湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试卷（含答案）

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1、2023届湖北十一校高三第二次联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.已知集合和，则（ ）A.B.C.D.2.复数在复平面内所对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量，则（ ）A.B.69C.D.434.已知，且，那么的最小值为（ ）A.B.2C.D.45.在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（ ）A.B.C.D.6.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7.已知，则（ ）A.B.C.D.8.甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角

2、之和为，侧面积分别为、，体积分别为、，若，则等于（ ）A.B.C.D.9.设，分别为随机事件，的对立事件，已知，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.若，是相互独立事件，则D.若，是互斥事件，则10.设函数，则下列说法正确的是（ ）A.没有零点B.当时，的图象位于轴下方C.存在单调递增区间D.有且仅有两个极值点11.已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）A.椭圆的焦距为2B.过作圆切线的斜率为C.若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为D.的最小值为12.已知函数.以下说法正确的是（ ）A.若在处取得极值

3、，则函数在上单调递增B.若恒成立，则C.若仅有两个零点，则D.若仅有1个零点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若，则_.14.在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是_.15.已知定义在上的函数，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数_.16.已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点、分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则_；若的中点为，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列，若_.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.从下

4、列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.， ，点，在斜率是2的直线上18.（12分）已知在中，其角、所对边分别为、，且满足.（1）若，求的外接圆半径；（2）若，且，求的内切圆半径19.（12分）如图，已知四棱锥中，平面，平面平面（1）证明：；（2）若，且，为的重心.求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：1234567856.53122.7517.815.9514.51312.5根据以上数据绘制了散点图.观察散点图，两个变量间的关系考

5、虑用反比例函数模型和指数函数模型分别进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；（2）若与的相关系数，用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）根据企业长期研究表明，非原料成本服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，若非原料成本在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上面表格中非原料成本数据，哪些需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0

6、613.9参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，21.（12分）已知点为抛物线上的点，为抛物线上的两个动点，为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线的焦点.（1）若，求证：直线恒过定点；（2）若直线过点，在轴下方，点在，之间，且，求的面积和的面积之比.22.（12分）已知，函数有2个零点，记为，. （1）证明：；（2）对于，若存在，使得，试比较与的大小.参考答案一：选择题123456789101112DDCCCDBBACBCABDAB二：填空题13.14.15.516.，1三：解答题17.解：若选，则（1）由，所以，1分两式相减可得：，3分而在中令可得：，符合上

7、式，故. 5分（2）由（1）知：，7分所以. 10分若选则（1）由可得：数列为等差数列，又因为，所以，即，所以. 5分（2）同上.若选，则（1）由点，在斜率是2的直线上得：，即，所以数列为等差数列且. 5分（2）同上.18.解：（1）因为，所以，所以，1分因为，所以，所以，2分因为，所以，所以，4分因为，所以，所以外接圆半径.所以6分（2）因为，有由题可知，所以，7分又因为，可得，9分因为.由的面积，得。12分19.（1）.过作于，平面平面平面，又平面2分又平面，平面4分平面，又平面5分（2）.以为坐标原点，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，又设，由得，7分又，故，8分设平面的法向

8、量为则令，10分设与平面所成的角为.则. 12分20.解：（1）令，则可转化为因为，所以所以，所以，所以关于的回归方程为；4分（2）因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把代入回归方程得（元），所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元；7分（3）因为，所以，因为样本标准差为，9分所以，所以非原料成本服从正态分布，所以，因56.5在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因.12分21.（1）：设直线的方程为，将代入抛物线方程得1分联立2分或5分若，直线的方程为，恒过定点，不合题意舍；若，直线的方程为，恒过定点. 6分（2）解析：方法1：设直线的方程为，8分不妨设直线的倾斜角为，则，共线10分. 12分方法2：设直线的方程为，8分由于直线过点，在轴下方，9分代入得，10分，共线12分其它方法：利用面积相等建立等量关系求；利用余弦定理建立等量关系求；22.解析：（1）因为有2个零点，所以方程有2个根. 1分令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.因此在处取得最大值2分所以，即有，且有3分又，结合函数单调性可得，所以5分（2）由得.而，所以. 7分设，则. 8分令，则9分所以在上单调递增，因此.故10分又，即，所以，从而，又因为在上递增，所以，得证12分