【分析】（1）原式=(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2；（2）原式=-(a-2b)2=-(a2-4ab+4b2)=-a2+4ab-4b2;（3）原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4;（4）原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.23. 先化简后求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x，其中 x=3，y=1.5计算：(2x-y+2)(y-2x+2)【答案】 1.5； 4-4x2+4xy-

14、y2【分析】(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.又 x=3，y=1.5，故原式 =x-y=3-1.5=1.5法 2：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x-y)2x2x=x-y=1.5.原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.24. 计算： (x-y)2-(x+y)(x-y)； 2x-35y-13z35y-13z+2x； (a2+ab+b2)(a2-ab+b2)【答案】 2y2-2xy； 4x2-43xz+19z2-925y2； a4+a2b2+b4【分析】(x-y)

15、2-(x+y)(x-y)=x2-2xy+y2-(x2-y2)=2y2-2xy;2x-35y-13z35y-13z+2x=2x-13z2-35y2=4x2-43xz+19z2-925y2;原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4.25. 82112+11282-811+1181+811+11818-1112.【答案】88【分析】方法一：设 x=811，则 原式=x2+1x2-x-1x1+x+1xx-2+1x188=x2+1x2-x-1xx2+1x2-x-1x188=88. 方法二：设 x=811+118，那么 x2=82112+11282+2，所以 82112+11282=x2-2而 18-1112=182+1112-2811=81182+811112-2188=(x-2)188. 这样原式转化为 x2-x-2(1+x)(x-2)188=x2-x-2x2-x-288=88.