2023年中考数学压轴题训练：二次函数与特殊的四边形（含答案）

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1、 2023年中考数学压轴题训练：二次函数与特殊的四边形1已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点.(1)求抛物线解析式；(2)如图，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值(3)如图，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，连接，点P为下方抛物线上一动点，于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移，使新抛物线恰好经过原点，点E为点D

2、的对应点，点F在l上，点G在新抛物线上，直接写出所有使得以点P，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形的点G的坐标，把求其中一个点G的坐标的过程写出来3如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交AB于点E，过点P作AB的垂线，垂足为点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q为点P的对应点，点N为原抛物线对称轴上一点在平移后抛物线上确定一点M，使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出

3、求解点M的坐标的其中一种情况的过程4综合与探究如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m连接(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由5在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值；(3)如图2，若点

4、是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由6如图，已知抛物线的图像经过点，与轴交于两点，顶点坐标，连接交对称轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)若点是抛物线上的一个动点，位于直线的上方（点与不重合），过作轴的平行线交于点；设点的横坐标为，当四边形是平行四边形时，求的值；在的条件下，抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由7已知抛物线对称轴是直线，顶点为，若自变量的函数值的部分对应值如表所示(1)求与之间的函数关系式；(2)若经过点作垂直于轴的直线，为直线上的动

5、点，线段的垂直平分线交直线于点，点关于直线的对称点为，记作.用含和的代数式表示；当取任意实数时，若对于同一个，有恒成立，求的取值范围.8如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，交x轴于D，求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q

6、的坐标的其中一种情况的过程9二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，点在二次函数第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，四边形都是菱形，（n为正整数）(1)求点的坐标；(2)请直接写出下列点的坐标； ， ， ；(3)若抛物线L经过三点，且的面积为，求抛物线L的解析式10如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点(1)求点，的坐标；(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角

7、形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由11已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，(1)求抛物线的解析式；(2)若点横坐标为，且是抛物线上的点，求四边形面积；(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由12如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，(1)求抛物线的解析式(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标(3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若

8、不存在，请说明理由13如图，已知抛物线与轴的交点为点、(点在点的右侧)，与轴的交点为点(1)直接写出、三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，并求出点的坐标；(3)设点关于抛物线对称轴的对称点为点，在抛物线上是否存在点，使得以、四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由14如图1，抛物线经过，两点，与轴交于另一点(1)求抛物线和直线的解析式；(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形面积最大的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴（为抛物线顶点）与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于

9、点，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由15如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接和(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由16如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；(3)Q是x轴上一动点，M是第二象限内

10、抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标17如图，抛物线经过、三点(1)求a，b，c的值；(2)在抛物线对称轴上找出一点P，使的值最小，并求出此时的面积；(3)若点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由18如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)若点是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点，使得以、为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标参考答案1(1)抛物线解

11、析式为(2)的长的最大值为(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，再把代入，计算即可得出答案；（2）过点作轴交于点，交于点，根据题意，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据对顶角相等，得出，进而得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后设点，则，再根据两点之间的距离公式，得出，再根据，得出，再根据二次函数的性质，即可得出答案；（3）根据题意，设，然后分两种情况：当、在直线的上方时和当、在直线的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点的坐标【解析】（1）解：抛物

12、线与轴交于点、，设抛物线解析式为，又抛物线与轴交于点，把代入，可得：，解得：，抛物线解析式为；（2）解：过点作轴交于点，交于点，轴，是等腰直角三角形，设直线的解析式为，可得：，解得：，直线的解析式为，设点，则，当时，的长的最大值为；（3）解：存在以点、为顶点，且以为边的矩形，理由如下：设，如图1，当、在直线的上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，即，解得：，；如图2，当、在直线的下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，同理可得：，即，解得：（舍去）或，综上所述：点的坐标为或【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等腰直角三

13、角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线2(1)(2)最大值为，(3)或或【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可求出抛物线的表达式；（2）设点，将表示出来，再将其表达式化为顶点式，即可求解；（3）先求出平移后的抛物线的表达式，得出点E的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分的性质进行分类讨论【解析】（1）解：把，代入得：，解得，该抛物线的函数表达式为：（2）当时，该抛物线的对称轴为直线，设点，当时，有最大值，最大值为，当时，综上：最大值为，（3），原抛物线向左平移3个单位长度后经过原点，原抛

14、物线表达式为：，则直线l为，新抛物线的表达式为：，根据题意可得点F的横坐标为1，当为平行四边形的边时： 则，解得：点G的横坐标为，把代入得：，或，则，解得：，把代入得：，当为平行四边形的对角线时：则解得：，把代入得：，综上：或或【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与平行四边形的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解函数表达式的方法，二次函数的图象及其性质，平行四边形的性质，中点坐标公式3(1)(2)，(3)，；过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线的解析式为：，设，可得，当时，最大为3，再证，可得，进而可知，可知当最大为3时，的周长最大为，得此时的坐标为

15、；（3）先求出平移后的抛物线解析式为，设，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可【解析】（1）解：分别把点，代入得：解得：所以抛物线的解析式为；（2），直线的解析式为：，设：，当时，最大为3，轴，所以当最大为3时，的周长最大为，此时；（3），将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，则平移后的解析式为，设，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，可得，则，即：；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，可得，则，即：；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，可得，则，即：；综上，符合条件的点M的坐标

16、为：，【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键4(1)(2)(3)，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先求出直线的表达式，然后设出点D和点E的坐标，根据列方程求解即可；（3）然后根据题意分4种情况讨论，分别根据菱形的性质求解即可【解析】（1）经过点，两点，则，解得，（2）设直线BC解析式为，将点、的坐标代入，并解得：，直线BC的表达式为：，设直线l与x轴交于点M设点，则点，过点C作，垂足为H，则四边形是矩形，解得：（舍去），故，点D的坐标为；（3）存在设点，如图所

17、示，当四边形是菱形时，四边形是菱形，；如图所示，当四边形是菱形时，四边形是菱形，；如图所示，当四边形是菱形时，四边形是菱形，；如图所示，当四边形是菱形时，四边形是菱形，设，则，在中，即，解得，；综上所述，点N的坐标为，【点评】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的存在性问题，对于菱形存在性问题，注意分类讨论5(1)(2)(3)存在，点的坐标为：或或【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，利用勾股定理可得，即有，当取最大值时，三角形面积为最大值证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，

18、设，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可【解析】（1）（1）点在抛物线的图象上，即抛物线解析式为：，当时，有，点的坐标为；（2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图：，当取最大值时，三角形面积为最大值，是等腰直角三角形，轴，是等腰直角三角形，当最大时，最大，设直线解析式为，将、代入，得：，直线解析式为，设，则，当时，最大为，此时最大为， 面积的最大值：，即面积最大值为：；（3）存在，抛物线的对称轴为直线，设点N的坐标为，点M的坐标为分三种情况：当为平行四边形的对角线时，如图，、

19、，即，解得，.，点M的坐标为当为平行四边形的对角线时，如图，方法同可得，点M的坐标为；当AC为平行四边形的对角线时，如图，、，线段的中点H的坐标为，即H，解得，点M的坐标为，综上，点的坐标为：或或【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键6(1)；(2)；点，点，点【分析】（1）由顶点坐标，设顶点式为，利用待定系数法代值求解即可得到答案；（2）当时，则，得到点，根据待定系数法确定函数关系式得到解析式为，由，设点，则点，得，根据四边形是平行四边形，得到，利用两点之间距

20、离公式列方程求解即可得到答案；分两种情况：当点、点在直线的同侧时，如图所示，由四边形是平行四边形，得，当点与点重合时，求得点；当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，如图所示，设直线的解析式为，将代入得到直线的解析式为，点，从而有，由，得到与的距离与与的距离相等，从而，根据直线的解析式为，联立方程组得，解得或，即可得到答案【解析】（1）解：顶点坐标，设二次函数解析式，把代入，解得，抛物线解析式为；（2）解：当时，则，点，点，设直线的解析式为，把，代入直线得，解得，解析式为，点，点，设点，则点，四边形是平行四边形，解得（不合题意舍去），；当点、点在直线的同侧

21、时，如图所示：四边形是平行四边形，当点与点重合时，点；当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，如图所示：，设直线的解析式为，将代入得到，解得，直线的解析式为，点，与的距离与与的距离相等，点，直线的解析式为，联立方程组得，解得或，综上所述，满足题意的点，点，点【点评】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数与平行四边形综合、二次函数与三角形面积综合等，熟练掌握二次函数图像与性质、二次函数综合问题的求解方法步骤是解决问题的关键7(1)(2)，可以使恒成立的的取值范围是【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入得到，即可求解；（2）由题意得，记

22、直线与直线交于点，当点与点不重合时，四边形为菱形，过点作于点，则点，在中，勾股定理得根据题意，借助函数图象：当抛物线开口方向向上时，即时，抛物线的顶点，抛物线的顶点，则当抛物线开口方向向下时，即时，只要抛物线开口方向向下，且顶点在轴下方，若，即也符合题意【解析】（1）解：由题意抛物线与轴交于点，设抛物线的解析式为，把代入得到，抛物线的解析式为，即（2），直线为，顶点由题意得，如图，记直线与直线交于点，当点与点不重合时，由已知得，与互相垂直平分，四边形为菱形，又点，点，过点作于点，则点，在中，即，整理得，即当点与点重合时，点与点重合，点坐标也满足上式，与之间的函数关系式为 ；根据题意，借助函数图

23、象：当抛物线开口方向向上时，即时，抛物线的顶点，抛物线的顶点，不合题意，当抛物线开口方向向下时，即时，若，要使恒成立，只要抛物线开口方向向下，且顶点在轴下方，只要，解得，符合题意；若，即也符合题意综上，可以使恒成立的的取值范围是【点评】本题考查了二次函数综合运用，掌握二次函数的性质是解题的关键8(1)(2)的最大值为8，点P的坐标为(3)或或【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式为，设，则，求出，继而得到，利用二次函数的性质求解即可；（3）先求出平移后的抛物线解析式为，再求出；设点N的坐标为，点Q的坐标为，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况利用

24、平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可【解析】（1）解：把，代入到中得：，抛物线解析式为；（2）解：设直线的解析式为，直线的解析式为，设，则， ，当时，的值最大，最大为8，此时点P的坐标为 ；（3）解：抛物线解析式为，平移后的抛物线解析式为，令，则，；设点N的坐标为，点Q的坐标为，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，；综上所述，点Q的坐标为或或【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式等等

25、，利用分类讨论的思想求解是解题的关键9(1)(2)，；(3)【分析】（1）过点作轴于点D，根据题意得：，从而得到，设，则，可得点的坐标为，再代入函数解析式，即可求解；（2）先求出点的坐标为，过点作轴于点E，则，可得，设，则，可得到点的坐标为，再代入函数解析式，可得点的坐标为，同理点的坐标为， ，由此发现规律，即可求解；（3）由（2）得：点，可得到，连接，设交y轴于点G，则轴，可得，再由的面积为，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解【解析】（1）解：如图，过点作轴于点D，根据题意得：，设，则，点的坐标为，把代入得：，解得：（舍去），点的坐标为；（2）解：由（1）

26、得：， 根据题意得：，点的坐标为，过点作轴于点E，则，设，则，点的坐标为把点代入得：，解得：（舍去），点的坐标为，即，同理，点的坐标为，即，由此发现，点的坐标为， 即，点的坐标为；故答案为：，；（3）解：由（2）得：点，如图，连接，设交y轴于点G，则轴，即，的面积为，解得：（舍去），点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据菱形的对称性得：点的坐标为，设抛物线L的解析式为，把点，代入，得：，解得：，抛物线L的解析式为【点评】本题考查了二次函数综合题解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，解答此题的难点是根据题意得到规律10(1)，(2)当

27、时，四边形是平行四边形(3)存在，点的坐标为，【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；（2）如图所示：根据平行四边形的性质得到，设点的坐标为，则，列方程即可得到结论；（3）设点的坐标为，分两种情况：当时，根据勾股定理列方程求得，（不合题意，舍去），当时，根据勾股定理列方程求得：，于是得到结论【解析】（1），令，得：，解得：，令得，（2）当时，四边形是平行四边形，点与点关于轴对称，点，直线为， 由题可得，则，解得，（舍去），因此当时，四边形是平行四边形（3）当时，有，即解得：，（舍去），有；当时，有，即解得：，有，；综上所述：点的坐标为，【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：

28、坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度11(1)(2)(3)存在【分析】（1）根据，求出点坐标，把点，的坐标代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）过点作轴分别交线段于点根据题意得出的坐标，把分解为，分别进行计算即可求解；（3）过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为，从而可求得其横坐标【解析】（1）解：的坐标为，点在轴下方，将，代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为（2）解：如图1所示：过点D作，交AC于点E，设

29、的解析式为将、代入得：，解得：，直线的解析式为的横坐标为，则的面积，四边形的面积的为（3）解：存在如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形，令，平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形，的纵坐标均为令得： ，解得； ， 综上所述，存在个点符合题意，坐标分别是：【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）要注意进行分类讨论12(1)(2)(3)或或【分析】（1）根据，利用勾股定理求出，可

30、得和，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平行线交于点H，求出直线的表达式，设点，利用三角形面积公式，即可求出的面积最大时点P的坐标；（3）分类讨论，一是当为平行四边形对角线时，二是当为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标【解析】（1）解：，即，解得：，把代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：如图，连接，过点P作y轴的平行线交于点H，设直线的表达式为，把代入得：，解得：，直线的表达式为，设点，则点，的面积有最大值，最大值为 ，此时把代入得，点P的坐标为；（3）解：，抛物线的对称轴为直线，若为平行四边形的对角线，如图，此时，此时P、

31、Q关于直线对称，点P的坐标为；如图，此时P、Q关于直线对称，点P的坐标为，；如图，此时点Q的纵坐标等于点P的纵坐标的相反数，点Q的纵坐标为，把代入中，得：，解得：或（舍），点Q的坐标为；如图，此时点Q的纵坐标等于点P的纵坐标的相反数，点Q的纵坐标为，把代入中，得：，解得：（舍）或，点Q的坐标为；综上：点Q的坐标为或或【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键13(1)，(2)连接交对称轴于点，点即为所求，(3)或【分析】（1）令，解方程可得到点和点坐标；令，求出，可确定点坐标；（2）连接交对称轴于点，根据对称性可

32、得，则为的最小值，求出直线的解析式，令，即可求解；（3）分为梯形的底边和为梯形的底和为梯形的底三种情况讨论，求出另一底边的解析式即可【解析】（1）解：在中令，解得，在中令，得，；（2）解：如图，连接交对称轴于点，则点即为所求，连接，的最小值即为的长，抛物线的对称轴为，设直线的解析式为，则，解得：,直线的解析式为，抛物线的对称轴为，（3）存在，分两种情况： 如图，当为梯形的底时，点与重合时，四边形是梯形，此时点为,如图，当为梯形的底时，过点作，与抛物线交于点，点，关于抛物线对称，设直线的解析式为，则，解得直线的解析式为，可设直线的解析式为点在直线上，直线的解析式为联立，解得，,；当为梯形的底时，

33、过点作，与抛物线交于点，设直线的解析式为，则，解得直线的解析式为，可设直线的解析式为点在直线上，直线的解析式为联立，解得(舍去)，(舍去)综上所述，在抛物线上存在点，使得以、四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为或 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，轴对称的性质求最短距离，特殊四边形问题，分类讨论是解题的关键14(1)抛物线的解析式：；直线的解析式为；(2)当时，四边形面积最大；(3)能，点N的坐标为或或【分析】（1）由于抛物线经过，两点，根据待定系数法可求抛物线和直线的解析式；（2）根据三角形面积公式和二次函数的最值即可求解；（3）根据抛物线的顶点坐标得到，可得，根据两点间的距离公式可

34、得，如图3，过点M作，交抛物线于点N，设，则；则；当与平行且相等时，四边形是平行四边形，则，解方程可求点N的坐标【解析】（1）解：依题意，有：，解得故抛物线的解析式：；解方程得，设直线的解析式为，直线的解析式为；（2）解：、，的面积最大时，四边形面积最大，如图2，过点P作轴，交直线于Q，设，则；则；，当时，的面积最大，所以，当时，四边形面积最大；（3）解：存在抛物线的顶点坐标，当时，则，则， 如图3，过点M作，交抛物线于点N，设，则，则；当与平行且相等时，四边形是平行四边形，则，由，解得；当时，与重合，不合题意，舍去；当时，则；由，解得，则或综上所述，存在平行四边形，点N的坐标为或或【点评】本

35、题考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，待定系数法求直线解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，平行四边形的性质等知识点，以及方程思想，分类思想的应用，综合性较强，难度较大15(1)(2)，(3)存在，点的坐标为，或或或【分析】（1）根据线段，的长度，判断出，的坐标，代入抛物线解析式，求出，的值，解析式即可求出；（2）求出对称轴为，当点，在同一直线上时，的周长最小，列出关系式求解，即可求出点坐标；（3）分两种情况，若为菱形的边长或若为菱形的对角线来讨论，根据平行关系，求出坐标值【解析】（1）解：，抛物线过点，抛物线的解析式为

36、；（2）如图所示，当时，解得，抛物线的对称轴为直线，点在直线上，点，关于直线对称，当点，在同一直线上时，的周长最小，设直线的解析式为，解得，直线，；（3）存在点，使以点，为顶点的四边形是菱形，若为菱形的边长，如图所示，则，且，；若为菱形的对角线，如图所示，则，设，解得，综上所述，存在，点的坐标为，或或或【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识16(1)(2)，(3)或【分析】（1）将，两点坐标代入，得出关于，的二元一次方程组（

37、2）要使的面积最大，则的边上的高最大（3）以、为顶点的四边形为平行四边形，则与其对边（或长度相等轴，说明抛物线的对称轴是线段的垂直平分线【解析】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，解得，二次函数的解析式为；（2）令，则，点设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时，的面积最大，此时设过点的直线为，联立，消掉得，整理得，解得，此时，点，时，的面积最大；（3）假设存在点，使以、为顶点的四边形为平行四边形在第二象限，则轴，如图：有符合要求的两个点、，此时轴，、关于对称轴对称，综上所述，满足条件的点的坐标为或【点评】本题属于二次函数综合

38、题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组，把问题转化为二次方程，利用判别式解决问题，属于中考压轴题17(1)，(2)点P见解析，(3)存在，或或【分析】（1）将代入，求出a的值，确定函数的解析式后，再将B点和C点代入解析式即可求b、c的值；（2）根据抛物线的对称轴可知当B、C、P三点共线时，有最小值，直线与对称轴的交点即为P点，求出P点坐标再求的面积即可；（3）设，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可【解析】（

39、1）解：（1）将代入，解得，将代入，解得：（舍）或，将代入，；（2），抛物线的对称轴为直线，A点与B点关于对称轴对称，当B、C、P三点共线时，有最小值，设的直线解析式为，设的直线解析式为，直线与y轴交于（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：设，当为平行四边形的对角线时，（舍），；当为平行四边形的对角线时，或；当为平行四边形的对角线时，（舍），；综上所述：N点坐标为或或【点评】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，用轴对称求最短距离的方法，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键18(1)(2)直线，(3)点的坐标为或或【分析】（1）用待定

40、系数法即可求解；（2）抛物线的对称轴为，当时，即可求解；（3）当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当是平行四边形的对角线时，同理可解【解析】（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）抛物线的对称轴为，当时，即顶点坐标为（3）设点，而点、的坐标分别为、，当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，当时，即点；当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，当时，即点；当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，当时，即点；综上，点的坐标为或或【点评】本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用分类讨论的思想解决数学问题