2023年江苏省苏州工业园区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年江苏省苏州工业园区中考一模数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 1. 在，这四个数中，最大的数是（ ）A. B. C. D. 2. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为这个数用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 若点、都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法确定5. 某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（ ） A. 64人B. 65人C.

2、 66人D. 67人6. 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）A. B. C. D. 7. 小李广花荣是水浒传中的108将之一，有着高超的箭术如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在中，将绕点B旋转得，分别取、的中点E、

3、F，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案直接填写在答题卡相应位置上9. 计算：_10. 已知，则_11. 已知一组数据3，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是_12. 一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为_cm3.13. 根据图中父女两人的微信聊天记录，可知父亲购买无人机的预算为_元14. 如图，在半径为、圆心角为120的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、围成的阴影部分的面积为_15. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则

4、称这个函数是有界函数其中，的最小值称为这个函数的边界值若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是_16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，且顶点、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为_三、解答题：本大题共11小题，共82分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔17. 计算：18. 解不等式组：19. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值20. 已知关于的一元二次方程（1）若该方程有一个根是，求的值；（2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根21. 如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小

5、汽车的停车情况（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是_；（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率22. 某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：x（元）152030y（件）252010已知日销售量是售价的一次函数（1）求与函数表达式；（2）当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？23. 如图，折叠矩形纸片，使点、分别落在上的点、处，折痕分别为、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）已知，求四边形周长24. 国旗是国家的象征与标志为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索活动一：目测估计先由1

6、00位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854（1）目测旗杆高度的平均数是，众数是_，中位数是_；（2）根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由（3）活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度（参考数据：，）25. 如图，点在边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且（1）求证：是的切线；

7、（2）若，求半径长；（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值26. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、（1）求点、的坐标（用数字或含的式子表示）；（2）当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；（3）当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标27. 如图，在四边形中，点在上，连接、（1）求的长；（2）探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；（3）如图，与相交于点，过点作，与相交于点设、的面积分别为、若，求的长2023年江苏省苏州工业园区中考一模数学试卷一、选择题：本大题共8

8、小题，每小题3分，共24分 1. 在，这四个数中，最大的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据实数大小比较的方法解答即可【详解】解：负数小于正数，是这四个数中最小的数，四个数中最大的数为,故选【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键2. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为这个数用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：=故选：C【点睛

9、】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法和除法、完全平方公式以及整式乘法分别判断即可选出答案.【详解】解：A选项： ，故不符合题意；B选项：，故不符合题意；C选项：，故不符合题意；D选项：，选项正确，符合题意.故答案选：D.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、完全平方公式以及整式乘法的运算法则.熟练掌握各自的法则是解题的关键.4. 若点、都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】

10、C【解析】【分析】根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断【详解】解：，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大，点在第二象限，点在第四象限，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据当时，图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键5. 某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（ ）A. 64人B. 65人C. 66人D. 67人【答案】C【解析】【分析】先用参加“苏扇”的人数除以其人数占比求出总人数

11、，再用总人数乘以参加“剪纸”的人数占比即可得到答案【详解】解：人，参加社团的学生人数一共有人，人，参加“剪纸”社团的有人，故选C【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图是解题的关键6. 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题

12、【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，故选：A【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键7. 小李广花荣是水浒传中的108将之一，有着高超的箭术如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算正方形与圆的面积比即可【详解】解：设圆的直径为，则正方形的对角线长为，圆的面积为，正方形的面积为，箭穿过正方形孔的概率为，故选：B【点睛】本题考查了几何概率解题的关键在于正确的计算8. 如图，在中，将绕点B旋转得

13、，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理求出的长，在根据旋转的性质可得，利用中位线的性质可求，在根据三角形的三边关系即可求出结果【详解】解：取的中点G，连接、，由旋转的性质可知：，点E、F、G分别是、的中点，是的中位线，是的中位线，当点E、F、G不共线时，即，当点G在线段上时，当点F在线段上时，综上所述，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出、的值是解题的关键二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案直接填写在答题卡相应位置上9. 计

14、算：_【答案】【解析】【分析】根据积的乘方求解即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了积的乘方，熟悉相关性质是解题的关键10. 已知，则_【答案】【解析】【分析】把所求式子进行因式分解得到，再把已知条件式整体代入求解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将所求式子进行因式分解是解题的关键11. 已知一组数据3，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是_【答案】2【解析】【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=（x1-）2+（x2-）2+（xn-）2计算方差【详解】解：由平均数的公式得：（3+a+4+6+7）5=5，解得a=5；方差=（3-

15、5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）25=2故答案为：2【点睛】此题考查了平均数和方差的定义平均数是所有数据的和除以所有数据的个数方差的公式S2=（x1-）2+（x2-）2+（xn-）212. 一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为_cm3.【答案】800 【解析】【详解】设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，由题意得：，解得：，所以长方体的体积为：16105=800.故答案为800.点睛：此题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数据得出关于长宽高的三元一次方程组，再由结果求得长方体的体积.13. 根据图中父女两人的微信聊天记录

16、，可知父亲购买无人机的预算为_元【答案】2000【解析】【分析】设购买无人机的售价为x元，根据父亲的预算等于售价减去400元和父亲的预算等于80元加上售价的八折，列方程求解即可【详解】解：设购买无人机的售价为x元，根据题意，得，解得，父亲购买无人机的预算为（元）答：父亲购买无人机的预算为2000元【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系式，列出方程是解题的关键14. 如图，在半径为、圆心角为120的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、围成的阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接

17、交于，证明，根据计算求解即可【详解】解：由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，由题意知，在和中，故答案为：【点睛】本题考查了垂直平分线的作法与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等知识解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积15. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数其中，的最小值称为这个函数的边界值若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是_【答案】【解析】【分析】根据可知函数（，且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可【详解】解：函数（，

18、且）的y随x的增大而增大当时，函数的函数值为边界值，边界值小于3，解得：故答案为【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，且顶点、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为_【答案】【解析】【分析】过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则，再求出点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，四边形是菱形，又，是等边三角形，轴，轴

19、，四边形是菱形，点B平移到点A和点C平移到到点D平移方式相同，点D的坐标为，又点D在反比例函数图象上，解得（负值舍去），故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键三、解答题：本大题共11小题，共82分把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔17. 计算：【答案】2【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了特殊

20、角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键18. 解不等式组：【答案】【解析】【分析】先分别求出每个不等式得解集，然后根据夹逼原则求出不等式组的解集即可【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键19. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值【答案】，当时，原式【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取一个合适的值代值计算即可【详解】解：，分式要有意义，即且，当时，原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条

21、件，正确化简是解题的关键20. 已知关于的一元二次方程（1）若该方程有一个根是，求的值；（2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可【小问1详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，；【小问2详解】证明：由题意得，无论取什么值，该方程总有两个实数根【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知

22、数的值21. 如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是_；（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率计算公式求解即可（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可【小问1详解】解：一共有四个车位，每个车位被选择的概率相同，有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：设这四个车位分别用A、B、C、D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D

23、，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车停在不相邻车位的结果数有6种，两辆车停在不相邻车位的概率为【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键22. 某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：x（元）152030y（件）252010已知日销售量是售价的一次函数（1）求与的函数表达式；（2）当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） （2）当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元【解析】【

24、分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设每日的销售利润为W，根据利润（售价成本价）数量，列出W关于x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可【小问1详解】解：设与的函数表达式为，由题意得，与的函数表达式为；【小问2详解】解：设每日的销售利润为W，由题意得， ，当时，W最大，最大为，当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键23. 如图，折叠矩形纸片，使点、分别落在上的点、处，折痕分别为、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）已知，求四边形的周长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】

25、【分析】（1）由矩形和折叠的性质可得，则，进而结论得证；（2）在中，由勾股定理得，由折叠的性质可得，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，求的值，进而可得的值，在中，由勾股定理得求的值，然后计算平行四边形的周长即可【小问1详解】证明：由矩形和折叠的性质可得，四边形是平行四边形；【小问2详解】解：在中，由勾股定理得，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，平行四边形的周长为【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用24. 国旗是国家的象征与标志为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进

26、行了以下探索活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854（1）目测旗杆高度的平均数是，众数是_，中位数是_；（2）根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由（3）活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度（参考数据：，）【答案】（1）13.0，13.25 （2），理由见

27、解析 （3）旗杆的高度为【解析】【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行求解即可；（2）利用中位数进行决策；（3）由题意知，则，根据，即，求的值，根据计算求解即可【小问1详解】解：由图表可知，众数为，中位数为第50和51个数据的平均数，第50和第51个数据分别为，中位数为，故答案为：13.0，13.25；【小问2详解】解：估计旗杆高度为，理由如下：当一组数据中个别数据变动较大，可用中位数描述其集中趋势【小问3详解】解：由题意知，即，解得，旗杆的高度为【点睛】本题考查了中位数和众数，解直角三角形的应用解题的关键在于对知识的熟掌握与灵活运用25. 如图，点在的边上，与相切于点，与相交于点，经过上的

28、点，且（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径长；（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值【答案】（1）见解析 （2）3 （3）【解析】【分析】（1）如图：连接交于，先说明；再根据平行线的性质可得，进而得到，再根据等量代换可得即可证明结论；（2）先根据题意可得、，设的半径为，则；再根据勾股定理列方程组求解即可；（3）如图：设交于，连接，过M作，由勾股定理可得，进而得到；再证明，根据相似三角形的性质结合已知条件可得，进而得到；由等腰三角形的性质可得，然后再根据圆周角定理、切线的性质以及等量代换可得，最后根据正切的定义即可解答【小问1详解】解：如图：连接交于，点在的边上，即是的直径，是垂直

29、平分线，与相切于点是的切线【小问2详解】解：，,设的半径为，则,即，解得：的半径长为3【小问3详解】解：如图：设交于，连接，过M作,，即，解得：,是的直径，即【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键26. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、（1）求点、的坐标（用数字或含的式子表示）；（2）当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；（3）当取（2）中值时，若，请直接写出点的坐标【答案】（1）， （2）， （3）点坐标为或【解析】【分析】（1）将，分

30、别代入，计算求解即可；（2）如图1，连接，由题意知，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；（3）由（2）知，则，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的

31、点坐标【小问1详解】解：当时，当时，整理得，即，解得，【小问2详解】解：如图1，连接，由题意知，当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，的最小值等于，解得，抛物线的对称轴为直线，设直线的解析式为，将，代入得，解得，直线的解析式为，当时，；【小问3详解】解：，抛物线的对称轴为直线，是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，与重合，即；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，即，解得，即，解得，综上，点坐标为或【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜

32、边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用27. 如图，在四边形中，点在上，连接、（1）求的长；（2）探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；（3）如图，与相交于点，过点作，与相交于点设、的面积分别为、若，求的长【答案】（1）4 （2）不存在，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）如图1，过作于，则四边形是矩形，可得，在中，由勾股定理得求的值，进而可得的值；（2）如图2，过作交于，交于，则，令平分，可证，在中，由勾股定理得，则，进而可证，设，则，证明，则，即，求得，则，证明，则，即，

33、可得，则，若平分，则，即，判断，与矛盾，进而可得结论；（3）令中边上的高为，中边上的高为，证明，设，则，表示，根据，解，求得满足要求的，则，如图3，过作交于，证明，则，即，解得，证明，则，即，求出的值，进而可得的值，然后根据计算求解即可【小问1详解】解：如图1，过作于，则四边形是矩形，在中，由勾股定理得，长为4；【小问2详解】解：不存在，理由如下：如图2，过作交于，交于，平分，在中，由勾股定理得，设，则，即，解得，即，解得，若平分，则，即，与矛盾，不存在这样的点，使得平分、平分同时成立；【小问3详解】解：令中边上的高为，中边上的高为，设，则，即，整理得，则，解得，（舍去），如图3，过作交于，即，即，解得，的长为【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，正切等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用