2023届北京市顺义区高三二模数学试卷（含答案）

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1、 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题ADBCC BDBAA 二、填空题二、填空题（11）5 （12）8 （13）8，312 （14）2()1f xx（答案不唯一）（15）（答对一个得 2 分，答对两个得 3 分，全部答对得 5 分，有错误不给分）三、解答题三、解答题（16）(本小题 13 分)解：（）因为3sinsin2AB，在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，2 分 可得：32ab,3 分 又因为6a，所以4b.5 分（）选择条件 按公式酌情给分，最高 4 分；选择条件 设BC边上的中线为AD，则17AD，3CD，6 分 在ACD中，由余弦定理得：

2、22222243171cos22 4 33ACCDADCAC CD，9 分 因为1cos3C，0,C，所以22 2sin1 cos3CC，11 分 所以ABC的面积为112 2sin6 48 2223SabC .13 分 选择条件 方法 1：由题设，因为sin22sincosAAA，所以sin2sincosBAA,6 分 因为3sinsin2AB，所以sin3sincosBBA 因为0B，所以sin0B，7 分 所以1cos3A,8 分 由余弦定理2222cosabcbcA可得：9 分 2 学科网（北京）股份有限公司 2136162 43cc ,整理得238600cc，解得1063c 或-（舍

3、），10 分 因为1cos3A，0,A，所以22 2sin1 cos3AA，11 分 所以ABC的面积为112 2sin4 68 2223SbcA .13 分 方法 2：由题设，因为sin22sincosAAA，所以sin2sincosBAA,6 分 因为3sinsin2AB，所以sin3sincosBBA 在ABC中，因为ba，所以BA，即0,2B，所以sin0B，7 分 所以1cos3A,8 分 因为1cos3A，0,A，所以22 2sin1 cos3AA，所以222 24 2sinsin3339BA，9 分 所以27cos1 sin9BB，10 分 因为ABC，所以2 2714 22 2

4、sinsinsincoscossin39393CABABAB，11 分 所以ABC的面积为112 2sin6 48 2223SabC .13 分 方法 3：因为sinsin2BA且0,B,20,2A 所以2BA或2BA，7 分 因为ba，所以2BA，8 分 又因为=ABC，所以=A C即=6ac，9 分 所以ABC为等腰三角形，设AC边上的高为BD，则=2AD，由勾股定理22=4 2BDABAD，11 分 所以ABC的面积为11=4 4 2=8 222SbBD .13 分 3 学科网（北京）股份有限公司（17）(本小题 13 分)（）证明：方法1：因为平面/ABCD平面1111DCBA，ACA

5、BCDACE平面平面，EFDCBAACE1111平面平面，所以ACEF/.-3 分 连接11CA.因为11/CCAA,11CCAA,所以四边形CCAA11是平行四边形.所以ACCA/11,11/CAEF.-5 分 因为E是11DA的中点,所以点F为11DC的中点.-6 分 方法 2：连接11CA.因为11/CCAA,11CCAA,所以四边形CCAA11是平行四边形.所以11/CAAC,-1 分 因为AC平面1111DCBA，所以/AC平面1111DCBA，-3 分 因为ACACE平面，EFDCBAACE1111平面平面，所以EFAC/.-5 分 所以11/CAEF.因为E是11DA的中点,所以

6、点F为11DC的中点.-6 分 ()解：方法 1：因为1,DDDCDA两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系xyzD.则)0,0,0(D,)0,0,2(A,)2,0,1(E,)0,4,0(C,)2,0,0(1D.则)0,4,2(AC,)2,0,1(AE.设平面ACE的法向量为),(zyxm，则00AEACmm,即02042zxyx-8 分 令2x，则1,1zy，所以)1,1,2(m.-10 分 4 学科网（北京）股份有限公司 设0,2 tG，则2,21tGD,由01 ACGD得044t，1t，0,1,2G 0,1,0AG-11 分 点G到平面ACE的距离6661mmAGd.-13 分 方法 2：

7、连接DG.因为ABCDDD平面1,所以ACDD 1.因为ACGD1,DDGDD1,所以DGDAC1平面,所以DGAC.在平面ABCD内，由1tantanDACADG,可求出1AG.-8 分 由勾股定理求出21,520CEAEAC，,在ACE中由余弦定理得512cos222AEACCEAEACCAE,则562)51(1sin2CAE，62sin21CAEAEACSACE.-10 分 121BCAGSACG.设点G到平面ACE的距离为d，由ACGEACEGVV得21316231d，-12 分 解得66d-13 分（18）(本小题 14 分)解：（）记“从以上所有排片场次中随机选取 1 场，该场的上

8、座率大于 70%”为 事件M.-1 分 影片 A,B,C,D 的上座率大于 70%的场数共有 5+4+3+3=15，-2 分 5 学科网（北京）股份有限公司 所以8340159910123345)(MP.-4 分（）记“从影片 A,B,C 的以上排片场次中各随机抽取 1 场，每场的上座率大于 70%”分别为事件CBA,.其中125)(AP,52104)(BP,3193)(CP;-7 分 这 3 场中至少有 2 场上座率大于 70%的概率为)(ABCBCACBACABP 3152125)521(12531)1251(3152)311(52125.-11 分 18059-12 分（）2221ss.

9、-14 分 19.(本小题 15 分)解：（）()2sin,fxxx-2 分(0)1,(0)0ff-3 分 在点(0,(0)f处的切线方程 y=1；-4 分（）()2sin,fxxx()2sin,g xxx令 则()2 cos,g xx-5 分 2,2 x ()0g x-6 分()g x在 2,2 上单调递增-7 分(0)0,g 2,0),g()()0,(0,2,g()()0,xxfxxxfx ()2,0)(0,2,f x在上单调递减，在上单调递增-9 分 20()122()4+1.xf xxf x 当时，取最小值，当或时，取最大值-10 分（）要证明对任意的st，有()()33g sg ts

10、t，只需证明对任意的st，有()3()3g ssg tt ()()3sinG xg xxxx 记，-12 分()1 cos0G xx.().G x 上在上(-,+)单调递减-13 分.st 6 学科网（北京）股份有限公司()(),()3()3G sG tg ssg tt即.()()33g sg tst.-15 分 20.(本小题 15 分)解：（）由题意可知：2,2 2ba-2 分 所以椭圆 C 的方程为22184xy.-4 分（）直线l的方程为1ykx-5 分 设11,M x y，22,N xy，直线l与椭圆方程22184xy联立可得：221841xyykx-6 分 消去y可得：222146

11、0kxkx，则121222460,2121kxxx xkk.-8 分 直线 MA 的方程为：1122yyxx，令yt可得11112221Ptxtxxykx,-9 分 直线 NB 的方程为：2222yyxx，令yt可得22222223Qtxtxxykx.-10 分|,DPDQ|PQxx-11 分 PQxx法一：易知 与异号+=0PQxx 121222+=013txtxkxkx 1221122(3)21=01(3)tx kxtx kxkxkx（）（）12212(3)21tx kxtx kx（）=0 1211222(3)2tkx xxtkx xx（）=0 112226642(3)2212121kkk

12、txtxkkk（+）=0 7 学科网（北京）股份有限公司 1122622(3)22121kktxtxkk（）=0 122()322021kxttk=-14 分 122()(44)21kxtk=0 2121122122(2)(1)021kxyx kxkx xxxk 1t-15 分 法二：121222|13txtxkxkx 211221212112.233xkxkx xxttx kxkx xx 12123,2kx xxx 12212122121121123311222.393333222xxxxxkx xxkx xxxxxxx-13 分 2123tt 14tt 或，-14 分 22t ，1.t-1

13、5 分 法三：121222|13txtxkxkx 211221212112.233xkxkx xxttx kxkx xx 112221221211122642()()11 21 21 2.6633()331 21 2kkkxxkx xxkkkkkx xxkxxkk-13 分 8 学科网（北京）股份有限公司 2123tt 14tt 或，-14 分 22t ，1.t-15 分 (21)(本小题 15 分)解：（）4,2,0,2A;-3 分（多写或少写一个元素扣 1 分）（）首先，0A；-4 分 其次A中有 4 个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.-5 分 记0,Aa b c d，不妨设0abc

14、d或者0abcd-6 分 当0abcd时，,6,8,12,12,18,24ab ac adbc bd cd，相乘可知372576bcda bcd，从而382aa，从而,3,4,6b c d，所以0,2,3,4,6A；-8 分 当0abcd时，与上面类似的方法可以得到382dd 进而,3,4,6b c d ，从而0,2,3,4,6A-10 分 所以0,2,3,4,6A或者0,2,3,4,6A.（）估值+构造 需要分类讨论 A 中非负元素个数.先证明 13A考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合 A不变，故不妨设 A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A 中没有负数

15、不妨设1290aaa，则1223242939890aaa aa aa aa aa a 上式从小到大共有 1+7+6=14 个数，它们都是 A的元素，这表明 14.A-12 分 情况二：A 中至少有一个负数 设 12,sb bb是 A 中的全部负元素，12,tc cc是 A 中的全部非负元素.不妨设11120sstbbbccc 其中,s t为正整数，9,4,5stst 于是有1 11 2120tts tbcbcbcb cb c 以上是 A中的18st 个非正数元素：另外，注意到2 32 42 53 54 5c cc cc cc cc c 它们是 A中的 5 个正数这表明 13.A 9 学科网（北京）股份有限公司 综上可知，总有 13.A-14 分 另一方面，当230,1,2,2,2A 时，234560,1,2,2,2,2,2,2A 中恰有 13 个元素.-15 分 综上所述，A中元素个数的最小值为 13.