江苏省如皋市2021-2022学年度高二下期中教学质量调研（二） 数学试卷（含答案解析）

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1、2021-2022学年度高二年级第二学期教学质量调研数学试卷(二)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若随机变量，且，则（ ）.A. B. C. D. 2. 已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为，且对应的次品率为，则该产品的次品率为（ ）.A. B. C. D. 3. 已知函数若，则（ ）.A. 1或B. 1或0C. 1或或0D. 或04. 已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）.A. B. C. D. 5. 已知函数的图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）.A. B. C. D. 6. 已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小

2、值为m，则的值为（ ）.A. B. C. D. 07. 已知，则的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 8. 根据新型冠状病毒肺炎防控方案的相关规定，密切接触者将实施集中隔离医学观察，某市有4个隔离点，现查出3名密接者需要实施集中隔离医学观察，且每个人选择每一个隔离点的概率相同，设3名密接者选中的隔离点的个数为X，则（ ）.A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9. 下列说法正确的是（ ）.A. 若事件A和事件B相互独立，则B. 若事件A和事件B相互对立，则C.

3、若事件A和事件B为互斥事件，则事件A和事件B相互独立D. 某人在10次射击中，击中目标的次数，则的方差为10. 若，则（ ）.A. B. C. D. 11. 已知实数，满足，一定成立的不等式有（ ）.A. B. C. D. 12. 已知函数是上的偶函数，当时，则（ ）.A. B. 当时，C. 对不等式恒成立则a的最大值为D. 曲线与曲线在上有1516个公共点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，则实数k的值为 .14. 根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒若从喷洒药物开始，教室内空气中的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分

4、钟）的关系为：，根据相关部门规定该药物浓度达到不超过毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少 分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过毫克/立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次消毒 效果（填：有或没有）.（本小题第一空2分，第二空3分）15. 已知三次函数无极值，且满足，则 .16. 已知函数，若，则的最小值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合（1）求集合A；（2）若_，求实数m的取值范围在；“”是“”的

5、充分条件；“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分18. （本小题满分12分）在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图记分数在600分以上的为优秀，其余为合格（1）请完成下列22列联表并判断能否在犯错误的概率不超过 的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关上课转笔上课不转笔合计优秀25合格10合计100（2）现采取分层抽样的方法

6、，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步 调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的 人数为k的概率为，当取最大值时，求k的值附：其中k19. （本小题满分12分）已知函数（1）证明：函数为偶函数；（2）若，求实数m的取值范围20. （本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个极值点，证明21. （本小题满分12分）中国象棋是中国棋文化，也是中华名族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上双方交

7、替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都为（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二 轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率22. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的

8、最小值；（2）讨论方程实根的个数数学参考答案更正：第18题列联表中，“优秀”与“合格”调换位置1. 若随机变量，且，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查正态曲线的性质，正态分布的概率计算，属于基础题.根据正态曲线的对称性即可求解.【解答】解：由题知：，故选：B2. 已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为，且对应的次品率为，则该产品的次品率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查全概率公式的应用，属于基础题.已知三种产品的市场占有率及相应次品率，根据全概率公式计算即可.【解答】解：根据题意，三种产品的市场占有率分别为，且对应的次品率为，则

9、次品率为3. 已知函数若，则A. 1或B. 1或0C. 1或或0D. 或0【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，体现了分类讨论思想及函数思想的应用，属于基础题.由已知结合函数的对应关系对a及与0的比较进行分类讨论可求.【解答】解：因为，当时，所以，当时，当时，或1，均符合当时，解得综上，a的值为1或或4. 已知上的函数满足，且，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，属于基础题设，可得在R上单调递减，则，结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，设，则，又由，则，则在R上单调递减，又由

10、，则，则由可得，即，可得，即不等式的解集为故选5. 已知函数的图像如图所示，则该函数的解析式为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象及指数函数的性质，属于较易题.利用特殊点的函数值排除法求解即可.【解答】解：由图象知，当，且时，当，且时，而A中函数，当时，排除A；由图象知，当时，而选项C中的函数，时，故排除选项D中的函数，当时，排除6. 已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小值为m，则的值为A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，最值，属于中档题.由题意，求得a，b的值，求导

11、，判断单调性，可得最值.【解答】解：，又时，则，解得，则，当时，当或时，故函数在，上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，故函数在上的最大值为，最小值为，则故选7. 已知，则的大小关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小，考查对数函数的性质，属于基础题.由题意得出a、b、c，由对数的性质得出它们的范围，可得大小关系.【解答】解：因为，所以，又，故，故故选8. 根据新型冠状病毒肺炎防控方案的相关规定，密切接触者将实施集中隔离医学观察，某市有4个隔离点，现查出3名密接者需要实施集中隔离医学观察，且每个人选择每一个隔离点的概率相同，设3名密接者选中的隔离点的

12、个数为X，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题根据题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值【解答】解：“密接者选中的隔离点的个数”，则随机变量X的可能取值为1，2，3，计算，所以随机变量X的分布列是：X123数学期望是9. 下列说法正确的是A. 若事件A和事件B相互独立，则B. 若事件A和事件B相互对立，则C. 若事件A和事件B为互斥事件，则事件A和事件B相互独立D. 某人在10次射击中，击中目标的次数，则的方差为【答案】ABD【解析】【分析】本题考查二项分布的方差的计算

13、以及事件的相互关系，属于基础题.由题意结合事件的关系，以及二项分布的方差的公式，逐个选项判断正误即可.【解答】解：选项A，若事件A和事件B相互独立，则，正确；选项B，若事件A和事件B互斥，才有，错误；选项C错误，互斥不一定独立；选项D，某人在10次射击中，击中目标的次数，则，故的方差为故选10. 若，则A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，组合数公式，属于中档题.令，可判断A，中，令，可判断B，构造二项式，求的系数可判断C，令，可判断【解答】解：中，令，可得，故A正确；即为的系数和，令，可得，故B错误；构造二项式，求的系数，左边为，而右边，故，故C

14、正确；令，令，由+可得，从而，故D错误.故选AC11. 已知实数，满足，一定成立的不等式有A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】本题考查基本不等式，对数与指数的转换，属于中档题.通过举例，令来判断A，B，通过构造函数，利用函数极值证明，进而判断C，利用基本不等式证明选项【解答】解：对于选项A，取，则，而，故A错误；对于选项B，取，则，而，故B错误；对于选项C，由得到，构造，可以得到，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最小值，故当时，当且仅当时取等号；对于选项D，当且仅当即时等号成立，故D正确.12. 已知函数是上的偶函数，当时，则A. B. 当时，C. 对不等式恒成立则a

15、的最大值为D. 曲线与曲线在上有1516个公共点【答案】AB【解析】【分析】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性，考查了函数图象的作法与图象的平移变换，考查了导数的几何意义，属于较难题.根据条件，得出函数的周期为4，并作出函数的图象，结合图象逐项分析即得.【解答】解：因为函数是上的偶函数，所以，所以函数周期为4，由得，所以，当时，所以，所以，故对于任意整数k，作出函数的图象如下：对于A，由前面的结论，故A正确；对于B，令，则所以，故B正确；对于C，当时，由图观察，故，故则a的最大值不可能为，故C错误；（D项更正版）对于D，在同一坐标系中作出的图象，在区间上，周期为2，又当时，所以，结合这个结论观

16、察图象，在的一个周期内，与有3个交点，故在区间上，共有个交点，在区间上有2个交点，共计1517个交点，故D错误.13. 以模型去拟合一组数据时，已知如下数据：，则实数k的值为_.【答案】3【解析】【分析】本题考查回归直线方程，属于基础题.由题意取对数可得，由回归直线过和已知数据可得答案.【解答】解：由题意可得，又，回归直线过，所以，故，解得14. 根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒若从喷洒药物开始，教室内空气中的药物浓度毫克/立方米与时间分钟的关系为：根据相关部门规定该药物浓度达到不超过毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少_分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明

17、当空气中该药物浓度超过毫克/立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次消毒_效果填：有或没有【答案】30有【解析】【分析】本题考查分段函数，指数不等式，属于中档题.由指数不等式，求出的解，进而得到结开始消毒多少分钟后，学生可以进教室学习;而由，分段求出x的范围，求和得到消毒总时长，再作出判断.【解答】解：由题意，当时，药物浓度逐步增加，当时，药物浓度逐步减少，由题意，即，从而，解得，故则从开始消毒至少30分钟以后，学生可以进教室正常学习；而当时，由，得到，当时，由，得到，解得，故空气中该药物浓度超过毫克/立方米持续时间为分钟，本次消毒有效果.15. 已知三次函数无极值，且满足，则_.【答

18、案】12【解析】【分析】本题考查基本不等式、利用导数研究函数的极值，属于中档题.求出，根据题意，即，又，两式相加，得，根据，求出，再由且，求出a的值，即可求出结果.【解答】解：因为，所以，因为函数无极值，所以无实数根，所以，即，又，两式相加，得，又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，所以且，所以，所以故答案为16. 已知函数，若，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题.若，则，且，设，根据函数的单调性求解【解答】解：若，则，且，所以，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故最小值，此时，故的最小值是故答案为17. 已

19、知不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合求集合A；若_，求实数m的取值范围在；“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第问中，并给出解答注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分【答案】解：当时，成立，当时，解得，则，故集合；选则有，即在恒成立，令，则，解得，所以m的取值范围为；选“”是“”的充分条件；则有，同理得m的取值范围为；选“”是“”的必要条件，则有，同理得m的取值范围为；【解析】本题考查不等式恒成立问题，考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.由不等式对一切实数x恒成立，列不等式组，再求解即可；选都有，即在恒成立，得不等式组，再求解即

20、可.18. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图记分数在600分以上的为优秀，其余为合格请完成下列22列联表并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关上课转笔上课不转笔合计优秀25合格10合计100现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机

21、抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为，当取最大值时，求k的值附：其中k【答案】解：上课转笔上课不转笔合计优秀254570合格201030合计4555100答：能在在犯错误的概率不超过的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关个人中优秀的人数为，则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格； ， ，则X的分布列为：X2345P答：X的期望为由题意可知， 则， 解得，又， 故 答：当时，取最大值时【解析】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算离散型随机变量的分布列与期望的问题，涉及超几何分布及二项分布，是中档题根据表中的数据，计算观测值，对照数表，

22、得出结论；求出X的取值，计算对应的频率，求出X的分布列与数学期望值由即可解答.19. 已知函数证明：函数为偶函数；若，求实数m的取值范围【答案】证明：，定义域为R，函数为偶函数;解：当时，则在上单调递增.又因为为偶函数，所以在上单调递减.由，则有，故即实数m的取值范围为.【解析】本题考查函数的单调性及奇偶性，同时考查利用函数的性质解不等式，属于中档题.利用偶函数的定义可得函数为偶函数；利用偶函数和单调性将不等式变为不等式，即可求解.20. 已知函数讨论函数的单调性；若有两个极值点，证明【答案】解：当时，当时，则令，则，或，则，综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.有两个

23、极值，是方程的两个不等实根，则要证：即证：不妨设，即证：即证：对任意的恒成立令，则从而在上单调递减故所以【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式成立，考查学生分类讨论思想的运用能力，属于较难题目.求出，对a分类讨论得出函数的单调性即可；化简进而即证：对任意的恒成立，通过求导进而得证.21. 中国象棋是中国棋文化，也是中华名族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上双方交替行棋，先把对方的将帅将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛甲、乙两选手进行象棋比赛，如果

24、每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都为如果甲与乙采用5局3胜制比赛其中一人胜3局即结束比赛，那么甲胜乙的概率是多少；若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去每轮都只比赛一局，先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率【答案】解：记比三局甲获胜的概率为，则， 比四局甲获胜的概率为，则， 比五局甲获胜的概率为，则， 则甲获胜的概率为， 答：甲胜乙的概率为 若第一轮乙胜，则第二轮由乙丙比赛，若第二轮乙胜，则结束比赛，且概率为；若第二轮丙胜，则进入第三

25、轮甲丙比赛，必须甲胜，再进入第四轮由甲乙比赛，并且乙获胜结束比赛，且概率为； 若第一轮甲胜，则第二轮由甲丙比赛，必须丙胜，再进入第三轮由丙乙比赛，必须乙胜，再进入第四轮由甲乙比赛，乙获胜，结束比赛，且概率为， 故乙获得冠军的概率为， 答：乙获得冠军的概率为【解析】本题考查概率的求法，涉及互斥事件的概率加法及独立事件同时发生的概率计算，是中档题依题意，分别求比三局、四局、五局甲获胜的概率，由此能求出甲获胜的概率分第一轮乙胜、第一轮甲胜分别计算出概率即可.22. 已知函数求函数的最小值；讨论方程实根的个数【答案】解：，令，则恒成立，所以为R上的增函数，又，x00+极小值则；令，由可知，若，则，方程没有实数根；若，则，方程有唯一的实数根；若，则，当时，令，令，则；，则，所以，所以，即，当时，所以当时，方程有两个不等实根，若，当时，则，所以当时， ，所以当时，方程有有唯一的实根 ，综上：当时，方程有0个实数根；当或时，方程有1个实数根；当时，方程有2个不等实根【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究闭区间上函数的最值和导数中的零点问题，属于难题.直接求导得出单调性可得最小值；由，令，若，方程没有实数根，若，则，方程有唯一的实数根，若，则，当时，令，令，所以，即，分类讨论研究零点即可.