2023年中考数学第一轮复习练习:二次函数-动态几何问题(含答案)
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1、2023年中考数学一轮复习:二次函数-动态几何问题一、综合题1如图,在平面直角坐标系中,抛物线yxbxc的图象与坐标轴相交于A、B、C三点,其中点A坐标为(3,0),点B坐标为(1,0),连接AC、BC,动点P从点A出发,在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒(1)求b、c的值;(2)在P、Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?2已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,3)(
2、1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)如图甲,点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E,是否存在一点P,使线段PE的长最大?若存在,求出PE长的最大值;若不存在,请说明理由;(3)如图乙,过点A作y轴的平行线,交直线BC于点F,连接DA、DB四边形OAFC沿射线CB方向运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点C与点B重合时立即停止运动,设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S,请求出S与t的函数关系式3如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C直线l:y=12x+n与抛物线交于A,D
3、两点,与y轴交于点E(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方,连接PA,PD,求当PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值;(3)y轴上是否存在点Q,使ADQ=45,若存在请求点Q的坐标;若不存在说明理由4如图,已知抛物线 y=ax2+bx+2 图象经过 A(-1,0) , B(4,0) 两点 (1)求抛物线的解析式;(2)若 C(m,m-1) 是抛物线上位于第一象限内的点, D 是线段 AB 上的一个动点(不与 A 、 B 重合),过点 D 分别作 DE/BC 交 AC 于 E , DF/AC 交 BC 于 F 求证:四边形 DECF 是矩形;连接 EF ,线段 E
4、F 的长是否存在最小值,若存在,求出 EF 的最小值:若不存在,请说明理由5综合与探究:如图,抛物线y= 14 x2 32 x4与x轴交与A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q(1)求点A,B,C的坐标(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使BDQ为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标
5、;若不存在,请说明理由6如图,抛物线 y=x2+x-2 与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C . (1)求点 A ,点 B 和点 C 的坐标;(2)在抛物线的对称轴上有一动点 P ,求 PB+PC 的值最小时的点 P 的坐标;(3)若点 M 是直线 AC 下方抛物线上一动点, M 运动到何处时四边形 ABCM 面积最大,最大值面积是多少?7如图,在矩形ABCD中,AB10cm,BC5cm,点P,点Q分别以2cm/s和1cm/s的速度从A,B沿AB,BC方向运动.设t秒(t5)时,PBQ的面积为y.(1)试写出y与t的函数关系式. (2)当t为何值时,SPBQ6cm2? (3)
6、在P、Q运动过程中,四边形APQC的面积是否有最小值?如果有,直接写出S四边形APQC . 8如图,抛物线 y=-12x2+bx+c 与x轴交于 A,B 两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知 A(-1,0),C(0,2) (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点E是线段 BC 上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,求 CBF 的最大面积及此时点E的坐标 9如图,直线y=13x+b和抛物线y=ax-53x+2都经过A(0,n)和B(m,4
7、)两点,抛物线y=ax-53x+2与x轴交于C、D两点(点C在点D右侧)(1)求直线和抛物线的函数表达式;(2)求四边形ABCD的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,使得PAB是以AP为直角边的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由10如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+2x+c(a0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接BC,OA1,OB5,点D是此抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式;(2)抛物线上C,D两点之间的距离是 ;(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求BCE面积的最大值;在的条件下,当BCE的面积最大时,P为y轴上一点,过点P作抛物
8、线对称轴的垂线,垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存在最小值若存在,请直接写出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由11如图,抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)(1)求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式;(2)求AOC和BOC的面积比;(3)在对称轴上是否存在一个P点,使PAC的周长最小若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由12在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2+bx4经过A(4,0),C(2,0)两点(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动
9、点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值13如图,抛物线yax2bx3经过A、B、C三点,点A(3,0)、C(1,0),点B在y轴上点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合)(1)求此抛物线的解析式;(2)过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线AB于点E,动点P在什么位置时,PE最大,求出此时P点的坐标;(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,是否存在点Q,使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由14已知抛物线y=14x2+1具有如下性质:给抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等,如图,
10、点M的坐标为(3,3),P是抛物线y=14x2+1上一动点,则(1)当POF面积为4时,求P点的坐标;(2)求PMF周长的最小值15如图,在 ABC 中, B=90 , AB=6cm , BC=8cm ,点 P 从 A 点出发沿 AB 边 向 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从 B 点出发沿 BC 向 C 点以 2cm/s 的速度移动,当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动,在两个点运动过程中,请回答: (1)经过多少时间, PBQ 的面积是 5cm2 ? (2)请你利用配方法,求出经过多少时间,四边形 APQC 面积最小?并求出这个最小值 16如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过
11、A、B两点,A、B两点的坐标分别为(1,0)、(0,3)(1)求抛物线的函数解析式;(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DCDE,求出点D的坐标答案解析部分1【答案】(1)解:二次函数yx2bxc的图象经过点A(3,0),B(1,0),-32+3b+c=0-(-1)2-b+c=0,解得:b=2c=3;(2)解:由(1)得:抛物线表达式为yx22x3,C(0,3),A(3,0),OAC是等腰直角三角形,BAC45,由点P的运动可知:AP=2t,过点P作PHx轴,垂足为H,如图所示:AH=PH=2t2=t,即H(3t,0),又Q(1t,0),S四边形BCPQ
12、SABCSAPQ1243123(1t)t=12t2-2t+612(t2)24AC=OA2+OC2=32+32=32,AB=3-(-1)=4,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,0t3,当t=2时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为42【答案】(1)解:抛物线的解析式:y=x2+4x3,由y=x2+4x3=(x2)2+1,可知:顶点D的坐标(2,1)(2)解:存在设直线BC的解析式为:y=kx+b,则 3k+b=0b=-3 ,解得 k=1b=-3 ,直线BC的解析式为y=x3,设P(x,x2+4x3),则F(x,x3),PF=(x2+4x3)(x3)=x2+3x=(m 32 )2+ 94
13、,当x= 32 时,PE有最大值为 94 存在一点P,使线段PE的长最大,最大值为 94 (3)解:A(1,0)、B(3,0)、D(2,1)、C(0,3),可求得直线AD的解析式为:y=x1;直线BC的解析式为:y=x3ADBC,且与x轴正半轴夹角均为45AFy轴,F(1,2),AF=2当0t 2 时,如答图11所示此时四边形AFFA为平行四边形设AF与x轴交于点K,则AK= 22 AA= 22 tS=SAFFA=AFAK=2 22 t= 2 t;当 2 t2 2 时,如答图12所示设OC与AD交于点P,AF与BD交于点Q,则四边形PCFA为平行四边形,ADQ为等腰直角三角形S=SPCFASA
14、DQ=21 12 (t 2 )2= 12 t2+ 2 t+1;当2 2 t3 2 时,如答图13所示设OC与BD交于点Q,则BCQ为等腰直角三角形BC=3 2 ,CC=t,BC=3 2 tS=SBCQ= 12 (3 2 t)2= 12 t23 2 t+9综上所述,S与t的函数关系式为:S= 2t(0t2)-12t2+2t+1(2t22)12t2-32t+9(22t32)3【答案】(1)解:将A(-2,0)、B(6,0)代入y=ax2+bx+3得:4a-2b+3036a+6b+30,解得a-14b1,抛物线的解析式为y=-14x2+x+3,(2)解:y=12x+n过点于A(-2,0),所以n=1
15、,点D的坐标为(4,3)如图1中,过点P作PKy轴交AD于点K设P(m,-14m2+m+3),则K(m,12m+1)SPAD=12(xD-xA)PK=3PK,PK的值最大值时,PAD的面积最大,PK=-14m2+m+3-12m-1=-14m2+12m+2=-14(m-1)2+94,-140,m-10.m1 ,m=-2 舍去,m=3 ,点 C 坐标为 (3,2) 过 C 点作 CHAB ,垂足为 H ,则 AHC=BHC=90 由 A(-1,0) 、 B(3,2) 、 C(3,2) ,得 AH=4 , CH=2 , BH=1 , AB=5 (以下解答提供两种不同方法供参考)方法一:AHCH=CH
16、BH=2 ,又AHC=BHC=90 ,AHCCHB ,ACH=CBH CBH+BCH=90 ,ACH+BCH=90 ,ACB=90 DE/BC , DF/AC ,四边形 DECF 是平行四边形,DECF 是矩形方法二:AC2=CH2+AH2=22+42=20 , BC2=CH2+BH2=22+12=5 ,AC2+BC2=20+5=25 AB2=52=25 ,AC2+BC2=AB2 ,ACB=90 DE/BC , DF/AC ,四边形 DECF 是平行四边形,DECF 是矩形存在方法一:连接 CD ,四边形 DECF 是矩形,EF=CD 当 CDAB 时, CD 的值最小C(3,2) ,DC 的
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