2023年中考数学复习专题提升训练：圆中的最值问题（含答案）

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1、2023年中考数学复习专题提升训练：圆中的最值问题一选择题1RtABC中，ABBC，AB4，BC3，P是ABC内部的一个动点，满足PABPBC，则线段CP长的最小值为（）AB1CD2如图，在O中，弦AB5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为（）A5B2.5C3D23如图，已知O的直径为26，弦AB24，动点P、Q在O上，弦PQ10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A7MN17B14MN34C7MN17D6MN164如图，O的直径为10，A、B、C、D是O上的四个动点，且AB6，CD8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段

2、EF长度的取值范围是（）A1EF7B2EF5C1EF7D1EF65在O中，AB为O的一条弦，P为弦AB上的一点，且满足3OP5，则弦AB的长为（）A4B6C8D106平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）当t0时，若ACB最大，则t的值为（）ABCD7如图，ABO为等边三角形，OA6，动点C在以点O为圆心，OA为半径的O上，点D为BC中点，连接AD，再将AD绕点D顺时针旋转90后得ED，则A、E两点间的距离最小值为（）A3BCD8如图，已知点C在以AB为直径，O为圆心的半圆上，AB4，以BC为边作等边BCD，则AD的最大值是（）ABCD二填空题9如图，矩形ABCO的顶

3、点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），M是AOC的内切圆，点N，点P分别是M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 10如图，AB为半圆的直径，AB8，点P为半圆的三等分点，点D为弧BP上一动点，作OMPD，连接AD交OM于点N，则BN的最小值为 11如图，AB是O的直径，点C在半圆的中点，且BC4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CHBD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 12如图，在RtABC中，已知A90，AB6，BC10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BEEG的最大

4、值为 13如图，已知O的直径AB4，弦CDAB于点E，点E为OB的中点，点F为圆O上的一个动点，过点A作AGCF于点G，在点F的运动过程中，线段OG长度的最小值为 14如图，AB是O的直径，AC是弦，AB8，AC6.4动点P从A点沿弧AB运动到B点（点P，C在AB的两侧），将弦CP绕点C旋转90，直线CP交PB的延长线于点D，则线段AD长度的最大值为 15如图，O的直径AB5，弦AC3，点D是劣弧BC上的动点，CEDC交AD于点E，则OE的最小值是 三解答题16如图，在ABC中，ABAC，AOBC于点O，OEAB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F（1）求证：AC是O的切线；（2

5、）若AOE60，OE3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的最小值17如图，在O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AECE，PB与O相切，交EC的延长线于点P（1）求证：PBPE（2）若O的半径为2，点N为OC中点，点Q在O上，求线段PQ的最小值18如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点（1）求证：MD是O的切线；（2）若B30，AB8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；（3）若点E恰好运动

6、到ACB的角平分线上，连接CE并延长，交O于点F，交AD于点P，连接AF，CP3，EF4，求AF的长19如图，直线l：yx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B（6，0），点C是线段OA上一动点（0AC）以点A为圆心，AC长为半径作A交线段AB于另一点D，连接OD并延长交A于点E（1）求OAB的面积；（2）若ACDAOD+OAD，求点D的坐标；（3）若点C在线段OA上运动时，求ODDE的最大值20如图1，直线l1l2于点M，以l1上的点O为圆心画圆，交l1于点A，B，交l2于点C，D，OM4，CD6，点E为AD上的动点，CE交AB于点F，AGCE于点G，连接DG，AC，AD（1）求O的半径长；（2

7、）若CAD40，求劣弧的长；（3）如图2，连接DE，是否存在常数k，使CEDEkEG成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；（4）若DGAB，则DG的长为 ；（5）当点G在AD的右侧时，请直接写出ADG面积的最大值21【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的

8、最大值；【迁移拓展】（3）如图2，BC，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边ABD，请求出AC的最值，并说明理由参考答案一、 选择题1解：ABC90，ABP+PBC90，PABPBCBAP+ABP90，APB90，点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小，在RtBCO中，OBC90，BC3，OB2，OC，CPOCOP2CP最小值为2故选：D2解：连接OD，如图，CDOC，DCO90，CD，当OC的值最小时，CD的值最大，而OCAB时，OC最小，此时D、B两点重合，CDCBAB52.5，即CD的最大值为2.5，故选：B3解：连接OM、ON、OA、O

9、P，如图所示：O的直径为26，OAOP13，点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB24，PQ10，OMAB，ONPQ，AMAB12，PNPQ5，OM5，ON12，当ABPQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短OMON1257，当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长OM+ON12+517，线段MN的长度的取值范围是7MN17，故选：A4解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：O的直径为10，OAOC5，点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB6，CD8，OEAB，OFCD，AEAB3，CFCD4，OE4，OF3，当ABCD时，E、O、F三点共线，当AB、

10、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短OEOF1，当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长OE+OF7，线段EF的长度的取值范围是1EF7，故选：A5解：如图，过O作OEAB于E，连接OA，则AEBE，P为弦AB上的一点，且满足3OP5，OE3，OA5，AE4，AB2AE8，故选：C6解：如图，作过A、B两点的M与y轴相切于点C，ACBAPB，APBACB，ACBACB，M与y轴相切于点C时，ACB最大如图，作MHAB，连接OM、MA、MB，M与y轴相切于点C，OCM90，A（1，0），B（5，0），AB4，MHAB，AHAB2，OH1+23，MCMAMB3，故选：C7解：如图1，取OB

11、的中点E，在OBC中，DE是OBC的中位线，DEOC3，即点D是在以E为圆心，3为半径的圆上，求AD的最小值就是求点A与E上的点的距离的最小值，如图2，当D在线段AE上时，AD取最小值，ABO是等边三角形，边长为6，AE63，线段AD长的最小值为33故选：D8解：如图，将ABD绕点B逆时针旋转60得CBE，ADCE，ABBE，ABE60，ABE是等边三角形，连接EO并延长交半圆于点C，此时EC最大，O为AB的中点，EOAB，在RtAOE中，EO，EC的最大值为：EO+OC2+2，AD的最大值为2+2，故选：C二填空题9解：作点B关于x轴的对称点B，连接MB，交M于点N，交x轴于点P，过点M作M

12、Qx轴，交x轴于点E，过点B作BQMQ，点B与点B关于x轴对称，PB+PNPB+PN，当N、P、B在同一直线上且经过点M时取最小值在RtABC中，AC5，由M是AOC的内切圆，设M的半径为r，SAOC（3r+4r+5r）34，解得r1，MEMN1，QB413，QM3+14，MB5，PB+PN514，即PB+PN最小值为4，故答案为：410解：如图，连接OP，PN点P为半圆的三等分点，POB60，POA120，ADPAOP60，OMPD，PMDM，NPND，NPDNDP60，PNM906030，PNO18030150，作OPN是外接圆K，在优弧AP上取一点J，连接JP，JO，KP，KO，过点K作

13、KHAB于H则点N的运动轨迹是，J+PNO180，J30，PKO2J60，KPKO，KPO是等边三角形，OKOPKP4，点K在O上，KNKO4，在RtOKH中，KOH60，OKH30，OHOK2，KHOH2，BHOH+OB6，BK4，BNBKKN44，BN的最小值为44故答案为：4411解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，THAB是直径，ACB90，点C在半圆的中点，ACCB4，CTTB2，AT2，CHBD，CHB90，点H在以BC为直径的圆上运动，CTTB，HTBC2，AHATHT22，AH的最小值为22，故答案为：2212解：如图，过点C作CHEG于点HCHEG，EHGH，ACHE90

14、，AEBCEH，ABEHCE，BEEHAEEC，BE2EH2AEEC，EBEG2AEEC，设ECx，在RtABC中，AC8，EBEG2x（8x）2（x4）2+32，20，x4时，BEEG的值最大，最大值为32，故答案为：3213解：如图，连接OC，CB，取AC的中点T，连接OT，TGABCD，OEEB，COCB，OCOB，OCOBCB2，B60，AB是直径，ACB90，ACABsin602，ATCT，AOOB，OTBC1，AGCF，CGA90，TGAC，OGTGOT1，OG的最小值为1故答案为：114解：连接BCAB是直径，ACB90，PCD90，ACBPCD，AP，ABCCDB定值，点D的运

15、动轨迹是T，延长AC交T于点E，连接BEBCE90，BE是T的直径，点T是BE的中点，连接AT，DT，ADBACBAE，ABECDBAEB，ABCAEB，AB2ACAE，ACBABE90，AE10，BE6，TDBT3，AT，ADAT+DT+3，AD的最大值为+3故答案为：+315解：如图，作AEC的外接圆O，延长BC交O于点R，连接AR，则AR是直径，连接OO，EOECCD，ECD90，AB是直径，ACB90，BC4，D+DEC90，B+BAC90，BD，DECBAC定值，AEC是定值，点E的运动轨迹是，R+AEC180，AEC+DEC180，RDECBAC，R+B90，BAR90，BB，AC

16、BBAR90，BCABAR，BR，CRBRBC，AR，EOAR，AOOB，AOOR，OOBR，OEOOEO，OE的最小值为故答案为：三解答题16（1）证明：过点O作ODAC与点D，如图，ABAC，AOBC，AO平分BACOEAB，ODAC，ODOEOE是圆的半径，OD是圆的半径这样，AC经过半径OD的外端，且垂直于半径OD，AC是O的切线；（2）解：在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值延长AO交O于点G，连接EG交BC于点P，连接PF，则此时PF+PE最小连接EF，过点E作EHAO于点H，如图，AOE60，OEOF，OEF为等边三角形，EFOEOF3EHOF，OHHFOFGHOG+OH3+

17、在RtEHO中，sinAOE，EHOE在RtEHG中，EG3BCFG，OGOF，PGPFPE+PFPE+PGEG3在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值PF+PE的最小值为317（1）证明：连接OB，如图，AECE，EACECA，BEPEAC+ECA2EAC，BOC2EAC，BOCBEP，PB为O的切线，OBPB，OBP90，OCAB，PBN+OBN90OBN+COB90，PBNCOBPEBPBNPBPE；（2）连接OB、BC、OP，如图3，N为OC的中点，CNONOCOB，OBN30，COB60，OCOB，OCB为等边三角形，Q为O任意一点，连接PQ、OQ，PQOPOQ，当P、Q、O三点共

18、线时，PQ最小，Q为OP与O的交点时，PQ最小，ACOB30，PEB2A60，ABP903060，PBE是等边三角形，在RtOBN中，根据勾股定理得，BN3，AB2BN6，设AEx，则CEx，EN3x，RtCNE中，x2+（3x）2，解得：x2，EN1，BEPB3+14，在RtOPB中，OP，PQ2，则线段PQ的最小值是 218证明：（1）连接OD，交BC于点N，如图，AB为直径，ACB90BCM90AD平分BAC，ONBCDMAC，四边形CNDM为矩形ODMDOD为圆的半径，MD是O的切线；（2）在点E运动过程中，EC+EM存在最小值理由：过点C作CFAB，并延长交O于点F，连接MF，交AB

19、于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小，如图，B30，ACB90，CAB60AD平分BAC，CADDAB30与的度数为60AB是直径，的度数为60ABCF，AB是直径，180为半圆FD为圆的直径由（1）知：MD是O的切线，FDMD由题意：AB垂直平分FC，ECEFEC+EMEF+EMFMCFDDAB，DAB30，CFD30AB8，FD8由（1）知：四边形MCND为矩形，MDNCONBC，CNBC在RtACB中，sinCAB，BCABsin6084MDCNBC2在RtFDM中，MF2EC+EM的最小值为MF2（3）如图，FC平分ACB，ACB90，ACFBCF45BAFBCF45AD平分BA

20、C，CADBADPAFBAD+BAF，APFACF+CAD，PAFAPF，AFFPFCFP+CPAF+3FABACF45，FF，FAEFCAFA2FEFC4（AF+3）AF24AF120解得：AF6或AF2（不合题意，舍去），AF619解：（1）直线l：yx+b与x轴交于点B（6，0），将（6，0）代入，得：（6）+b0，b8，yx+8，当x0时，y8，A（0，8），SOABOAOB8624；（2）如图，过点D作DHOA于点H，ACDAOD+OAD，ACDAOD+ODC，OADODC，OCDODA，OD2OCOA，设AH4m，DH3m，则：AHAD5m，OHOAAH84m，OC85m，D（3m

21、，84m），OD2OH2+DH2（84m）2+（3m）2，OD2OCOA，（84m）2+（3m）2（85m）8，解得：m，D（，）；（3）如图，过点O作OGAB于点G，AB交A于点D，F，连接EF，OB6，OA8，AB10，AG，设ACADr，则：DGr，DF为直径，DF2r，DEF90，DEFDGO，ODDEDFDG2r（r）2r2+r2（r）2+，当r时，ODDE取得最大值，最大值为20解：（1）如图1中，连接ODAB是直径，ABCD，CMMDCD3，在RtOMD中，OD5，O的半径为5；（2）如图1中，AB垂直平分线段CD，ACAD，CABDAB20，OAOD，OADODA20，AOD1

22、802020140，的长；（3）如图2中，连接AE，过点A作ATDE交DE的延长线于点EAGCE，ATDT，AGCT90，ACGADT，ACAD，AGCATD（AAS），AGAT，CGDT，AGET90，AEAE，RtAEGRtAET（HL），EGET，CEDE（CG+EG）（DTET）2EG，CEDEkEG，k2；（4）如图3中，DGAB，CMDM，CFFG，FMDG，设FMx，则DG2x，AFGCFM，AGFFMC90，AGFCMF，解得x3或，DG6或3故答案为：6或3；（4）如图4中，过点C作CRAD于点R，AGCE，AGC90，取AC的中点T，连接OG，过点T作TJAD于点J，交于点

23、K，点G在以T为圆心，TG为半径的上运动，当点G与K重合时，ADG的面积最大，CDAMADCR，AD3，693CR，CR，TJCR，ATCT，AJJR，TJCR，TKTGAC，JKJKTJ，SAGD的最大值ADJK3921解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OCAE，理由：ABC，BOE都是等边三角形，BCBA，BOBE，CBAOBE60，CBOABE，CBOABE（SAS），OCAE（2）在AOE中，AEOE+OA，当E、O、A共线，AE的最大值为6，OC的最大值为6【迁移拓展】（3）如图2中，以BC为边作等边三角形BCM，ABDCBM60，ABCDBM，ABDB，BCBM，ABCDBM（SAS），ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BC6定值，BDC90，点D在以BC为直径的O上运动，如图，由图可知，当点D在BC上方，DMBC时，DM的值最大，最大值3+3，AC的最大值为3+3当点A线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为33综上，AC的最小值为33，AC最大值为3+3