2023年天津市中考数学冲刺专题训练9：图形的变化（含答案解析）

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1、2023年天津市中考数学冲刺专题练9图形的变化一选择题（共14小题）1（2023武清区校级模拟）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）ABCD2（2023河东区校级模拟）2sin45的值为（）A2B1C32D223（2023河西区模拟）cos60的值等于（）A33B22C12D324（2023河西区模拟）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形ABCD，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（）A1cmB2cmC(2-22)cmD(22-1)cm5（

2、2023红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）ABCD6（2023红桥区模拟）如图，在RtABC中，ABC90，BD为斜边AC的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（）AsinA=ADABBcosA=BCACCtanA=ABBCDtanA=BDAD7（2023红桥区模拟）如图，在ABC中，DEBC，AB3AD，若S四边形BCED16，则SABC的大小等于（）A16B18C20D248（2023河东区校级模拟）在ABC中，C90，设A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（）AacsinABbccosBCc=bsinADabtanB9（202

3、3河东区校级模拟）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G若DC5，CM2，则EF（）A3B4C29D3410（2023河东区校级模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BEDG；BEDG；DE2+BG22a2+2b2；当DCE60时，SDCE=3SBCE其中正确的结论是（）ABCD11（2023和平区一模）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（）A50tana米B50tana米C50sina米D50sina米12（202

4、3和平区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则ABE与CDE的周长比为（）A1：4B4：1C1：2D2：113（2023滨海新区模拟）在ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则SADE：SABC（）A1：1B1：2C1：3D1：414（2023滨海新区模拟）如图，在ABC中，ABAC，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F下列结论：AFEDFC；DA平分BDE；CDFBAD，其中所有正确结论的序号是（）ABCD二填空题（共2小题）15（2023河东区校级模拟）如图，已

5、知l1l2l3，两条直线分别与l1、l2、l3交于点A、B、C，D、E、F，若AB6，BC10，DF24，则DE的长为 16（2023河东区校级模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，ABC120，将ADC沿射线AC的方向平移得到ADC，分别连接AB，DB，则AB+DB的最小值为 三解答题（共11小题）17（2023河西区模拟）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上从地面P处测得塔顶C的仰角为42，测得塔底B的仰角为35已知通讯塔BC的高度为29m，求这座山AB的高度（结果取整数）参考数据：tan350.70，tan420.9018（2023河东区校级模拟）为做好

6、疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知DAG60，DAC30（1）ACG 度，ADG 度（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：31.73）19（2023和平区一模）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了

7、不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向测量方案与数据如表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向测量数据BC54.8m，ABH74，ACH37BD20m，ABH74，BCD37BC84.8m，ABH74，ACH37（）第 小组的数据无法计算出河宽；（）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）参考数据：sin740.96，cos740.28，tan743.49，sin370.60，cos370.80，ta

8、n370.7520（2023红桥区模拟）如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，求sinA，cosA，tanA的值21（2023红桥区模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（23，0），点B（0，2）以点O为中心，逆时针旋转OAB，得OAB，点A，B的对应点分别为点A，B、记旋转角为（1）如图，当45时，求点A，B的坐标；（2）如图，当AB经过点B时，求AB与OA的交点C的坐标22（2023红桥区模拟）如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45，看这栋楼底部C处的俯角为37，已知两楼之间的水平距离CD为30m，求这栋楼BC的高度（结果保留小数点后一位）参考数据

9、：sin370.60，cos370.80，tan370.7523（2023红桥区模拟）如图，在ABC中，D为边AB上一点，ACDB，若AC6，BC5，CD4，求AD，AB的长24（2023武清区校级模拟）小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为45，走7m到C处测得B的仰角为55，已知O、A、C在同一条直线上求教学楼OB的高度（参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43，结果精确到0.1m）25（2023武清区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中有RtABO，BAO90，ABO30，B（8，0）将三角形ABO绕着点O顺

10、时针方向旋转，旋转后点A与A1，点B与B1相重合（1）当旋转角为60时，求点B1的坐标；（2）当点B1落在BA的延长线上时，求点B1的坐标（3）若点E为AB的中点，求EB1的最大值和最小值（直接写出结果即可）26（2023西青区校级模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B（3，m）（m0），AOB30以点O为中心，逆时针旋转OAB，得到OCD，点A，B的对应点分别为C，D记旋转角为（）如图，当点C落在OB上时，求点D的坐标；（）如图，当45时，求点C的坐标；（）在（）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）27（2023河东区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知AO

11、B是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，OAB的平分线交x轴于点P，把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD，连接DP求：DP的长及点D的坐标参考答案解析一选择题（共14小题）1（2023武清区校级模拟）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）ABCD【解答】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右正方体个数分别是1，2，1，故选：B2（2023河东区校级模拟）2sin45的值为（）A2B1C32D22【解答】解：2sin45222=2故选：A3（2023河西区模拟）cos60的值等于（）A33B22C12D32【解答】解：cos

12、60=12，故选：C4（2023河西区模拟）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形ABCD，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（）A1cmB2cmC(2-22)cmD(22-1)cm【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABAD2cm，A90，BD=2AB22（cm），由平移变换的性质可知BB1cm，DBBDBB=(22-1）cm，小正方形的边长=22DB=22（22-1）（2-22）cm，故选：C5（2023红桥区模拟）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的

13、三视图是（）ABCD【解答】解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，故选：A6（2023红桥区模拟）如图，在RtABC中，ABC90，BD为斜边AC的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（）AsinA=ADABBcosA=BCACCtanA=ABBCDtanA=BDAD【解答】解：A根据正弦值的定义，在RtADB中，sinA=BDAB，那么A错误，故A不符合题意B根据余弦值的定义，在RtABC中，cosA=ABAC，那么B错误，故B不符合题意C根据正切值的定义，在RtABC中，tanA=BC

14、AB，那么C错误，故C不符合题意D根据正切值的定义，在RtABD中，tanA=BDAD，那么D正确，故D符合题意故选：D7（2023红桥区模拟）如图，在ABC中，DEBC，AB3AD，若S四边形BCED16，则SABC的大小等于（）A16B18C20D24【解答】解：DEBC，ADEABC，AB3AD，AD：AB1：3，SADE：SABC1：9，设SADEx，S四边形BCED16，x16+x=19，解得：x2，SABC18，故选：B8（2023河东区校级模拟）在ABC中，C90，设A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（）AacsinABbccosBCc=bsinADa

15、btanB【解答】解：由题意可得：sinA=ac，cosB=ac，tanB=ba，acsinA，c=asinA，accosB，batanB，故A选项成立，B，C，D不成立，故选：A9（2023河东区校级模拟）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G若DC5，CM2，则EF（）A3B4C29D34【解答】解：由折叠的性质得EFAM，过点F作FHAD于H，交AM于O，则ADMFHE90，HAO+AOH90、HAO+AMD90，POFAOHAMD，又EFAM，POF+OFP90、HFE+FEH90，POFFEH，FEHAMD，四边形

16、ABCD是正方形，ADCDFH5，在ADM和FHE中，ADM=FHEAMD=FEHAD=FH，ADMFHE（AAS），EFAM=AD2+DM2=52+32=34故选：D10（2023河东区校级模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BEDG；BEDG；DE2+BG22a2+2b2；当DCE60时，SDCE=3SBCE其中正确的结论是（）ABCD【解答】解：设BE，DG交于点O，四边形ABCD和EFGC都为正方形，BCCD，CECG，BCDECG90，BCD+DCEECG+DCE90，BCEDCG，在BCE和DCG中，BC=DCBCE=

17、DCGCE=CG，BCEDCG（SAS），BEDG，12，1+43+190，2+390，BOG90，BEDG，故正确；连接BD，EG，如图所示，DO2+BO2BD2BC2+CD22a2，EO2+OG2EG2CG2+CE22b2，BG2+DE2DO2+BO2+EO2+OG22a2+2b2，故正确；如图所示，延长BC至点M，EMBC于点M，过点E作ENCD于N，SDCE=12CDNE，SBCE=12BCME，当DCE60时，ECM90DCE906030，sinDCE=NECE=32，sinECM=MECE=12，NE=32CE，ME=12CE，SDCE=12CD32CE=14BCCE，四边形ABC

18、D是正方形，BCCD，SDCE=34BCCE=3SBCE，故正确，正确的结论是，故选：D11（2023和平区一模）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a，则楼房BC的高为（）A50tana米B50tana米C50sina米D50sina米【解答】解：在直角ABC中，sin=BCAB，cos=ACAB，BCAC=tan，BCACtan50tan故选：A12（2023和平区一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则ABE与CDE的周长比为（）A1：4B4：1C1：2D2：1【解答】解：如图所示，由

19、网格图可知：BF2，AF4，CH2，DH1，AB=AF2+BF2=25，CD=CH2+DH2=5FACG，FACACG在RtABF中，tanBAF=BFAF=24=12，在RtCDH中，tanHCD=HDCH=12，tanBAFtanHCD，BAFHCD，BACBAF+CAF，ACDDCH+GCA，BACDCA，ABCD，ABECDE，ABE与CDE的周长比=ABCD=255=2：1故选：D13（2023滨海新区模拟）在ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则SADE：SABC（）A1：1B1：2C1：3D1：4【解答】解：在ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，DE为ABC的

20、中位线，DEBC，DE=12BC，ADEABC，SADE：SABC=(12)2=14故选：D14（2023滨海新区模拟）如图，在ABC中，ABAC，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F下列结论：AFEDFC；DA平分BDE；CDFBAD，其中所有正确结论的序号是（）ABCD【解答】解：将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，BACDAE，BADE，ABAD，EC，BADB，ADEADB，DA平分BDE，符合题意；AFEDFC，EC，AFEDFC，符合题意；BACDAE，BACDACDAEDAC，BADFAE，AFEDFC，FAECDF，BADCDF，符合

21、题意；故选：D二填空题（共2小题）15（2023河东区校级模拟）如图，已知l1l2l3，两条直线分别与l1、l2、l3交于点A、B、C，D、E、F，若AB6，BC10，DF24，则DE的长为 9【解答】解：l1l2l3，由平行线截线段成比例可得：ABBC=DEEF，设DEx，则EF24x，AB6，BC10，610=x24-x，解得：x9，故答案为：916（2023河东区校级模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，ABC120，将ADC沿射线AC的方向平移得到ADC，分别连接AB，DB，则AB+DB的最小值为 43【解答】解：在边长为4的菱形ABCD中，ABC120， ABCD4，BACDAC3

22、0，将ADC沿射线AC的方向平移得到ADC，ADAD4，ADAD，四边形ABCD是菱形，ADCB，ADCB，ADC120，ADCB，ADCB，四边形ABCD是平行四边形，ABDC，AB+BD的最小值BD+CD的最小值，点D在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D，则BE的长度即为BD+BA的最小值，在RtCHD中，DDCACD30，AD4，CHEH=12AD2，CE4，CECB，ECBECA+ACB90+30120，EBCE30，BE232CD43故答案为：43三解答题（共11小题）17（2023河西区模拟）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A

23、，B，C在同一条直线上从地面P处测得塔顶C的仰角为42，测得塔底B的仰角为35已知通讯塔BC的高度为29m，求这座山AB的高度（结果取整数）参考数据：tan350.70，tan420.90【解答】解：设APx米，在RtAPB中，APB35，ABAPtan350.7x（米），BC29米，ACAB+BC（29+0.7x）米，在RtAPC中，APC42，tan42=ACAP=0.7x+29x0.9，x145，经检验：x145是原方程的根，AB0.7x102（米），这座山AB的高度约为102米18（2023河东区校级模拟）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通

24、过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知DAG60，DAC30（1）ACG60度，ADG30度（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：31.73）【解答】解：（1）依题意，DGAG，DAG60，DAC30CAGDAGDAC30，ACG90CAG60；ADG90DAG30，故答案为：60；30；（

25、2）AB3.5，DF1.5，AGABBG3.51.52，在RtADG中，ADG30，GD=AGtanADG=233=23（米），BFGD，图中BF的长度为23米；（3）DAC30，ADG30，ACCD3，AG=ACcosCAG=332=323（米），BAAG+GB=332+1.54.1（米），设备的最低安装高度BA是4.1米19（2023和平区一模）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向测量方案与数据如表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点

26、A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向测量数据BC54.8m，ABH74，ACH37BD20m，ABH74，BCD37BC84.8m，ABH74，ACH37（）第 二小组的数据无法计算出河宽；（）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）参考数据：sin740.96，cos740.28，tan743.49，sin370.60，cos370.80，tan370.75【解答】解：（）第二小组的数据无法计算河宽，理由如下：第二小组给出的数据为BD的长，BCD和ABH无法建立联系，无法得到ABH的任何一边长度，第二小组的数据无法计算河宽，故答案为

27、：二；（）第一小组的解法：ABH是BCH的外角，BHCABHACH743737，BHCACH，BCBH54.8m，AHBHsin7454.80.9653（m）；第三小组的解法：设AHxm，则CA=AHtan37，AB=AHtan74，CA+ABCB，x0.75+x3.49=84.8，解得x53，故河宽约为53米20（2023红桥区模拟）如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，求sinA，cosA，tanA的值【解答】解：C90，AC3，BC4，AB=BC2+AC2=32+42 5，sinA=BCAB=45，cosA=ACAB=35，tanA=BCAC=4321（2023红桥区模拟）在平面

28、直角坐标系中，点O（0，0），点A（23，0），点B（0，2）以点O为中心，逆时针旋转OAB，得OAB，点A，B的对应点分别为点A，B、记旋转角为（1）如图，当45时，求点A，B的坐标；（2）如图，当AB经过点B时，求AB与OA的交点C的坐标【解答】解：（1）过A作AMx轴于M，过B作BNy轴于N，如图：45，AOMBON45，AOM，BON是等腰直角三角形，OMAM=OA2，ONBN=OB2，A（23，0），B（0，2），OAOA23，OBOB2，OMAM=6，ONBN=2，A（6，6），B（-2，2）；（2）过C作CHy轴于H，如图，OA23，OB2，tanABO=OAOB=3，ABO60

29、，以点O为中心，逆时针旋转OAB，得OAB，OBOB2，BABO60，BBO是等边三角形，BOB60，BOCAOBBOB906030，BCO180ABOBOC90，在RtBOC中，OCOBcosBOC232=3，在RtCOH中，HCOCsinHOC=312=32，OHOCcosHOC=332=32，C（32，32）22（2023红桥区模拟）如图，小琪站在自家阳台的A处，看对面一栋楼顶部B处的仰角为45，看这栋楼底部C处的俯角为37，已知两楼之间的水平距离CD为30m，求这栋楼BC的高度（结果保留小数点后一位）参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75【解答】解：过点A

30、作AEBC于点E，由题意得，AECD30m，BAE45，CAE37，在RtABE中，tan45=BEAE=BE30=1，解得BE30，在RtACE中，tan37=CEAE=CE300.75，解得CE22.5，BCBE+CE52.5（m）这栋楼BC的高度约为52.5m23（2023红桥区模拟）如图，在ABC中，D为边AB上一点，ACDB，若AC6，BC5，CD4，求AD，AB的长【解答】解：ACDB，AA，ACDABC，ADAC=ACAB=CDBC，AC6，BC5，CD4，AD=ACCDBC=645=245，AB=AC2AD=62245=152，AD的长是245，AB的长是15224（2023武

31、清区校级模拟）小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为45，走7m到C处测得B的仰角为55，已知O、A、C在同一条直线上求教学楼OB的高度（参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43，结果精确到0.1m）【解答】解：在RtAOB中，A45，则OAOB，AC7米，OC（OB7）米，在RtCOB中，BCO55，tanBCO=OBOC，OBOB-7=1.43，解得：OB23.3，答：教学楼OB的高度约为23.3米25（2023武清区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中有RtABO，BAO90，ABO30，B（8，0）将三角形

32、ABO绕着点O顺时针方向旋转，旋转后点A与A1，点B与B1相重合（1）当旋转角为60时，求点B1的坐标；（2）当点B1落在BA的延长线上时，求点B1的坐标（3）若点E为AB的中点，求EB1的最大值和最小值（直接写出结果即可）【解答】解：（1）过点B1作B1Cx轴，旋转角为60，OB1OB8，在RtOB1C中，OC4，B1C=OB12-OC2=43，B1(-4，43)；（2）点B1落在BA的延长线上，且OB1OB8，BAO90AOB1AOB90ABO60，BOB1120，又B1OA160，A1落在x轴上，在RtOB1A1中，OA1=12OB1=4，A1B1=43，B1(4，43)；（3）过点A作

33、ANx轴，BAO90，ABO30，B（8，0），OB1OB8，OA=12OB=4，AOB60，ANO30，ON=12OA=2，AN=42-22=23，A(-2，23)，点E为AB的中点，E(-5，3)，OE=(-5)2+(3)2=27，当O、B、E三点不共线时，OB1+OEEB1，即8+27EB1，OB1OEEB1，即8-27EB1，当点E在OE延长线上时，EB1取到最小值8-27，如图所示；当点E在EO延长线上时，EB1取到最大值8+27，如图所示；综上所述，EB1的最大值为8+27，最小值为8-2726（2023西青区校级模拟）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B（3，

34、m）（m0），AOB30以点O为中心，逆时针旋转OAB，得到OCD，点A，B的对应点分别为C，D记旋转角为（）如图，当点C落在OB上时，求点D的坐标；（）如图，当45时，求点C的坐标；（）在（）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）【解答】解：（）如图，过点D作DHOA于点HA（3，0），OA=3，OAB90，AOB30，OB=OAcos30=332=2，由旋转的性质可知，ODOB2，CODAOB30，DOH60，ODH30，OH=12OD1，DH=3OH=3，D（1，3）；（）如图，过点C作CTOA于点T，OCOA=3，COT45，OTCTOCcos45=322=62，C（62，62）；

35、（）如图中，过点D作DJOA于点J，在DJ上取一点K，使得DKOK，设OJmDOC30，COT45，DOJ75，ODJ907515，KDKO，KDOKOD15，OKJKDO+KOD30，OKDK2m，KJ=3m，OD2OJ2+DJ2，22m2+（2m+3m）2，解得m=6-22（负根已经舍弃），OJ=6-22，DJ=6+22，D（6-22，6+22）27（2023河东区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，OAB的平分线交x轴于点P，把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD，连接DP求：DP的长及点D的坐标【解答】解：AOB是等边三角形，OAB60，AOP绕着点A按逆时针方向旋转边AO与AB重合，旋转角OABPAD60，ADAP，APD是等边三角形，DPAP，PAD60，A的坐标是（0，3），OAB的平分线交x轴于点P，OAP30，AP=(3)2+32=23，DPAP23，OAP30，PAD60，OAD30+6090，点D的坐标为（23，3）