2023年重庆市中考数学冲刺专题训练6：四边形（含答案解析）

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1、2023年重庆市中考数学冲刺专题练6四边形一选择题（共22小题）1（2023沙坪坝区校级模拟）如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有AFAB，若BAF的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，CF2，则AD的长为（）A33B6C25D52（2023大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，点P是DF的中点，连接AP，EP若APAD，BEBF，则BEP的度数为（）A60B65C75D803（2023大渡口区模拟）矩形ABCD中，AB3，AC5，则BD的长为（）A5B4C3D24（2022大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，A

2、CB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点若BM=22，则线段AB的长为（）A22+4B42+2C42+6D425（2022铜梁区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC10cm，BD24cm，则ABC的周长为（）A52cmB50cmC36cmD30cm6（2022渝北区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，ABC40，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AEFE，BEC56，则DEF的度数为（）A16B15C14D137（2022万州区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接CE、BF交于点G，连接DG则t

3、anFDG的值为（）A1B23C34D438（2022沙坪坝区校级二模）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EFAD交CD于F，连接BE，若BE7，DF6，则AC的长为（）A92B62+22C62+26D62+269（2022北碚区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是OAD与ODC的角平分线，AE与OD交于点G，与DF交于点E，连接OE，若OE=2，则AG的长为（）A7B22C3D510（2022沙坪坝区校级模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ADC120，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，若四边形BEDF是矩形，则D

4、OE的度数是（）A60B45C30D1511（2022开州区模拟）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EFAB于点F，连接DE，若BC6，BF2，则DE（）A25B42C32D3512（2022九龙坡区模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，已知BC4，AB3，则OB的长为（）A3B103C72D5213（2022沙坪坝区校级模拟）如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE1，CD4，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BFDE，连接AF，EF，过点A作AGFE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为（）A2B322C22D52214（2022重庆模拟）如图所

5、示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EFBC于点F，若CF3，EF4，则AE的长是（）A3B4C5D715（2022重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一点，且PBC为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：PAD为等腰三角形；PBC的面积为32；AP22-3；PBD的面积为3-14其中正确的是（）ABCD16（2022九龙坡区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当BCFGBA时，线段CF的长度是（）A45B35C1655D125517（2022渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角

6、线AC，BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若OA4，OH2，则菱形ABCD的面积为（）A8B16C24D3218（2022铜梁区模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点ODF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF若CD=3，则AF的长为（）A3B7C6D519（2022沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BFCE4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（）A52B13C5D21320（2022大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点

7、E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE4，OF6则点D到CF的距离为（）A534B835C455D85521（2022重庆模拟）如图，点E、F分别在菱形ABCD的BC、DC边上，添加以下条件不能证明ABEADF的是（）ACECFBBAFDAECAEAFDAECAFC22（2022南岸区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（）A125B65C35D3二填空题（共1小题）23（2022沙坪坝区校级二模）如图，在

8、菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABC60，AB2，分别以点B、点D为圆心，OA长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）三解答题（共5小题）24（2023大渡口区模拟）在ABC中，ABBC，将ABC绕点A旋转，得到AED（1）如图，当BACCAE时，四边形ABCE是什么四边形？并说明理由；（2）将ADE绕点A由图的位置开始顺时针旋转，AC的延长线交直线DE于点FADE旋转至如图，用等式表示AFD与BAD的数量关系，并证明你的结论；ADE旋转至如图，在的结论下，BC的延长线交DE于点H，E为DF的中点，且AC2，ABCF=104，直接写出DH的长 25（2

9、023黔江区一模）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F连接AF，CE，EF平分AEC（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若DAC60，AC2，求四边形AFCE的面积26（2022九龙坡区校级模拟）已知四边形ABCD为平行四边形（I）尺规作图：作线段CD的垂直平分线，垂足为点E，交AD于点F，交BA的延长线于点G，连接CF在线段AB上取一点H，使FHFC，连接HF；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问的条件下，若GFHD，求证：GFCE证明：EF垂直平分CDFEC90，（ ）FCDDGFHD， 四边形ABCD为平行四边形， HGF+

10、FEC180HGFFEC90在FGH和CEF中，HGF=FECGFH=FCD() FGHCEF（AAS）GFCE27（2022两江新区模拟）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE（1）尺规作图：在正方形内部作ADF，使ADFBAE，边DF交线段AE于点T，交AB边于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）要探究AE，DF的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整解：ABDE，AEDF，理由如下四边形ABCD是正方形， ，DAFB90，在DAF和ABE中DAF=BDA=AB() DAFABE， BAE+DAT90，BAEADF， ATD90，AEDFAEDF，AEDF28（2022铜梁

11、区模拟）菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AEBC于点E，交OB于点H，若ABAC6，求OH的长；（2）如图2，过菱形ABCD的顶点A作AFAD，且AFAD线段AF交OB于点H交BC于点E当D，C，F三点在同一直线上时求证：OH+OA=22BH；（3）如图3，菱形ABCD中，ABC45点P为直线AD上的动点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转60得到线段BQ，连接AQ，当线段AQ的长度最小时，直接写出BAQ的度数参考答案解析一选择题（共22小题）1（2023沙坪坝区校级模拟）如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有AFAB，若BAF的角平

12、分线交BC于点E，若E为BC中点，CF2，则AD的长为（）A33B6C25D5【解答】解：设AD的长为2x，连接EF，过点E作EHFC于点H，过点F作FGAE于点G如图所示，四边形ABCD是正方形ABBCAD2x，E为BC的中点，BEECx，AE平分BAF，BAEFAE，AFAB2x，AEAE，BAEFAE（SAS），EFEBx，AFEB90，AEBAEF，EFEC，ECFEFC，ECF+EFC+CEF180，AEB+AEF+CEF180，ECFAEB，FCAE，EHFC，FGAE，EHFG（平行线间的距离处处相等），在RtAEF中，AE=AF2+EF2=(2x)2+x2=5x，SAEF=12

13、AFEF=12AEFG，FG=AFEFAE=25x5，EH=25x5，在RtEHC中，HC=12FC1，ECx，EC2HC2+EH2，x212+（25x5）2，解得：x=5（舍去负值），AD2x25故选：C2（2023大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，点P是DF的中点，连接AP，EP若APAD，BEBF，则BEP的度数为（）A60B65C75D80【解答】解：如图，过点A作AHDF于H，连接DE、CP、BP、EF，四边形ABCD是正方形，BADABCBCDADC90，ABBCCDAD，ADBC，ADFDFC，点P是DF的中点，CPDPPF，DFCBCP，BC

14、PADF，BCPADP（SAS），APBP，APAD，APABBP，ABP是等边三角形，BAP60，DAP906030，ADAP，AHDP，DAHPAH15，ADH+DAH90，ADH+FDC90，DAHFDC15，BEBF，ABBEBCBF，即AECF，DEADFC（SAS），DEDF，ADECDF15，EDF90151560，DEF是等边三角形，DEF60，点P是DF的中点，FEP=12DEF30，BEBF，EBF90，BEF是等腰直角三角形，BEF45，BEPBEF+FEP45+3075故选：C3（2023大渡口区模拟）矩形ABCD中，AB3，AC5，则BD的长为（）A5B4C3D2【解

15、答】解：因为矩形ABCD中，BDAC5，所以BD的长为5故选：A4（2022大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点若BM=22，则线段AB的长为（）A22+4B42+2C42+6D42【解答】解：过点M作MFAC于点F，如图所示MC平分ACB，四边形ABCD为正方形，CAB45，FMBM22在RtAFM中，AFM90，FAM45，FM22，AM=2FM222=4ABAM+MB4+22故选：A5（2022铜梁区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC10cm，BD24cm，则ABC的周长为（）A5

16、2cmB50cmC36cmD30cm【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC10cm，BD24cm，OA=12AC5cm，OB=12BD12cm，ACBD，AB=OA2+OB2=13（cm）ABC的周长2AB+AC26+1036（cm），故选：C6（2022渝北区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，ABC40，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AEFE，BEC56，则DEF的度数为（）A16B15C14D13【解答】证明：四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，ABECBE=12ABC20，ABCB，BEBE，ABECBE（SAS），AEEC，BEABEC56，A

17、DBC，BAD+ABC180，BAD140，ABE中，ABE20，AEB56，BAE1802056104，EAF14010436，AEEF，EAFAFE36，AEF1803636108，DEF1805610816故选：A7（2022万州区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接CE、BF交于点G，连接DG则tanFDG的值为（）A1B23C34D43【解答】解：如图，过点D作DHCE于H，过点G作MNAD于M，交BC于N，四边形ABCD是正方形，ABBCADCD，AABCBCD90，点E、F分别为边AB、AD的中点，BE=12AB，AF=12AD，BEAF，F

18、ABEBC（SAS），ABFBCE，BCE+CEBABF+CEB90，BGE90，tanABFtanBCE，EGBG=BEBC，即EGBG=12，设EGa，BG2a，BE=5a，BC25a，CE=BE2+BC2=(5a)2+(25a)2=5a，CG5aa4a，NGBE，NGBE=CGCE，即NG5a=4a5a，NG=455a，MGMNNG25a-455a=655a，CGBCHD90，BCGCDH，BCCD，CBGDCH（AAS），CHBG2a，GH4a2a2a，CHGH，DHCG，DGCD25a，由勾股定理得：DM=DG2-MG2=(25a)2-(655a)2=855a，tanFDG=MGDM

19、=655a855a=34故选：C8（2022沙坪坝区校级二模）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EFAD交CD于F，连接BE，若BE7，DF6，则AC的长为（）A92B62+22C62+26D62+26【解答】解：过点E作EHBC于点H，四边形ABCD是正方形，BCD90，ACBACD45，ABBCCDAD，EFBC，EFC180BCD90，EHC90，四边形EFCH是矩形，EHC90，ECH45，EHCH，四边形EFCH是正方形，EHCHCF，BCCHDCCF，BHDF，BE7，DF6，CFEH=BE2-BH2=72-62=13，CDDF+CF6+13，AC=2CD62+26，故选：

20、D9（2022北碚区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是OAD与ODC的角平分线，AE与OD交于点G，与DF交于点E，连接OE，若OE=2，则AG的长为（）A7B22C3D5【解答】解：四边形ABCD为正方形，对角线AC与BD相交于点O，OADODCOCD45，AE，DF分别是OAD与ODC的角平分线，DAECDFODF22.5，DAG+GDE+CDE45+22.5+22.590，AED90，AE平分DAF，而AEAE，AEDAEF（ASA），DEDF，E为DF的中点，DF2OE22，在ADG和DCF中，ADG=FCDAD=CDDAG=FDC，ADG

21、DCF（ASA），AGDF，AG22故选：B10（2022沙坪坝区校级模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ADC120，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，若四边形BEDF是矩形，则DOE的度数是（）A60B45C30D15【解答】解：四边形ABCD是菱形，ADC120，ADBABDCDBCBD60，ADBC，ABD，BCD均为等边三角形，四边形BEDF是矩形，DFADBC，BEADBC，FDEBED90，DF平分BDC，BDF30，DBF60，ODEOED60，EOD为等边三角形，DOE60， 故选：A11（2022开州区模拟）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC

22、上一点，作EFAB于点F，连接DE，若BC6，BF2，则DE（）A25B42C32D35【解答】解：连接BE，四边形ABCD是正方形，ABBC6，EAF45，EFAB，EFAFABBF624，BE=BF2+EF2=25，正方形ABCD关于AC对称，DEBE25，故选：A12（2022九龙坡区模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，已知BC4，AB3，则OB的长为（）A3B103C72D52【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABC90，ACBD，OBOD，OAOC，BC4，AB3，AC=AB2+BC2=32+42=5，OB=12BD=12AC2.5，故选：D13（2022沙坪坝区校级

23、模拟）如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，DE1，CD4，连接AE，F为边CB延长线上一点，且BFDE，连接AF，EF，过点A作AGFE交EF于点G，连接GB，则线段GB的长度为（）A2B322C22D522【解答】解：如图，连接CG，过点G作GHCF于H，四边形ABCD是正方形，ABAD，DABCABF90，DE1，ADCD4，AE=42+12=17，在ADE和ABF中，AD=ABD=ABFDE=BF，ADEABF（SAS），AEAF，AGEF，EGFG，GHCE，FHCH=52，GH=12CE=32，BH4-52=32，BG=(32)2+(32)2=322故选：B14（2022重庆

24、模拟）如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EFBC于点F，若CF3，EF4，则AE的长是（）A3B4C5D7【解答】解：过E作EKAB于K，如图：四边形ABCD是正方形，ABDCBD45，ABC90，ABBC，EKAB，EFBC，BFEF4EKBK，AKABBKBCBFCF3，在RtAKE中，AE=AK2+EK2=32+42=5，故选：C15（2022重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一点，且PBC为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：PAD为等腰三角形；PBC的面积为32；AP22-3；PBD的面积为3-14其中正确的是（）ABCD【解答】解：过P作P

25、NBC于N，过A作AMBP于M，如图：四边形ABCD是正方形，ABCD1，ABC90BCD，PBC为等边三角形，PBPCBC1，PBC60PCB，ABP30DCP，ABPDCP（SAS），APDP，即PAD为等腰三角形，故正确；在RtBPN中，BN=12PB=12，PN=3BN=32，PBC的面积为12BCPN=12132=34，故错误；在RtABM中，AM=12AB=12，BM=3AM=32，PMPBBM1-32，在RtAPM中，AP2AM2+PM2（12）2+（1-32）22-3，故正确；SABP=12PBAM=12112=14，SCDP=14，SPBC=12BCPN=12132=34，S

26、四边形PBCD=14+34，SBCD=12BCCD=12，SPBDS四边形PBCDSBCD=3-14，即PBD的面积为3-14，故正确；正确的有：，故选：C16（2022九龙坡区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当BCFGBA时，线段CF的长度是（）A45B35C1655D1255【解答】解：在矩形ABCD中，AB4，BC6，点E为BC的中点，ABCBAG90，BE=12BC3，BCAD，AE=AB2+BE2=42+32=5，CBFBGA，BCFGBA，BFCBAG90，EF=12BC3，AF2，BEAG，BE

27、FGAF，BEAG=EFAF，3AG=32，AG2，BG=AB2+AG2=42+22=25，BFCBAG90，BCFGBA，BCFGBA，BCBG=CFAB，625=CF4，CF=1255，故选：D17（2022渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若OA4，OH2，则菱形ABCD的面积为（）A8B16C24D32【解答】解：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，DHAB，BHD90，BD2OH，OH2，BD4，OA4，AC8，菱形ABCD的面积=12ACBD=1284=16故选：B18（2022铜梁区模拟）如图，在矩形

28、ABCD中，对角线AC，BD相交于点ODF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF若CD=3，则AF的长为（）A3B7C6D5【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABCD=3，AOCOBODO，DF垂直平分OC，ODOC，ODDCOC，ODC是等边三角形，ODDCOC=3，AC23，BC=AC2-AB2=(23)2-(3)2=3，ODC是等边三角形，DEAC，CDEODE30，DC=3CF=3，CF1，BF2，AF=AB2+BF2=22+(3)2=7，故选：B19（2022沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BFCE4，连接AE、DF，AE与D

29、F相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（）A52B13C5D213【解答】解：四边形ABCD为正方形，ADEC90，ADDCBC，BFCE，CFDE，在ADE和DCF中，AD=DCADE=CDE=CF，ADEDCF（SAS），DAECDF，DAE+DEA90，CDF+DEA90，AGFDGE90，点H为AF的中点，GH=12AF，AB6，BF4，AF=AB2+BF2=213，GH=13，故选：B20（2022大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE4，OF

30、6则点D到CF的距离为（）A534B835C455D855【解答】解：在正方形ABCD中，BODO，BCDC，点F是DE的中点，OF6，BE2OF12，CE4，DCBC8，在RtDCE中，DE=DC2+CE2=45，CF=12DE=25，CDE的面积=12CEDC=124816，F是RtDCE斜边DE的中点，DCF面积8，设点D到CF的距离为x，则12xCF8，12x25=8，解得x=855，点D到CF的距离为855故选：D21（2022重庆模拟）如图，点E、F分别在菱形ABCD的BC、DC边上，添加以下条件不能证明ABEADF的是（）ACECFBBAFDAECAEAFDAECAFC【解答】解

31、：四边形ABCD是菱形，ABADBCDC，BD，A、CECF，BCCEDCCF，即BEDF，在ABE和ADF中，AB=ADB=DBE=DF，ABEADF（SAS），故选项A不符合题意；B、BAFDAE，BAFEAFDAEEAF，即BAEDAF，在ABE和ADF中，B=DAB=ADBAE=DAF，ABEADF（ASA），故选项B不符合题意；D、AECAFC，AEBAFD，在ABE和ADF中，AEB=AFDB=DAB=AD，ABEADF（AAS），故选项D不符合题意；C、由ABAD，AEAF，BD，不能判定ABE和ADF一定全等，故选项C符合题意；故选：C22（2022南岸区校级模拟）如图，在矩形

32、ABCD中，AB3，AD4，对角线AC、BD相交于点O，点P是AD上一动点（不与A、D重合），过点P作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE+PF的值是（）A125B65C35D3【解答】解：如图所示，连接OP，过点A作AGBD于G，AB3，AD4，由勾股定理可得BD=32+42=5，SABD=12ABAD=12BDAG，即1234=125AG，解得：AG=125，在矩形ABCD中，OAOD，SAOD=12OAPE+12ODPF=12ODAG，PE+PFAG=125故PE+PF=125故选：A二填空题（共1小题）23（2022沙坪坝区校级二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点

33、O，ABC60，AB2，分别以点B、点D为圆心，OA长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 23-3（结果保留）【解答】解：四边形ABCD是菱形，BABCAC与BD互相垂直平分，ABC60，AB2，ABC是等边三角形，ACAB2，OA1，OB=AB2-OA2=22-12=3，BD23，阴影部分的面积是：12ACBD-60123602=12223-3 23-3，故答案为：23-3，三解答题（共5小题）24（2023大渡口区模拟）在ABC中，ABBC，将ABC绕点A旋转，得到AED（1）如图，当BACCAE时，四边形ABCE是什么四边形？并说明理由；（2）将ADE绕点A由图的位置

34、开始顺时针旋转，AC的延长线交直线DE于点FADE旋转至如图，用等式表示AFD与BAD的数量关系，并证明你的结论；ADE旋转至如图，在的结论下，BC的延长线交DE于点H，E为DF的中点，且AC2，ABCF=104，直接写出DH的长 4105【解答】解：（1）如图中，四边形ABCE是菱形理由：ABBC，BACBCA，BACCAE，CAEBCA，AECB，AEBC，四边形ABCE是平行四边形，ABBC，四边形ABCE是菱形；（2）如图中，结论：AFD+BAD180理由：由旋转变换的性质可知ADEACBDEADBACBCA，AFD+D+FAD180，AFD+BAC+FAD180，AFD+BAD180

35、；连接AH，CD，过点A作AJDE于点J，AKBH于点K，设AE交BH于点OAEDE，DEEF，AEDEEF，FAD90，EAEF，FEAF，F+BAD180，EAF+BAD180，EAF+EAD+BAE180，FAD+BAE180，EABFAD90，ABOOEH，AOBEOH，BAOOHE90，FHCFAD，FF，FHCFAD，FCFD=CHAD，ACAD2，CAD90，CD22，ABCF=104，ABDEEF，210=CH2，CH=2105，DH=CD2-CH2=(22)2-(2105)2=4105故答案为：410525（2023黔江区一模）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E

36、是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F连接AF，CE，EF平分AEC（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若DAC60，AC2，求四边形AFCE的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形ADBC，AOCO，AEFCFE，在AOE和COF中，AEF=CFEAOE=COFAO=CO，AOECOF（AAS），OFOE，AOCO，四边形AFCE是平行四边形；EF平分AEC，AEFCEF，CFECEF，CECF，四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，ACEF，AOCO=12AC1，AOE90，DAC60，AEO30，OE=3AO=3，EF2OE23，四边形AF

37、CE的面积=12ACEF=12223=2326（2022九龙坡区校级模拟）已知四边形ABCD为平行四边形（I）尺规作图：作线段CD的垂直平分线，垂足为点E，交AD于点F，交BA的延长线于点G，连接CF在线段AB上取一点H，使FHFC，连接HF；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问的条件下，若GFHD，求证：GFCE证明：EF垂直平分CDFEC90，（ 垂直的定义）FCDDGFHD，FCDGFH四边形ABCD为平行四边形，ABCDHGF+FEC180HGFFEC90在FGH和CEF中，HGF=FECGFH=FCD() FGHCEF（AAS）GFCE【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：EF垂直平分CD，FEC90（垂直的定义），FCDDGFHD，FCDGFH四边形ABCD为平行四边形，ABCDHGF+FEC180HGFFEC90在FGH和CEF中，HGF=FECGFH=FCDFH=CF，FGHCEF（AAS）GFCE故答案为：垂直的定义，FCDGFH，ABCD，