北京市通州区2021-2022学年高二下期中质量检测数学试卷（含答案解析）

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1、北京市通州区2021-2022学年高二下期中质量检测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知函数，则（ ）A. B. 1C. D. 52. 已知函数，则（ ）A. B. C D. 3. 若曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. 2B. 0C. D. 4. 已知集合，现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）A. 16个B. 12个C. 9个D. 6个5. 设，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数在定义域D

2、内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 20种9. 下图示函数的导函数的图象，给出下列命题：，是函数的极小值点；是函数的极大值点；在处切线的斜率大于零；在区间上单调递增则正确命题的序号是（ ）A. B. C. D.

3、10. 设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 若，则_12. 在的二项展开式中，常数项等于_.13. 假设某高山滑雪运动员在一次高山滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则该运动员在这段时间的平均速度为_m/s；在时的瞬时速度为_m/s14. 设函数、在区间内导数存在，且有以下数据：则_；函数在处的导数值是_15. 定义在区间上的函数，则的单调递减区间是_16. 函数（其中，e为自然常数）关于函数有四个结论：，函数总存在零点，函数在定义域内单调递增，

4、使函数存在2个零点，使得直线为函数的一条切线其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 高二年级某班第一小组有10名同学，现要从该小组中选出4名同学组成一队，参加高二年级辩论赛（1）该小组共有多少种组队方法？（2）若从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，（）该小组有多少种选法？（）如果甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有多少种选法？18. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列（1）求n的值；（2）求的展开式中的系数19. 已知函数（1）求函数单调区间；（2）求函数在区间上的最小值

5、20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）请写出的表达式；（2）隔热层建多厚时，达到最小，并求出最小值21. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围22 设函数，其中（1）当时，证明：函数没有极值点；（2）当时，试判断函数零点的个数，并说明理由北京市通州区202

6、1-2022学年高二下期中质量检测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知函数，则（ ）A. B. 1C. D. 5【答案】D【解析】【分析】根据求导公式求出导函数，再计算详解】由，得，故故选：D2. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】整理解析式得，用计算整理【详解】则故选：D3. 若曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. 2B. 0C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出导数，将代入后，可得，将代入后可得，进而得到【详解】由得，又曲线在点处的切线方程为，故当时，又点在上，则，故故选：A4. 已知集合，现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标

7、，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）A. 16个B. 12个C. 9个D. 6个【答案】D【解析】【分析】根据第四象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.【详解】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，所以集合中只有符合，集合中只有符合，所以第四象限的点P有个，故选：D5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由基本初等函数求导公式及复合函数的求导法则即可求解.【详解】解：因为，所以，故选：C.6. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数的

8、几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可【详解】依次作出，在的切线，如图所示：根据图形中切线的斜率可知故选：A7. 已知函数在定义域D内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先验证充分性，不妨设，在处有，但为单调递增函数，不是极值点；再验证必要性，即可得结果【详解】充分性：不妨设，则，在处有，但是，为单调递增函数，在处不是极值，故充分性不成立必要性：根据极值点的性质可知，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点，因为函数在定义域内可导，所以不存在不可导的

9、点，因此导数为零的点就是极值点，故必要性成立故选：B8. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 20种【答案】B【解析】【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解.【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后，

10、“射”和“御”两次相邻，所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有种排法，再将“射”和“御”交换位置有种排法，最后安排“数”有种排法，所以根据分步计数原理共有种排法，故选：B.9. 下图示函数的导函数的图象，给出下列命题：，是函数的极小值点；是函数的极大值点；在处切线的斜率大于零；在区间上单调递增则正确的命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义，及导数与单调性，单调性及极值的关系进行判断即可【详解】 当时，且左右两侧同时为正，此时单调递增，无极值点，当时，且左右两侧同时为负，此时单调递减，无极值点，故错误；当时，且左侧为正，

11、右侧为负，此时在左侧为单调递增，右侧为单调递减，故是函数的极大值点，故正确；由图知，根据导数的几何意义知，在处切线的斜率大于零，故正确；当时，故在为单调递减，故错误；综上可知，正确故选：C10. 设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的极小值大于且解不等式组可得结果.【详解】由得，令,得，令，得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极小值，为，因为无最小值，所以，解得.故选：A第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 若，则_【答案】5【解析】【分析】根据排列组合计算

12、公式进行计算即可【详解】因为，故，化简得：，解得或（舍去）故答案为：512. 在的二项展开式中，常数项等于_.【答案】-20【解析】【详解】展开式通项，令6-2r=0，得r=3，故常数项为.13. 假设某高山滑雪运动员在一次高山滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，则该运动员在这段时间的平均速度为_m/s；在时的瞬时速度为_m/s【答案】 . #13.5 . #17.5【解析】【分析】用4秒经过的路程减去前2秒经过的路程，除以时间，即可得到该运动员在这段时间的平均速度；求出，代入即可得到在时的瞬时速度【详解】答题空1：该运动员在这段时间的平均速度为：答题空2：

13、由得，当时，故答案为：，14. 设函数、在区间内导数存在，且有以下数据：则_；函数在处的导数值是_【答案】 . . 【解析】【分析】令，由内到外可计算出的值，利用复合函数的求导法则可求得在处的导数值.【详解】令，则，所以，.故答案为：；.15. 定义在区间上的函数，则的单调递减区间是_【答案】【解析】【分析】根据求出，令，解不等式即可【详解】由得令，即，得，因为，故当时，即，当时，即，又为奇函数，故的单调递减区间是故答案为：16. 函数（其中，e为自然常数）关于函数有四个结论：，函数总存在零点，函数在定义域内单调递增，使函数存在2个零点，使得直线为函数的一条切线其中所有正确结论的序号是_【答案

14、】【解析】【分析】对，举出反例判断即可；对，求导分析单调性即可；对，令，参变分离得到，再根据函数的图象数形结合分析即可对，设切点，再根据切点在函数、切线上，结合导数的几何意义分析即可【详解】对，当时，不存在零点，故错误；对，当时，在定义域上恒成立，故函数在定义域内单调递增，故正确；对，显然不为零点，令，即，设函数，则，令可得，易得为增函数，且，故存在使得成立，又当时，当时，故当时，单调递减；当时，单调递减；当时，单调递增.故当时有极小值，故当时有两个零点.故正确；对，若，使得直线为函数的一条切线，则设切点为，因为，故，即，故，当时，当时，故存在使得成立，故有解，此时满足条件，故正确故答案为：【

15、点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点、单调性问题，同时也考查了根据导数的几何意义分析切线的问题，属于难题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 高二年级某班第一小组有10名同学，现要从该小组中选出4名同学组成一队，参加高二年级辩论赛（1）该小组共有多少种组队方法？（2）若从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，（）该小组有多少种选法？（）如果甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有多少种选法？【答案】（1） （2）（）；（）.【解析】【分析】（1）从该小组10名同学中选出4名同学与顺序无关，是组合问题，从而即可求解；（2）

16、（）从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，与顺序有关，是排列问题，从而即可求解；（）甲同学担任第一辩手有种选法，乙同学担任第三辩手有种选法，甲同学担任第一辩手且乙同学担任第三辩手有种选法，从而利用间接法即可求解；【小问1详解】解：由题意，从该小组10名同学中选出4名同学共有种组队方法；【小问2详解】解：（）从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，有种选法；（）因为甲同学担任第一辩手有种选法，乙同学担任第三辩手有种选法，甲同学担任第一辩手且乙同学担任第三辩手有种选法，所以甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有种选法.18. 已知的展开式

17、中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列（1）求n的值；（2）求的展开式中的系数【答案】（1）7 （2）57【解析】【分析】（1）写出展开式的通项公式，找出第2项，第3项，第4项的二项式系数，按题意列式，进行计算即可；（2）用中的各项和的各项进行搭配相乘，即可得到答案【小问1详解】根据题意得展开式的通项公式为：故其第2项，第3项，第4项的二项式系数分别为，根据题意得，化简得，解得或（舍去），故的值为7【小问2详解】由（1）知，故，其中的展开式的通项公式为：，则展开式中系数系数为：19. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值【答案】（1）在，上递增，在递减 （2）当

18、时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为【解析】【分析】（1）通过解判断的单调区间；（2）结合（1）中函数的单调区间，讨论、两种情况，确定在区间上的单调性，可得函数在区间上的最小值【小问1详解】则令，则或在，上递增，在递减【小问2详解】由（1）可知：在上递增，在递减当时，在递减函数在区间上的最小值为；当时，在上递增，在递减函数在区间上的最小值为综上所述：当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源

19、消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）请写出的表达式；（2）隔热层建多厚时，达到最小，并求出最小值【答案】（1） （2）当隔热层修建为厚时，总费用达到最小值为70万元【解析】【分析】（1）由题意，不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，则有，可得，进而可得，从而根据为隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和，即可写出的表达式；（2）由，从而利用基本不等式即可求出的最小值【小问1详解】解：由题意，得，所以，所以；【小问2详解】解：由（1）知，所以，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层

20、修建为厚时，总费用达到最小值为70万元21. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出、，再利用直线的点斜式方程求出切线方程；（2）求出，转化为在R上恒成立，构造函数，求出在取得最小值，要使，则在R上恒成立，令可得答案.【小问1详解】，在点处的切线方程为，即.【小问2详解】由题意，若函数在R上单调递增，则，因为，即在R上恒成立，令，令，得故当时，单调递增，当时，单调递减故在取得最小值，且，要使，则在R上恒成立，所以，即， 故实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义和有单调性求参数范围的问

21、题，解题的关键点是转化为导函数恒大于等于零，再构造函数求最值的问题，考查了学生发现问题、解决问题的能力.22. 设函数，其中（1）当时，证明：函数没有极值点；（2）当时，试判断函数零点的个数，并说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）当时，函数在上有两个零点，理由见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，根据及可得，从而判断单调性即可求解；（2）由（1）知，令，则，由，可得，进而有在上单调递减，根据函数零点存在定理可得，使，从而有在上单调递增，在上单调递减，再利用函数零点存在定理即可求解.【小问1详解】证明：因为，所以当时，从而， 所以在上单调递增，所以函数没有极值点；【小问2详解】解：由（1）知，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，又，当时，所以，使，所以当时，即，所以在上单调递增，当时，即，所以在上单调递减，所以为函数的极大值，又，当时，当时，所以，使；，使.所以当时，函数在上有两个零点.