小学奥数《应用题》经典牛吃草问题基本知识(含答案解析)
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1、应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识课程目标知识点考试要求具体要求考察频率牛吃草问题基本知识C1.了解牛吃草问题的概念。2.能够准确理解牛吃草的解题原理。3.可以熟练运用牛吃草公式来解决牛吃草问题。少考知识提要牛吃草问题基本知识 概述牛吃草问题:又称为消长问题,是英国伟大的科学家牛顿在他的一书中提出的一个数学问题,所以也称为“牛顿问题”,俗称“牛吃草问题”解决该问题要抓住两个关键量:草的生长速度和草原的原草量 公式:设定1头牛1天吃草量为“1”;(1)草的生长速度=(对应牛的头数 吃的较多的天数-对应牛的头数 吃的较少天数)(吃的较多天数-吃的较少天数)(2)原有草量=牛的头数 吃的天数-草
2、的生长速度 吃的天数(3)吃的天数=原有草量 (牛的头数-草的生长速度)(4)牛的头数=原有草量 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题精选例题牛吃草问题基本知识 1. 一个水池有一根进水管不间断地进水,还有若干根相同的抽水管若用 24 根抽水管抽水,6 小时即可把池中的水抽干;若用 21 根抽水管抽水,8 小时可把池中的水抽干若用 16 根抽水管,需要 小时可把水池中的水抽干【答案】18【分析】设 1 根抽水管 1 小时抽 1 份水每小时新进水量:(218-
3、246)(8-6)=12(份),水池中原有水量:(21-12)8=72(份),如果用 16 根抽水管,抽干水需要:72(16-12)=18(小时). 2. 一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口,水从进水口匀速注入,当池中有一半的水时,如果打开 9 个出水口,9 小时可以把水排空;如果打开 7 个出水口,18 小时可以把水排空如果是一满池水,打开全部出水口放水,那么经过 时 分水池刚好被排空【答案】7;12【分析】设每个出水口每小时的出水量为 1,则进水口每小时的进水量为:(718-99)(18-9)=5,半池水的量为:(9-5)9=36,所以一池水的量为 72如果打开全部 15 个出水
4、口,排空水池所需要的时间为:72(15-5)=7.2(小时),即 7 小时 12 分钟 3. 一个大型的污水池存有一定量的污水,并有污水不断流入,若安排 4 台污水处理设备,36 天可将池中的污水处理完;若安排 5 台污水处理设备,27 天可将池中的污水处理完;若安排 7 台污水处理设备, 天可将池中的污水处理完【答案】18【分析】牛吃草问题变形不妨设一台污水处理设备一天处理一份污水,每天新流入的污水:(436-527)(36-27)=1(份).原有的污水量:436-136=108(份).分牛法:1 台污水处理设备处理每天新流入的污水,剩下 6 台设备处理原有污水108(7-1)=18(天).
5、 4. 某超市平均每小时有 60 人排队付款,每个收银台每小时能应付 80 人,某天某时段内,该超市只有一个收银台工作,付款开始 4 小时就没有顾客排队了;如果叫当时有两个收银台工作,那么付款开始 小时就没人排队了【答案】0.8【分析】设 1 个收银员 1 小时处理 1 份(80 人)则每小时新增人:6080=34 份原有人数:14-344=1 份从 2 个收银台中分出 34 来专门处理“新增草量”则 1(2-34)=0.8(小时)所以 0.8 小时后就无人排队 5. 火星救援中,马克不幸没有跟上其他 5 名航天员飞回地球,独自留在了火星,马克必须想办法生存,等待救援马克的居住舱内留有每名航天
6、员 5 天的食品和 50 千克的非饮用水,还有一个足够大的菜园,马克计划用来种植土豆,30 天后每平方米可以收获 2.5 千克,但是需要灌溉 4 千克的水马克每天需要吃 1.875 千克土豆,才可以维持生存,则食品和土豆可供马克最多可以支撑 天【答案】130【分析】马克拥有的食品可以支撑:56=30(天);马克有水:506=300(千克);这些水可以种土豆:30042.5=187.5(千克);这些土豆可以供马克吃:187.51.875=100(天),则马克可以支撑:30+100=130(天). 6. 若 2 台收割机 3 天可以收割小麦 450 亩,则用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要
7、 天【答案】4【分析】由题意,知 1 台收割机 1 天可收割小麦45023=75(亩),所以用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要2100775=4(天). 7. 有三块草地,面积分别是 5、15、25 亩草地上的草一样厚,而且长得一样快第一块草地可供 10 头牛吃 30 天,第二块草地可供 28 头牛吃 45 天,则第三块草地可供 头牛吃 60 天【答案】45【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份第一块草地,5 苗原有草量 +5 亩 30 天长的草 =1030=300(份),则每亩草量 = 原有草量 + 每亩面积 30 天长的草 =3005=60(份):第二块草地,15 亩原有草量 +1
8、5 亩 45 天长的草 =2845=1260(份),即每亩面积原有草量 + 每亩面积 45 天长的草 =126015=84(份)所以每 亩面积每天长草量 (84-60)(45-30)=1.6(份)每亩原有草量 =60-301.6=12(份)第三块草地面积是 25 亩,60 天新生长的草量为:1.66025=2400(份),(2400+1225)60=45(头),所以第三块草地可供 45 头牛吃 60 天 8. 11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草,12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的草假设每公顷草地上的草量相等,每头新生长的草量的相等,每头牛每天的吃草量也相等,那么 8 公顷
9、草地可供 19 头牛吃 天【答案】8【分析】关键是先求出每公顷地原有的草和每天每公顷地新长出的草假设 1 头牛 1 天吃草量为“1”根据“11 头牛 10 天可吃完 5 公顷草地上的草”可以分別求出: 5 公顷草地原有的草和 10 天中新长出的草量共 1110=110; 每公顷草地原有的草及 10 天中新长出的草量 11105=22根据“12 头牛 14 天可吃完 6 公顷草地上的牧草”可以求出每公顷地中原有草及 14 天新长出的草量 12146=28再次求出每公顷草地中每天新长出的草量 (28-22)(14-10)=1.5求出 8 公顷草地可供 19 头牛吃的天数 (22-1.510)8(1
10、9-1.58)=8(天) 9. 有一块草地,每天都有新的草长出这块草地可供 9 头牛吃 12 天,或可供 8 头牛吃 16 天开始只有 4 头牛在这块草地上吃草,从第 7 天起又增加了若干头牛来吃草,又吃了 6 天吃完 了所有的草假设草的生长速度每天都相同,每头牛每天的吃草量也相同,那么从第 7 天起增加 了 头牛来吃草【答案】10【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份每天长草:(816-912)(16-12)=5(份)原有草:108-512=48(份)共吃 12 天,后 6 天需要牛的头数:48+(5-4)66+5=14(头)增加牛的头数:14-4=10(头)10. 一只船被发现漏水时已经进
11、了一些水,水均匀进入船内如果 10 人淘水,3 小时淘完;如果 5 人淘水,8 小时淘完如果要求 2 小时淘完,需要安排 人淘水【答案】14【分析】将 1 人 1 小时淘的水看做 1 份,则 10 人 3 小时淘 30 份,5 人 8 小时淘 40 份,这说明 5 小时船进水 40-30=10(份),即每小时进水 2 份,船里原有水 30-23=24(份)要求 2 小时淘完,则需要 242+2=14(人)11. 某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失,若同时开 5 个检票口则需 30 分钟,若同时开 6 个检票口则需 20 分钟如果要使队伍 1
12、0 分钟内消失,至少需同时开 个检票口【答案】9【分析】将 1 个检票口 1 分钟通过的人看做 1 份,则 5 个检票口 30 分钟通过人 150 份,6 个 检票口 20 分钟通过人 120 份,这说明 10 分钟来人 150-120=30(份),即每分钟来人 3 份原有人数 150-330=60(份),要使队伍 10 分钟消失,至少需要 6010+3=9(个) 检票口12. 李大爷在草地上放养一群牛,草地每天均匀生长,如果他再买进 3 头牛,则会提前 2 天将草吃完,如果他卖出 3 头牛,则会推迟 4 天才能将草吃完,那么这片草地放养原来那群牛,会用 天将草吃完【答案】8【分析】设一头牛一
13、天吃一份草设原有 x 头牛,y 天吃完,原有草量 a,每天长 b可得方程:xy=a+by(x+3)(y-2)=a+b(y-2)(x-3)(y+4)=a+b(y+4)可得 y=813. 一片草地,草每天生长量相同,17 头牛 30 天可将草吃完,19 头牛 24 天可将草吃完现有若干头牛吃了 6 天后,卖掉 4 头牛,余下的牛再吃 2 天将草吃完原来共有 头牛【答案】40【分析】设每头牛每天的吃草量为 1 份,草的生长速度:(1730-1924)6=9原有草量 =(17-9)30=240(份)若干头牛吃 6 天,设是 x 头牛吃 6 天(x-9)6+(x-4-9)2=240 得 x=40所以原来
14、有 40 头牛14. 有一片草场,10 头牛 8 天可以吃完草场上的草;15 头牛,如果从第二天开始每天少一头,可以 5 天吃完那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天【答案】5【分析】设每头牛每天吃的草是 1 份,则前 8 天 10 头牛共吃了810=80(份);15 头牛每天减少一头 5 天共吃了15+14+13+12+11=65(份),所以一天草场长草(80-65)3=5(份),够 5 头牛吃一天15. 解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝若 10 人需 45 分钟,20 人需 20 分钟,则 14 人修好大坝需 分钟【答案】30【分析】设每个人 1 分钟修好 1 份1045=4
15、50(份),2020=400(份),每分钟新冲毁:(450-400)(45-20)=2(份),原先冲毁:450-245=360(份),360(14-2)=30(分钟).16. 牧场上的青草每天都匀速生长,这片青草可供 27 头牛吃 6 周,或者供 23 头牛吃 9 周那么,这片青草可供 21 头牛吃 周【答案】12【分析】将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份,则 27 头牛 6 周吃 162 份,23 头牛 9 周吃 207 份,这说明 3 周时间牧场长草 207-162=45(份),即每周长草 15 份,牧场原有草 162-156=72(份)21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草,剩下的
16、6 头牛吃原有的草,吃完需 726=12(周)17. 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水第一个桶距水缸有 1 米,小方用 3 次恰好把桶装满;第二个桶距水缸有 2 米,小方用 4 次恰好把桶装满第三个桶距水缸有 3 米,那么小方要多少次才能把它装满?(假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变)【答案】6【分析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水,同时多走了 24-135(米) 路,所以从杯中流出的速度是 150.2(杯/米),于是 1 桶水原有水量等于 3-30.22.4(杯) 水,所以小方要 2.4(1-30.2)6(次) 才能把第三个桶装满18. 学校有一片
17、均匀生长的草地,可以供 18 头牛吃 40 天,或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天,如果 1 头牛每天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量请问:这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃,刚好 16 天吃完?【答案】48 只【分析】根据题中牛、羊吃草量的关系,题目转化为可以供 18 头牛吃 40 天,或者供 24 头牛吃 25 天设 1 头牛 1 天吃 1 份草,则草地上每天新长草(1840-2425)(40-25)=8(份),原有草量为2425-258=400(份),所以这片草地可供 40016+8=33(头) 牛吃 16 天,相当于 17 头牛、(33-17)3=48(只) 羊吃 1
18、6 天19. 把一片均匀生长的大草地分成三块,面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷如果第一块草地可以供 10 头牛吃 30 天,第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天,那么第三块草地可以供多少头牛吃 80 天?【答案】42【分析】方法一:列方程组,设 1 公顷草地的原有草量为 x 份,1 公顷草地的生长速度为 y 份,$leftbegingathered5x + 5y times 30 &= 10 times 30 hfill 15x + 15y times 45 &= 28 times 45 hfill endgathered right.$,解得 $leftbegingathe
19、redx = 12 hfill y = 1.6 hfill endgathered right.$,所以第三块草地 80 天吃完可供 (1224+1.62480)80=42(头) 牛方法二:设 1 头牛 1 天吃 1 份草,则 1 公顷草的生长速度为 (284515-10305)(45-30)=1.6,1 公顷草地的原有草量为 284515-1.645=12,要把第三块草地 80 天吃完可供 (1224+1.62480)80=42(头) 牛20. 林子里有猴子喜欢吃的野果,23 只猴子可在 9 周内吃光,21 只猴子可在 12 周内吃光,问如果要 4 周吃光野果,则需有多少只猴子一起吃?(假设
20、野果生长的速度不变)【答案】33 只【分析】设一只猴子一周吃的野果为 1 份,野果的生长速度是(2112-239)(12-9)=15(份),原有的野果为(23-15)9=72(份),如果要 4 周吃光野果,则需有 724+15=33(只) 猴子一起吃21. 画展 9 点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开 3 个入场口,9 点 9 分就不再有人排队;如果开 5 个入场口,9 点 5 分就没有人排队求第一个观众到达的时间【答案】8:15【分析】设每一个入场口每分钟通过的人数为 1 份,每分钟来的人为:(39-55)(9-5)=0.5(份),原有的人为:(
21、3-0.5)9=22.5(份),这些人来到画展,所用时间为:22.50.5=45(分),所以第一个观众到达的时间为 8 点 15 分22. 有一片牧场,草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养 24 头牛,那么 6 天就把草吃完了;如果只放养 21 头牛,那么 8 天才把草吃完请问:要使得草永远吃不完,最多可以放养多少头牛?【答案】12 头【分析】设 1 头牛 1 天吃 1 份草,则草的生长速度为(218-246)(8-6)=12(份),要使得草永远吃不完,那么就要保证原草不被吃掉,放养的牛每天只吃新生长的草量,因此最多放养 12 头牛23. 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖
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