2023年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考一模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 哈市某天的最高气温为11，最低气温为6，则最高气温与最低气温的差为( )A. 5B. 17C. 17D. 52. 下列运算正确的是（ ）A B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是（）A. B. C. D. 5. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）A x=3B. x=2C. x=1D. x=16. 方程的解为（ ）.A.

2、 ；B. ；C. ；D. .7. 如图，O中，弦AB，CD相交于点P，A=42，APD=77，则B的大小是（ ）A. 34B. 35C. 43D. 448. 某种水稻2020年平均每公顷产，2022年平均每公顷产，设该水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，是的中位线，点F在线段上，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，老师开车从甲地去往20千米外的乙地，开始时以一定的速度行驶，之后由于道路维修，速度变为开始时速度的二分之一，过了维修道路后又变为开始时的速度行驶到达乙地，设老师行驶的时间为x（分

3、钟），行驶的路程为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，则老师从甲地到达乙地所用的时间是（ ）A. 15分钟B. 20分钟C. 25分钟D. 26分钟第卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题3分，共30分）11. 将数9420000用科学记数法表示为_12. 计算的结果是_13. 函数的自变量的取值范围是_14. 把多项式因式分解的结果为_.15. 不等式组的解集是_16. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线上的一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会_（填“逐渐增大”或“不变”或“逐渐减小”）17. 某扇形的

4、圆心角是45，面积为，该扇形的半径是_18. 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_19. 中，点D在直线上，连接，若，则的面积为_20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，点E是线段上一点，连接、，若，则线段长为_三、解答题21. 先化简，再求值：，其中.22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上（1）画出一个以AB为一边的ABE，点E在小正方形的顶点上，且BAE45，ABE的面积为；（2）画出以CD为一

5、腰的等腰CDF，点F在小正方形的顶点上，且CDF的面积为；（3）在（1）、（2）条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长23. 某小区为了解业主对小区物业服务的满意度，从小区中随机抽取部分住户进行调查，调查结果分为：A非常满意；B满意；C基本满意；D不满意四个等级请根据如图所示的两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）抽样调查共抽取了多少户？（2）求本次调查中“基本满意”的有多少户？并补全条形统计图；（3）若该小区共有5000户，请估计对该小区服务表示不满意的有多少户？24. 已知：四边形ABCD中，AC为对角线，DACBCA，且ADBC，CDAD于点D（1）如图1，求证：四边形ABCD矩形（2

6、）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是FHC面积的2倍的所有三角形25. 文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册，已知甲种纪念册进价为每本12元，乙种纪念册进价为每本10元，文教店在销售时甲种纪念册售价为每本15元，乙种纪念册售价为每本12元，全部售完后共获利270元（1）求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本？（2）若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册，且购进甲种纪念册的数量不变，而购进乙种纪念册的数量是第一次的2倍，乙种纪念册按原售价销售，而甲种纪念册降价销售，当两种纪念册销售完毕时，要

7、使再次购进的纪念册获利不少于340元，求甲种纪念册每本最低售价应为多少元？26. 已知，为的直径，弦与交于点E，点A为弧的中点（1）如图1，求证：；（2）如图2，点F为弧上一点，连接，过点C作交于点G，求证：（3）如图3，在（2）条件下，连接交于点L，连接，若，求线段的长27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，（1）求a，b的值；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t，连接、，设的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点P作交

8、y轴于点D，过点D作y轴的垂线交第三象限内的抛物线于点Q，连接，点F在y轴上，且在点C上方，点G为y轴负半轴上一点，且，连接、，点H在上，过点F作轴交延长线于点M，点N为上一点，连接，连接，若，求点Q的坐标2023年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考一模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 哈市某天的最高气温为11，最低气温为6，则最高气温与最低气温的差为( )A. 5B. 17C. 17D. 5【答案】B【解析】【分析】根据有理数的减法，用最高气温减去最低气温即可求得答案【详解】哈市某天的最高气温为11，最低气温为6，则温差为：11（6）=11+6=17（），故选B【点睛】本题考查了有理数

9、的减法在生活中的应用，根据题意列出减法算式，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数的减法法则是解题的关键2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法的法则逐项进行计算即可得【详解】A. 与不是同类项，不能合并，故A选项错误；B. ，故B项正确；C. ，故C选项错误；D. ，故D选项错误，故选：B【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数的幂的除法、积的乘方等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】轴对称图形的定义

10、：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意，故选：B【点睛】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义，找准对称轴是解答的关键4. 如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：从几何体的上面看共有3列小正方形，右边有2个，左边有2个，中间上面有1个，故选D考点：三视图5. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根

11、是3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）A. x=3B. x=2C. x=1D. x=1【答案】C【解析】【详解】试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论解：方程ax2+bx+c=0的两个根是3和1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(3,0),(1,0).此两点关于对称轴对称，对称轴是直线x=1.故选C.6. 方程的解为（ ）.A. ；B. ；C. ；D. .【答案】C【解析】【详解】解： ，；将检验是方程的根，方程的解为；故选C【点睛】本题主要考查了分式方程及其解法，解分式方程的步骤

12、为：去分母，化为整式方程；移项、合并同类项；系数化为1；检验；结论，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.7. 如图，O中，弦AB，CD相交于点P，A=42，APD=77，则B的大小是（ ）A. 34B. 35C. 43D. 44【答案】B【解析】【分析】由A=42结合D=A可得D=42，再结合APD=B+D，即可求得B的度数【详解】解：D=A，A=42，D=42，又APD=B+D=77，B=77-42=35故选：B【点睛】本题考查圆周角定理及三角形外角性质，熟悉“在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”和“三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和”是解答本题的关键8. 某种水稻2020年平均

13、每公顷产，2022年平均每公顷产，设该水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】平均增长率是指连续从年到年，再从年到年的平均增长率，增长率设为，则连续增长两年的倍率为，由此现在符合题意的选项即可【详解】解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为，则年的每公顷产量为，则年的每公顷产量为，故选：B【点睛】本题考查了连续增长的平均增长率，关键是理解增长率是指后一个数与前一个数的差值与前一个数的比值，在连续增长情况中比较的对象发生改动，即单位“1”改动，容易由此产生计算错误9. 如图，是的中位线，点F在线段上，连接交于点E，下列说法

14、不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】A根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；B根据中位线的性质得出，根据，得出，即可判断B正确；C根据，即可判断C错误；D根据，即可判断D正确【详解】解：A是中位线，故A正确，不符合题意；B，点E为的中点，故B正确，不符合题意；CM为的中点，故C错误，符合题意；D，故D正确，不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半10. 如图，老师开车从甲地去往20千米外的乙地，开始时以一定的速度行驶，之后由于道路维修，速度

15、变为开始时速度的二分之一，过了维修道路后又变为开始时的速度行驶到达乙地，设老师行驶的时间为x（分钟），行驶的路程为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，则老师从甲地到达乙地所用的时间是（ ）A. 15分钟B. 20分钟C. 25分钟D. 26分钟【答案】D【解析】【分析】分别求出各段的时间，再相加即可【详解】解：第一段的时间为5分钟，速度为（千米/分钟），第二段的速度为（千米/分钟），时间为（分钟），第三段的时间为（分钟），所以老师从甲地到达乙地所用的时间是（分钟），故选：D【点睛】本题考查了函数图象的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，是基础题第卷 非选择题（共90分）

16、二、填空题（每题3分，共30分）11. 将数9420000用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此解答即可【详解】解：数9420000用科学记数法表示为故答案为：【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键12. 计算的结果是_【答案】【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可【详解】解：，故答案为：.【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，熟悉二次根式的加减运算的运算法则是解本题的关键13. 函数的自变量的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分母不等于零列式求解即可

17、【详解】解：由题意得x-30，故答案为：【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数14. 把多项式因式分解的结果为_.【答案】ab(a-3)2【解析】【分析】先提公因式ab，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】=ab(a2-6a+9)=ab(a-3)2，故答案为ab(a-3)2.【点睛】本题考查了综合提因式法与公式法分解因式，分解因式的原则一般是：一提（公因式）、二套（公式），三分解要彻底.15. 不等式组的解集是

18、_【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求它们的公共部分即可得到不等式组的解集【详解】解：，解不等式，得，解不等式，得，不等式组的解集为，故答案为：【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟记一元一次不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找16. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线上的一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会_（填“逐渐增大”或“不变”或“逐渐减小”）【答案】逐渐减小【解析】【分析】由双曲线设出点的坐标，运用坐标表示出四边形的面积函数关系式即可判定【详解】解

19、：设点的坐标为，轴于点，点是轴正半轴上的一个定点，四边形是个直角梯形，四边形的面积，是定值，对于，由反比例函数的性质知，当点的横坐标逐渐增大时，的值也随着减小，从而四边形的面积逐渐减小故答案为：逐渐减小【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是运用点的坐标求出四边形的面积的函数关系式17. 某扇形的圆心角是45，面积为，该扇形的半径是_【答案】12【解析】【分析】根据扇形的面积公式：即可求出结论【详解】解：由题意可知：解得：r=12或-12（不符合实际，舍去）故答案为：12【点睛】此题考查的是根据扇形的面积公式求半径，掌握扇形的面积公式是解决此题的关键18. 一个不透明的袋子

20、中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_【答案】【解析】【详解】试题分析：列表得：黑1黑2白1白2黑1黑1黑1黑1黑2黑1白1黑1白2黑2黑2黑1黑2黑2黑2白1黑2白2白1白1黑1白1黑2白1白1白1白2白2白2黑1白2黑2白2白1白2白2共有16种等可能结果总数，其中两次摸出是白球有4种.P（两次摸出是白球）=.考点：概率.19. 中，点D在直线上，连接，若，则的面积为_【答案】2或10#10或2【解析】【分析】分两种情况，点D在点A右侧，点D在点A左侧，分别画出图形，求出结果即可【详

21、解】解：，点D在直线上，可分两种情况：当点D在A右侧时，如图1，则，的面积为；当点D在点A左侧时，如图2，则，的面积为，综上，的面积为2或10故答案：2或10【点睛】本题考查了锐角三角函数、三角形的面积公式，利用分类讨论思想求解是解答的关键20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点O，点E是线段上一点，连接、，若，则线段长为_【答案】【解析】【分析】先证明是等边三角形，求得，得到，根据勾股定理即可求解【详解】解：平行四边形的对角线、相交于点O，是等边三角形，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键三、解答题21. 先化简，再求

22、值：，其中.【答案】【解析】【分析】括号内先通分进行分式加减运算，然后再进行分式的乘除运算，根据特殊角的三角函数值求出x的值后代入进行计算即可得.【详解】=，当=1+时，原式=.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记分式混合运算的运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键.22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上（1）画出一个以AB为一边的ABE，点E在小正方形的顶点上，且BAE45，ABE的面积为；（2）画出以CD为一腰的等腰CDF，点F在小正方形的顶点上，且CDF的面积为；（3）在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线

23、段EF的长【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)【解析】【分析】（1）以AB为斜边作以等腰直角三角形即可得；（2）以点C为圆心、CD长为半径作圆，根据面积确定点F即可得；（3）由勾股定理可得答案【详解】（1）如图，AEBE，AB，AE2+BE2AB2，ABE是以AE、BE为腰的等腰直角三角形，且SABE，（2）如图：CDCF5，且SCDF53，（3）EF【点睛】考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定23. 某小区为了解业主对小区物业服务的满意度，从小区中随机抽取部分住户进行调查，调查结果分为：A非常满意；B满意；C基本满意；D不满意四个等级

24、请根据如图所示的两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）抽样调查共抽取了多少户？（2）求本次调查中“基本满意”的有多少户？并补全条形统计图；（3）若该小区共有5000户，请估计对该小区服务表示不满意的有多少户？【答案】（1）50户 （2）16户，图见解析 （3）400户【解析】【分析】（1）用“非常满意”的户数除以其所占的百分比即可求的调查总户数；（2）用总户数减去其它等级的户数可求解；（3）用该区总人数乘以抽样调查中表示不满意的户数所占的百分比即可求解【小问1详解】解：（户），答：抽样调查共抽取了50户；【小问2详解】解：（户），本次调查中“基本满意”的有16户，补全条形统计图如图所示：【小问

25、3详解】解：（户），答：估计对该小区服务表示不满意的有400户【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中准确获取所需信息是解答的关键24. 已知：四边形ABCD中，AC为对角线，DACBCA，且ADBC，CDAD于点D（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是FHC面积的2倍的所有三角形【答案】（1）见解析；（2）ADG，DGH，CDH，ABG【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四

26、边形，由D=90，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到AB=CD，根据相似三角形的性质得到AG=GH=CH，得到SADG=SDGH=SCDH，根据全等三角形的性质得到SABG=SCDH，于是得到结论【详解】（1）证明：DAC=BCA，ADBC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，CDAD，D=90，ABCD是矩形；（2）解：四边形ABCD是矩形，AB=CD，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，AB=CD=2AE，AD=BC=2CF，ADBC，ABCD，AEGCDG，CFHADH， ，SCDH=2SCHF，AG=GH=CH，SADG=SDGH=SCDH，在ABG与CDH中，ABGCDH（

27、SAS），SABG=SCDH，SADG=SDGH=SCDH=SABG=2SCHF，面积是FHC面积的2倍的所有三角形是ADG，DGH，CDH，ABG【点睛】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键25. 文教店用1200元购进了甲、乙两种纪念册，已知甲种纪念册进价为每本12元，乙种纪念册进价为每本10元，文教店在销售时甲种纪念册售价为每本15元，乙种纪念册售价为每本12元，全部售完后共获利270元（1）求文教店购进甲、乙两种纪念册各多少本？（2）若文教店以原进价再次购进甲、乙两种纪念册，且购进甲种纪念册的数量不变，而购进乙种纪念册的数量是第一次

28、的2倍，乙种纪念册按原售价销售，而甲种纪念册降价销售，当两种纪念册销售完毕时，要使再次购进的纪念册获利不少于340元，求甲种纪念册每本最低售价应为多少元？【答案】（1）文教店购进甲种纪念册50本，乙种纪念册各60本 （2）再次购进的甲种纪念册每本最低售价应为14元【解析】【分析】（1）设文教店购进甲种纪念册x本，则购进乙两种纪念册y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）由题意，再次购进甲种纪念册50本，乙种纪念册120本，设再次甲种纪念册每本a元，根据题意列一元一次不等式，然后求解即可【小问1详解】解：设文教店购进甲种纪念册x本，则购进乙两种纪念册y元，根据题意，得，解得，答：文教店购进

29、甲种纪念册50本，乙种纪念册各60本；【小问2详解】解：由题意，再次购进甲种纪念册50本，乙种纪念册120本，设再次甲种纪念册每本a元，根据题意，得，解得，故再次购进的甲种纪念册每本最低售价应为14元【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组和不等式是解答的关键26. 已知，为的直径，弦与交于点E，点A为弧的中点（1）如图1，求证：；（2）如图2，点F为弧上一点，连接，过点C作交于点G，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点L，连接，若，求线段的长【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）连接，利用等弧所对

30、的圆心角相等得到，再根据等腰三角形的三线合一即可证的结论；（2）先根据（1）和圆周角定理证得，进而证得，证明四边形是平行四边形即可证得结论；（3）连接，过G作于M，过O作于K，则，设，证明平行四边形是菱形和四边形为矩形，得到，再证明，得到，进而证得四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理可求得，再利用，求得即可求解【小问1详解】证明：如图1，连接，点A为弧的中点，；【小问2详解】证明：如图2，连接，则，四边形是平行四边形，又，；【小问3详解】解：如图3，连接，过G作于M，过O作于K，则，设，则， ，平行四边形是菱形，,，则；，四边形为矩形，在和中，即，四边形是平行四边形，设，则，即，则，则，则

31、，即，【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，垂径定理、圆周角定理，解直角三角形，特殊平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，难度较大，需要学生灵活运用所学知识，第（3）作出合适的辅助线是解答的关键27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，（1）求a，b值；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t，连接、，设的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，过点P作交y轴于点D，过点D作

32、y轴的垂线交第三象限内的抛物线于点Q，连接，点F在y轴上，且在点C上方，点G为y轴负半轴上一点，且，连接、，点H在上，过点F作轴交延长线于点M，点N为上一点，连接，连接，若，求点Q的坐标【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）先求得点A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得抛物线的解析式，进而求得点B坐标，设，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可；（3）先证明得到，连接，再证得到，进而求得；过点P作轴于T，设 ，利用坐标与图形性质和正切定义求得；设交x轴于K，过点P作交延长线于R，证明四边形是矩形得到，根据平行线的性质和正切定义求得，则，即，代入抛物线解析式中求解即可【小问1详解】解：，代入中，得，；【小问2详解】解：由（1）得，令，由得，则，设，则，；【小问3详解】解：轴，轴，又，；连接，则，又，则；过点P作轴于T，设 ，则，又，则，解得；设交x轴于K，过点P作交延长线于R，轴，四边形是矩形，轴，即，即点Q在抛物线上，解得，点Q坐标为【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键