2023年吉林省松原市宁江区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年吉林宁江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）1. 下列实数：，其中无理数的个数有（ ）A 个B. 个C. 个D. 个2. 在我国“十四五”就业促进规划中明确提出，到2025年，城镇新增就业5500万人以上，数据5500万用科学记数法表示（ ）A. B. C. D. 3. 如图所示的石板凳，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，则的半径为（）A. 4B. C. D. 6. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高

2、度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7. 因式分解：_8. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_.9. 九章算术是中国古代重要的数学专著，有一问题的译文为：上等谷2束，下等谷1束，可得粮食13斗；上等谷1束，下等谷1束，可得粮食8斗，求每束上等谷和下等谷各多少斗？设每束上等谷x斗，每束下等谷y斗，则可列方程组为_10. 如图，在中，D是上一点，垂足为E，F是的中点，则的长为_11. 如图，在中，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交

3、于点、若圆半径为则阴影部分面积 _ 12. 抛物线的顶点D在直线上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为_13. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，已知测角仪的高度为，则旗杆的高度约为_m（结果精确到，参考数据：）14. 如图，在直角坐标系中点，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图像恰好经过点A和OB的中点，则k的值为_三、解答题（本大题共12小题，共84.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 计算：16. 先化简，再求值：其中，17. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队

4、中，随机抽取两个队进行第一轮抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率18. 某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍（1）求、两种口罩的单价；（2）某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个19. 如图，图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点只用无刻度的直尺，按下列要求作图：（1）在图中，作的边上的高；（2）在图中，过点作直线，使得直线平分的面积20. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点E，交的延长线于点F，连接，（1）求证：

5、；（2）求证：四边形是菱形21. 为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图(1)本次随机调查的学生人数是_人；(2)请你补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“B”所在扇形圆心角等于_度；(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率22. 华山古称“西岳”，为五岳之一，中华的“华”源于华山，因此华山有了“华夏之根”之称

6、，华山南接秦岭山脉，北瞰黄渭，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法甲、乙两人住同一小区，该小区到华山的距离为300千米，两人先后从家出发沿同一路线驾车驶向华山，如图，线段表示甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段表示乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系点C在线段上，请根据图象解答下列问题：（1）求点B的坐标；（2）在整个过程中，求t为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米23. 如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点作，垂足为点，已知平分（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径24. 如图，在平行四边形中，垂足为，平分，交线段于点（1）

7、如图1，延长到点，使得，连接若，则_（用含有的代数式表示）；若，求证：（2）如图2，延长到点，使得，连接若，用等式表示线段，之间的数量关系，直接写出结果（不需证明）25. 如图，在中，点为边上的点，且动点从点出发（点不与点、重合），沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为（）秒（1）当点与点重合时，的值为_；（2）当点落在边上时，求的值；（3）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（4）连接，直接写出与的边平行时的值26. 如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为（1）求b的值和点B，C的坐标；（2）若点

8、D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标；（3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围2023年吉林宁江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）1. 下列实数：，其中无理数的个数有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可【详解】解：在实数：，中，实数：，是有理数，是无理数，共3个，故选：C【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的某些

9、数2. 在我国“十四五”就业促进规划中明确提出，到2025年，城镇新增就业5500万人以上，数据5500万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的一般形式为的形式，其中，n为正整数，为小数点向右移动的位数.【详解】解：5500万，故选A【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的形式，确定a和n值是解题的关键3. 如图所示的石板凳，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意根据三视图相关概念可知俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，从而得出选项【详解】解：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，该几何体从上面看得到一个

10、矩形，中间有2个虚线的圆故选D【点睛】本题考查三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的平面图形是解题关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤求出不等式的解集即可【详解】解：移项，得，合并，得，系数化为1，得，将不等式解集表示在数轴上如下：故选：B【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变5. 如图，四边形内接于，则的半径为（）A. 4B. C.

11、 D. 【答案】B【解析】【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解【详解】解：连接，四边形内接于，由勾股定理得：，的半径为：故选：B【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键6. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后

12、y不变因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度故选C二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】根据提公因式法进行因式分解即可【详解】解：；故答案为【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键8. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_.【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式组，解不等式组即可求解【详解】解：根据题意得且，解得：且的取值范围为且故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是

13、解题的关键9. 九章算术是中国古代重要的数学专著，有一问题的译文为：上等谷2束，下等谷1束，可得粮食13斗；上等谷1束，下等谷1束，可得粮食8斗，求每束上等谷和下等谷各多少斗？设每束上等谷x斗，每束下等谷y斗，则可列方程组为_【答案】【解析】【分析】设每束上等谷x斗，每束下等谷y斗，根据题意，联立方程组，即可得出答案【详解】解：设每束上等谷x斗，每束下等谷y斗，上等谷2束，下等谷1束，可得粮食13斗；上等谷1束，下等谷1束，可得粮食8斗，可得：故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程组10. 如图，在中，D是上一点，垂足为E，F是的中点，则的长为_【

14、答案】6【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，得到是的中点，再利用三角形中位线的性质即可求出的长【详解】解：，是的中点，F是的中点，是的中位线，,，故答案为：6【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键11. 如图，在中，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、若圆半径为则阴影部分面积 _ 【答案】#【解析】【分析】连接，首先证明，推出，再证明是等边三角形即可解决问题【详解】解：连接，是的平分线，是等边三角形，故答案为：【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三

15、角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题12. 抛物线的顶点D在直线上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据题意可设点D的坐标为，可得抛物线的解析式为，再把代入，结合二次函数的性质，即可求解【详解】解：根据题意可设点D的坐标为，抛物线的解析式为，把代入得：，当时，y有最大值，最大值为，即点Q纵坐标的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键13. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，已知测角仪的高度为，则旗杆的高度约为

16、_m（结果精确到，参考数据：）【答案】10.2【解析】【分析】设，解表示出，可得，然后解求出x，进而可得答案【详解】解：由题意得：，设，在中，则，在中，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，故答案为：10.2【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键14. 如图，在直角坐标系中点，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图像恰好经过点A和OB的中点，则k的值为_【答案】6【解析】【分析】先作出平移后的图形，设平移距离为a，如下图，分别表示出点C、F坐标，利用k的几何意义即可求解详解】设平移距离为a，为平移后的图形，则又点F是中点点C、F在图像上，根据k的

17、几何意义解得故答案为6【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键三、解答题（本大题共12小题，共84.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 计算：【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案【详解】解：原式【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键16. 先化简，再求值：其中，【答案】，【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以单项式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算，最后将字母的值代入即可求解【详解】解：原式 ，当，时，原式【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练

18、掌握乘法公式与多项式除以单项式是解题的关键17. 某校开展“强国学习”知识竞赛，现从一队，二队，三队，四队四个队中，随机抽取两个队进行第一轮的抢答PK环节比赛，请用列表或画树状图的方法求出抽到二队和三队比赛的概率【答案】【解析】【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含二队和三队的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：设一队，二队，三队，四队四个队分别用A，B，C，D表示，根据题意，画出树状图，如下：共有12种等可能结果，其中抽到二队和三队比赛的有2种，抽到二队和三队比赛的概率为【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或

19、B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率18. 某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍（1）求、两种口罩的单价；（2）某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个【答案】（1）种口罩的单价元，种口罩的单价为元 （2）个【解析】【分析】（1）设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）设购进种口罩个，则购进种口罩个，根据题意列出一元一次不等式，解方程即可求解【小问1详解】解：设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且

20、符合题意，答：种口罩的单价元，种口罩的单价为元；【小问2详解】解：设购进种口罩个，则购进种口罩个，由题意得：，解得：，答：购进种口罩个【点睛】本题考查了分式方程应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键19. 如图，图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点只用无刻度的直尺，按下列要求作图：（1）在图中，作的边上的高；（2）在图中，过点作直线，使得直线平分的面积【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）在的延长线上，找到格点，使得是直角三角形，且，连接，即可求解（2）根据网格的特点找到的中点，过的中点与点作直线，即可求解【

21、小问1详解】解：线段即为所求；直角三角形，且，即为所求；【小问2详解】直线即为所求【点睛】本题考查了勾股定理与网格，作三角形的高，中线，熟练掌握以上知识是解题的关键20. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点E，交的延长线于点F，连接，（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出，得出，再由证明即可；（2）由全等三角形的性质得出，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论【小问1详解】解：证明：四边形是平行四边形，垂直平分，在和中，；【小问2详解】，四边形是平行四边形，又，平行四边形是菱形【点睛】本题考查了平行四边形

22、的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质得知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键21. 为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图(1)本次随机调查的学生人数是_人；(2)请你补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于_度；(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主

23、题活动的概率【答案】(1)60；(2)见解析；(3)108；(4)【解析】【分析】(1)用A的人类除以A所占的百分比即可求得答案；(2)求出c的人数，补全统计图即可；(3)用360度乘以B所占的比例即可得；(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可.【详解】(1)本次随机调查的学生人数人，故答案为60；(2)(人)，补全条形统计图如图1所示： (3)在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角，故答案为108；(4)画树状图如图2所示：共有16个等可能的结果，小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率【点睛】本题考查了条

24、形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.22. 华山古称“西岳”，为五岳之一，中华的“华”源于华山，因此华山有了“华夏之根”之称，华山南接秦岭山脉，北瞰黄渭，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法甲、乙两人住同一小区，该小区到华山的距离为300千米，两人先后从家出发沿同一路线驾车驶向华山，如图，线段表示甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系；线段表示乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系点C在线段上，请根据图象解答下列问题：（1）求点B的坐标；（2）在整个过程中，求t为何值时，甲、乙两人之间的距离

25、恰好为30千米【答案】（1） （2）或3或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，再求直线与x轴的交点坐标即可；（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再分，两个时段，分别计算即可【小问1详解】解：设乙离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系为，在其图象上，解得，当时，解得，点B的坐标为；【小问2详解】解：设甲离开家的距离y（千米）与时间t（小时）之间的函数关系，在其图象上，解得，当时，甲离开家的距离，乙还未离开家，两人之间距离为，当甲、乙两人之间的距离恰好为30千米时，解得；当时，甲离开家的距离，乙离开家的距离，当甲、乙两人之间的距离恰好为30千米时，或，解得或；综上

26、可得，t为或3或时，甲、乙两人之间的距离恰好为30千米【点睛】本题考查一次函数的实际应用，正确求出函数解析式，注意分段讨论是解题的关键23. 如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点作，垂足为点，已知平分（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接，已知，可得，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证，进而利用平行线的性质即可得到，即可得到结论；（2）由（1）可知，是的切线，结合为的直径，可得，进而得到，即可证明，进而得到，结合，可得，进而得到，即可求得的半径【小问1详解】连接，平分，是的切线；【小问2详解】由（1）可知，是的切线，

27、为的直径，又，又，又，又，的半径为【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键24. 如图，在平行四边形中，垂足为，平分，交线段于点（1）如图1，延长到点，使得，连接若，则_（用含有的代数式表示）；若，求证：（2）如图2，延长到点，使得，连接若，用等式表示线段，之间的数量关系，直接写出结果（不需证明）【答案】（1）；证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由平行四边形性质得到，在中，由直角三角形两锐角互余即可得到；根据题意，证明，由全等三角形的性质可得出，证出，则可得出结论；（2）如图所示，证明，得出，证出，由等腰

28、三角形的判定可得出，即可得出结论【小问1详解】解：四边形是平行四边形，垂足为，在中，则，故答案为：；证明：四边形是平行四边形，设，则，；【小问2详解】解：证明：四边形是平行四边形，又，平分，【点睛】本题是几何证明综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键25. 如图，在中，点为边上的点，且动点从点出发（点不与点、重合），沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为（）秒（1）当点与点重合时，的值为_；

29、（2）当点落在边上时，求的值；（3）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（4）连接，直接写出与的边平行时的值【答案】（1）3 （2） （3） （4）或【解析】【分析】（1）先由勾股定理求得，因为，所以当点与点重合时；（2）当点落在边上时，则，所以，根据相似三角形的对应边成比例可列方程，解方程求出的值即可；（3）分两点情况，一是点在上，作于点，于点，可求得，即可由求出与之间的函数关系式；二是点在上，可直接由平行四边形的面积公式求出与之间的函数关系式；（4）分两种情况，一是，可根据平行线分线段成比例定理列方程；二是，根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出相应的值即可【小问1详解】解：，当点

30、与点重合时，故答案为：3【小问2详解】解：四边形是平行四边形，当点落在边上时，如图2，则，解得【小问3详解】解：当时，如图1，作于点，于点，由得，；当时，如图3，作于点，则，综上所述，【小问4详解】解：当时，如图4，解得；当时，如图5，解得，综上所述，或【点睛】此题重点考查勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题26. 如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为（1）求b的值和点B，C的坐标；（2）若点D为的

31、中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标；（3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式求出b，可得结论；（2）求出直线的解析式，设点P的坐标是，根据构建方程求解即可；（3）利用函数的性质，构建不等式，解决问题即可【小问1详解】抛物线经过点抛物线的解析式为令，可得，解得或3，令得到，；【小问2详解】D是OC的中点，点D的坐标是，由两点坐标可以求出直线BC解析式为：由两点坐标可以求出直线BD的解析式为：设点P的坐标是则点，解得：（舍去）或，当时，点P的坐标为：；【小问3详解】当时，即y随x的增大而增大，当时，直线经过点，即点M与点A重合，如解图所示，点N在第一象限，当，即当时，此时，由解图可知，当时，n的取值范围为n的取值范围为：【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型