北京市房山区2021-2022学年高一下期中学业水平调研数学试卷（含答案解析）

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1、北京市房山区2021-2022学年高一下期中学业水平调研数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 将转化为弧度为（ ）A. B. C. D. 2. 若且，则角所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）A. ，B. ，C ，D. ，4. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）A. B. C. D. 5. 函数是（ ）A. 周期为奇函数B. 周期为的奇函数C. 周期为偶函数D. 周期为的偶函数

2、6. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 7. 若角的终边经过点，将角的终边绕原点O逆时针旋转与角的终边重合，则（ ）A. B. C. D. 8. 设是非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）A. B. C D. 10. 对于函数，给出下列四个命题：该函数的值域为；当且仅当时，该函数取得最大值；该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当时，.上述命题中正确命题的个数为A. B. C. D. 二、填空题：本大题共

3、6小题，每小题5分，共30分.11. 已知，则与角终边相同的最小正角是_12. 函数的零点的个数是_13. 若，且，则的取值范围是_14. 已知是平行四边形对角线的交点，若，其中，则_15. 已知向量，规定，之间的一种运算.若向量，运算，则向量_.16. 已知为等腰直角三角形，且.给出下列结论：；|；其中正确结论的序号为_（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分.17. 已知向量，其中，求：（1）和的值；（2）与的夹角的余弦值18. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值，并写出取得最大值时，自变量的集合；（3）说明由余弦曲线经过怎样的变换,可

4、以得到该函数的图象.19. 已知，.（1）求的值；（2）求值20. 已知函数的图象过点.（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3），总成立求实数的取值范围.21. 如图，是半径为的圆的直径，点为圆周上一点，且，点为圆周上一动点.（1）求的值；（2）求的最大值.北京市房山区2021-2022学年高一下期中学业水平调研数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 将转化为弧度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据角度制与弧度制的转化公式直接转化.【详解】，故选：B.2. 若且，则角所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

5、【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的正负，确定角所在的象限.【详解】，则角在第三，四象限，则角在第二，四象限，所以满足且，角在第四象限.故选：D3. 如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）A ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断角的正弦线、余弦线、正切线即可.【详解】由题图，而，所以角的正弦线、余弦线、正切线分别是，.故选：D4. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据扇

6、形面积公式即可求出.【详解】设扇形的圆心角为，则，即，解得.故选：C.5. 函数是（ ）A. 周期为的奇函数B. 周期为的奇函数C. 周期为的偶函数D. 周期为的偶函数【答案】B【解析】【分析】根据正切函数的性质判断的最小正周期、奇偶性，即可得答案.【详解】由正切函数性质知：最小正周期为，定义域关于原点对称且，即奇函数.所以是周期为的奇函数.故选：B6. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依据向量平行充要条件列出关于的方程，再去求的值【详解】由，可得，解之得故选：B7. 若角的终边经过点，将角的终边绕原点O逆时针旋转与角的终边重合，则（ ）A. B. C.

7、 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知，结合诱导公式及终边上的点坐标求函数值即可.【详解】由题设，.故选：C8. 设是非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】向量模相等转化平方相等，利用向量数量积定义展开计算得出共线，逆向考虑同向共线时不符合即可求解.【详解】因为，则，则，则，所以，所以，所以共线；但若与共线也可能是同向共线，例如当它们方向一致大小相同时，有，而此时，所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A.9. 已知角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”已知，下列角中，可能与

8、角“广义互余”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由诱导公式化简，对选项逐一判断【详解】若，即，若，则，故A，C错误，对于B，若，则，B错误，对于D，若，则，D正确故选：D10. 对于函数，给出下列四个命题：该函数的值域为；当且仅当时，该函数取得最大值；该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当时，.上述命题中正确命题的个数为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；作出函数在区间上的图象，结合该函数的周期可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】由题意可知，对于命题，则，所以，函数不是以为周期的周期函数，命题错误；由于，所以，函数

9、是以为周期的周期函数.作出函数在区间上的图象如下图（实线部分）所示：由图象可知，该函数的值域为，命题错误；当或时，该函数取得最大值，命题错误；当且仅当时，命题正确.故选：A.【点睛】本题考查有关三角函数基本性质的判断，作出函数的图象是关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 已知，则与角终边相同的最小正角是_【答案】【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】解：已知，则与角终边相同的角是，当时，与角终边相同的最小正角是，故答案为：12. 函数的零点的个数是_【答案】3【解析】【分析】由正切函数的性质判断给定闭区间内的零点个数即

10、可.【详解】由正切函数性质，当，时，所以在上，当或0时，共有3个零点.故答案为：313. 若，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由余弦函数的值域有，即可求m的范围.【详解】由余弦函数的性质知：，可得.故答案为：14. 已知是平行四边形对角线的交点，若，其中，则_【答案】#0.5【解析】【分析】利用向量加法、数乘的几何意义有，结合已知即可确定m、n的值，进而求.【详解】由题设，而，所以，而，所以，故.故答案为：15. 已知向量，规定，之间的一种运算.若向量，运算，则向量_.【答案】【解析】【分析】设，利用向量运算的新定义，即可求解.【详解】设，所以，解得：，所以.故答案为：16. 已知

11、为等腰直角三角形，且.给出下列结论：；|；其中正确结论的序号为_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】根据平面向量加法的运算法则，结合平面向量数量积的运算性质、直角三角形的性质逐一判断即可.【详解】：，因为，所以，因此，所以本结论正确；：因为，所以本结论正确；：，显然，所以本结论不正确；：，因为，所以由勾股定理可得：，因此本结论正确；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分.17. 已知向量，其中，求：（1）和的值；（2）与的夹角的余弦值【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）首先求向量的坐标，再根据数量积和模的坐标公式，即可计算；（2）利用向量夹角公式，即

12、可计算.【小问1详解】因为，所以，所以，所以 .【小问2详解】.18. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值，并写出取得最大值时，自变量的集合；（3）说明由余弦曲线经过怎样的变换,可以得到该函数的图象.【答案】（1） （2），此时自变量的集合为 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）由余弦型函数最小正周期求法可得结果；（2）令可求得的最大值，并求得对应的的集合；（3）根据三角函数平移和伸缩变换原则即可得到结果.【小问1详解】的最小正周期.【小问2详解】当，即时，此时自变量的集合为.【小问3详解】将图象向左平移个单位得：，将横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍，即可得到.19. 已

13、知，.（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由平方关系及角的范围求得，再根据商数关系即可求.（2）应用诱导公式化简目标式，由（1）所得结果代入求值即可.【小问1详解】因sin ，则，又，所以，则.所以.【小问2详解】原式=.20. 已知函数的图象过点.（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3），总成立求实数的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）将代入解析式后求解（2）由三角函数的性质求解（3）不等式恒成立，转化为最值问题求解【小问1详解】因为，得，而，故【小问2详解】由（1）得： ，由，得：，所以函数的单调增区间为.【小问3详解】由

14、，恒成立，得 因为，所以.所以当时，取得最小值.所以的取值范围是.21. 如图，是半径为的圆的直径，点为圆周上一点，且，点为圆周上一动点.（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）法一：由题设可得，再应用向量数量积的定义求；法二：构建平面直角坐标系并确定相关点坐标，进而得到，应用向量数量积的坐标运算求.（2）法一：根据向量数量积的几何意义判断的最大时与位置关系，即可得最大值；法二：设，利用向量数量积的坐标运算及三角函数的性质求最大值即可.【小问1详解】法一：因为是单位圆的直径，则，又，所以.所以.法二：以圆心为原点，直径为轴建立平面直角坐标系，则.所以.所以.【小问2详解】法一：因为，所以要使最大，则需最大， 而为 在上的投影，当与重合时最大，此时，所以的最大值为.法二：设，则.所以，又，则当时的最大值为.