浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高一下期中数学试卷（含答案解析）

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1、浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高一下期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设集合，则（ ）A 或B. C. D. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）A. B. C. 1D. 3. 在中，角所对的边分别是，则（ ）A. B. C. D. 4. 若函数的图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ）A. B. C. D. 6. 古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（ ）A. B.

2、 C. D. 37. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ）A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

3、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 棱柱的侧面一定是矩形B. 三个平面至多将空间分为个部分C. 圆台可由直角梯形以高所在直线旋转轴旋转一周形成D. 任意五棱锥都可以分成个三棱锥10. 已知函数.（ ）A. 任意B. 任意C 任意D. 存在11. 下列说法正确的是（ ）A. 若平面向量，则B. 若平面向量，则C. 若复数，则D. 若复数，则12. 如图，已知边长为1的正方形是线段上的动点（包括端点），分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是（ ）A. B. 若，则的最小值为C. 若，则最小值为D. 若

4、，则的最大值为非选择题部分三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面向量，若，则_.14. 已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为的等腰直角三角形，则的面积是_.15. 欧拉公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则_.16. 已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值

5、为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写岕文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知复数是方程的解.（1）求的值；（2）若复平面内表示的点在第四象限，且为纯虚数，其中，求的值.18. 现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形.（1）求该几何体体积（单位：）；（2）求该几何体的表面积（单位：）.19. 中，角所对的边分别是.（1）求角；（2）若边的中线，求面积.20. 已知平面向量满足.（1）若，求向量与的夹角；（2）若，求函数的最小值.21. 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段

6、时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.（1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；（2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）求这34分钟内，养生壶保温过程中完

7、成加热次数；（不需要写出理由）求该养生壶保温的临界值.22. 已知函数，其中，.（1）求函数在上的最小值；（2）若函数恰好存在三个零点、，且，求的取值范围.浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高一下期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设集合，则（ ）A. 或B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，.故选：C2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足，所以，所

8、以z的虚部为.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3. 在中，角所对的边分别是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】解：由正弦定理得，故选：A.4. 若函数的图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，求得或，结合图象得到，又由时，得到，求得，即可求解.【详解】由题意，函数，令，即，解得或，可得或，结合图象，可得，解得；又由函数的图象得，当时，当时，因为，可得，所以，即，解得.故选：D.5. 已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ）A.

9、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意得向量在向量上的投影为：；向量在向量上的投影为：，所以，整理化简即可求解.【详解】根据题意得，向量在向量上的投影为：，向量在向量上的投影为：，又因为不共线平面向量在非零向量上的投影向量互为相反向量，所以，即，即，所以.故选：A.6. 古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】如图，连接，作于点，作于点，由正八边形的特征可得，从而可将用表示出来，再结合已知即可得解.【详解】解：如图，连接，作于点，作于点，由正八边形

10、的特征可得，故，所以，则，又因，所以，所以.故选：C.7. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别在和 中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】解：在中，在中，在中，由余弦定理得，即

11、，所以，解得，故选：C8. 已知实数满足，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，依题意可得只需比较与的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为，又，则，所以要比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，当且时，且，即，所以，即，故充分性成立，当时，此时也满足，故必要性不成立；即“”是“”充分不必要条件；故选：A二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列说法正确的是（ ）A

12、. 棱柱的侧面一定是矩形B. 三个平面至多将空间分个部分C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成D. 任意五棱锥都可以分成个三棱锥【答案】CD【解析】【分析】利用斜棱柱的侧面可判断A选项；取三个两两相互垂直的平面可判断B选项；利用圆台的形成可判断C选项；利用五棱锥的结构特征可判断D选项.【详解】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错；对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分个部分，B错；对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对；对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D对.故选：CD.10. 已知函数

13、.（ ）A. 任意B. 任意C. 任意D. 存在【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦型函数的周期性，对称性，单调性对各个选项逐个进行检验即可.【详解】A. 任意可知函数周期为，因为函数的周期为，满足，故正确；B. 任意可知函数的对称轴为当时，即不是函数的对称轴，故错误；C. 任意可知函数在上单调递减，当时，满足函数在上单调递减，故正确；D 当时，满足，故正确.故选：ACD11. 下列说法正确的是（ ）A. 若平面向量，则B. 若平面向量，则C. 若复数，则D. 若复数，则【答案】ABD【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义及基本不等式判断A、B，利用特殊值判断C，根据复数模的性质及基本不等

14、式判断D；【详解】解：对于A：，即当且仅当与同向且时取等号，故A正确；对于B：因为，所以，即，当且仅当与共线且时取等号，故B正确；对于C：若，则，显然不满足，故C错误；对于D：设，所以当且仅当时取等号，故D正确；故选：ABD12. 如图，已知边长为1的正方形是线段上的动点（包括端点），分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是（ ）A. B. 若，则的最小值为C. 若，则的最小值为D. 若，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，设，结合向量的线性运算法则和向量的坐标运算法则，逐项运算，即可求解.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴

15、、轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，可得，其中，则，（1）由，所以正确；（2）由，当时，所以正确；（3）由（2）知时，若则，此时，所以不正确；（4）由（2）知时，则，上式里的“”可以取“”，条件是.而时，有，即，所以，当的条件是的条件是，且时，即，且时，即，所以正确.故选：ABD.非选择题部分三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面向量，若，则_.【答案】0【解析】【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为，所以，又，所以，解得；故答案为：14. 已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为的等腰直角三角形，则的面积

16、是_.【答案】【解析】【分析】作出的直观图，计算出直角的两条直角边的边长，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】直观图如下图所示：设，对应地，在中，则.故答案为：.15. 欧拉公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则_.【答案】【解析】【分析】本题可以根据复数乘法运算，也可以使用复数三角表示处理

17、【详解】解法一：则；解法二：故答案为：16. 已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为_.【答案】3034【解析】【分析】先利用定义判定函数在上的单调递增，得到当时，；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到时，进而得到的取值范围是，然后利用不等式恒成立的意义得到，从而求得的取值范围，得到的最小值.【详解】设，则，又，同理，即，在1，+)上单调递增，又，当时，；又时，时，且当趋近于时，无限趋近于，的取值范围是，为使不等式恒成立，必须且只需，正整数的最小值为3034，故答案为：3034.【点睛】本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有关不等关系，进而证明函数的单调性和

18、求得函数的值域.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写岕文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知复数是方程的解.（1）求的值；（2）若复平面内表示的点在第四象限，且为纯虚数，其中，求的值.【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）由求根公式求得，进而求得；（2）由（1）得到，求得，根据为纯虚数，得到，即可求解.【小问1详解】解：由题意，复数是方程的解，由求根公式，可得，则.【小问2详解】解：由（1）且表示的点在第四象限，所以.又由，因为为纯虚数，则，解得.18. 现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为（单位：）的正三角形.（1）求该几何体

19、的体积（单位：）；（2）求该几何体的表面积（单位：）.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出球体的半径，圆锥的底面半径、母线长以及高，利用球体与锥体的体积公式可求得该几何体的体积；（2）利用球体的表面积以及圆锥的侧面公式可求得该几何体的表面积.【小问1详解】解：球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高，所以，该几何体的体积为.【小问2详解】解：该几何体的表面积为.19. 中，角所对的边分别是.（1）求角；（2）若边的中线，求面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）用正弦定理进行边化角得，再用三角恒等变换处理；（2）利用向量，两边平方展开即可得出结果【小问1详解】由题意与正弦

20、定理可得，由，可得.代入整理得：.故，可得.【小问2详解】，则可得：，故或. （舍去）则面积.20. 已知平面向量满足.（1）若，求向量与的夹角；（2）若，求函数的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接根据数量积的概念以及运算律即可得结果；（2）将向量的模长表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可得最值.【小问1详解】设向量与的夹角为，由题意，可得，则，由于，故.【小问2详解】由题意，则，即，其中.即函数的最小值为.21. 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使

21、用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.（1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；（2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）求该养生壶保温的临界值.【答案】（1）；

22、 （2）1次；.【解析】【分析】（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围.（2）由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数；由（i）分析结果可知时水温正好被加热到，计算从降至、从加热至的时间，列方程求值.【小问1详解】当时，设，则，可得，所以.当时，则，可得，综上，.【小问2详解】1次，理由如下：由题意，从降至，则，可得分钟，所以降至，所需时间分钟，由于小王出门34分钟，从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟；从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟；故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟，综上，只加热过一次.由（i

23、）知：从降温至，所需时间为分钟.所以在时，水温正好被加热到.从降至，则，可得，从加热至，则，可得，所以在上递减，且，即.22. 已知函数，其中，.（1）求函数在上的最小值；（2）若函数恰好存在三个零点、，且，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，分析出函数的单调性，分、两种情况讨论，可得出函数在上的最小值；（2）分、两种情况讨论，利用韦达定理和求根公式可得出的表达式，并求得的取值范围，根据可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为，所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，当时，即当时，；当时，即当时，.综上所述，函数在上的最小值为.【小问2详解

24、】解：，不妨设，因为，当时，即当时，由可得，即为方程的一根，由可得，即为方程的一根，由可得，即为方程的一根，由图象可知、是方程的两根，是方程的较大根，则由韦达定理与求根公式可知，则，可得，令，而，则，因函数在上单调递减，当时，则；由可得，可得，且当时，即当时，由可得，由图象可知、是方程的两相异根，是方程的较大根，由韦达定理以及求根公式可得，所以，可得，令，而，则.由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，且当时，则在上单调递增，当时，.综上所述，又满足，故，即.【点睛】关键点点睛：本题考查利用利用方程根相关的等式求参数的取值范围，解题的关键在于确定的根与二次方程的关系，利用韦达定理结合求根公式将等式与参数、联系起来，利用已知的不等式关系求出范围，即可得解.