江苏省泰州市靖江市2022-2023学年九年级下期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省泰州市靖江市2022-2023学年九年级下期中数学试卷一、选择题：（共有6小题，每小题3分，共18分）1. 下列四个实数中，相反数最小的数是（ ）A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ）A. “清明时节雨纷纷”是必然事件B. 为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C. 一组数据众数、中位数和平均数都是D. 两组身高数据的方差分别是，那么乙组的身高比较整齐3. 如图，是O的直径，点、在O上，则的大小为（ ）A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C 无实数根D. 无法确定5. 如图

2、，点在正方形网格的格点上，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知点，在一次函数（，为常数）图像上，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 无法判断二、选择题：（共有10小题，每小题3分，共30分，请将答案填在答题卷相应的位置上）7. 计算：_8. 已知中，则的度数为_9. 某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为_10. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，若点的纵坐标分别为，则的值为_11. 设、是方程的两个不等的根，则的值_.12. 如图，在中，平分，于点，若，则的值为_.13. 如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，如果

3、，那么图中阴影部分的面积是_.14. 若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是_15. 等腰三角形的底边长为，腰长为，该等腰三角形内心和外心的距离为_.16. 平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为_二、解答题：（共有10题，其中17题12分，18、19、20每题8分，20、21、22、23每题10分，25题12分，26题14分，共102分）17. （1）计算：.（2）解方程组18. 化简求值：，其中是不等式组的一个整数解19. 如图所示，甲、乙两个带指针转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它

4、完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.（1）单独转动转盘甲，转盘甲指针指向正数的概率是 .（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率.20. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜品质（大小、甜度等），进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294

5、甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）_，_；（2）从方差的角度看，_种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由21. 某市为了构建城市立体道路网络，决定修建一条快速道路，为了使工程提前半年完成，需将工作效率提高，原计划完成这项工程需要几个月？22. 某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，是转动点，且与始终在同一平面内.（1）转动连杆，手臂，使，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：）

6、.（2）物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由.23. 如图，中，点为上一点，以点为圆心，为半径的与相切于点，交延长线于点（1）求证：（2）若，求的长24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、（1）求一次函数和反比例函数的表达式（2）求当面积等于2时的值25. 如图，在矩形中，点分别在上，四边形为菱形（1）利用尺规作图在图中作出菱形（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图，动点从点出发沿射线方向运动，同时，动点从点出发沿射线方向运动，且两点运动速度相同，相

7、交于点求的度数连接，线段长度的最小值为 26. 定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为（1）函数的友好同轴二次函数为 （2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由江苏省泰州市靖江市2022-2023学年九年级下期中数学试卷一、选择题：（共有6小题，每小题3分，共18分）1. 下列四个实数中，相反数最小的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出每个实数的相反数，然后根据实数大小比较方法，判断相反数最小的数

8、是哪个即可【详解】解：的相反数分别为，相反数最小的是故选：C【点睛】本题考查相反数的定义、实数的大小比较，会求一个数相反数并会比较实数的大小是解答的关键2. 下列说法正确的是（ ）A. “清明时节雨纷纷”是必然事件B. 为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C. 一组数据的众数、中位数和平均数都是D. 两组身高数据的方差分别是，那么乙组的身高比较整齐【答案】C【解析】【分析】利用随机事件的定义以及抽查、普查、方差的意义、众数、中位数、平均数的定义分别分析得出答案.【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项错误；B、为了解某灯管的使用寿命，可以采用抽查的方式进行，故此选项错误

9、；C、一组数据，出现的次数最多，是众数，按大小顺序排列，中位数是，平均数是：，故此选项正确；D、两组身高数据的方差分别是，那么甲组的身高比较整齐，故此选项错误；故选：C.【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、方差的意义、众数、中位数、平均数的定义，解题的关键是掌握上述概念3. 如图，是O的直径，点、在O上，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到BOC=2BDC=40，即可求出答案.【详解】,BOC=2BDC=40，AOC=180-BOC=140，故选：B.【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2

10、倍，邻补角的定义.4. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先计算判别式，再配方得到，然后根据平方的非负性得到，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根.【详解】解：，即，方程总有两个不相等的实数根.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，判断出是解题的关键5. 如图，点在正方形网格的格点上，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，取格点，连接交于，则，设，则，利用勾股定理求出，可得结论.【详解】解：如图，取格点，连接交于，则A、C

11、、D三点共线，且，设，则，在中，故选D【点睛】本题考查求角的正弦值、勾股定理与网格问题，根据网格构造直角三角形是解题的关键6. 已知点，在一次函数（，为常数）的图像上，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】先由一次函数一次项系数判断图像增减性，再比较两点的横坐标，作差得到，化为，利用平方非负性得到，判断出，从而判定纵坐标的大小关系【详解】解：，图像上随增大而增大，故选：【点睛】本题考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小二、选择题：（共有10小题，每小题3分，共30分，请将答案填在答题卷相应的位置上）7.

12、 计算：_【答案】a5【解析】【分析】分析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可【详解】解：a2a3=a2+3=a5故答案为：【点睛】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键8. 已知中，则的度数为_【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求出即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值解题的关键在于熟练掌握特殊角的三角函数值9. 某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为_【答案】1.64106【解析】【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a10n的形式，其中1|a|10，n为整数【详解】

13、解：0.000001641.64106，故答案是：1.64106【点睛】本题考查了小数的科学记数法表示，熟记指数n是左边第一个非零数字前面数字零个数的相反数是解题的关键10. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，若点的纵坐标分别为，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性即可得到点关于原点对称，从而求得，得出答案【详解】解：直线与双曲线交于两点，点关于原点对称，故答案为：0【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图象和性质掌握正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称是解题关键11. 设、是方程的两个不等的根，则的值_.【答案】【解析】【分析】由一元二次方程

14、的解可带入原方程得出的值，再由根与系数的关系得的值，再计算即可得到解【详解】、是方程的两个不等的根，则原式【点睛】本题考查方程的解的性质及一元二次方程的根与系数关系，遇到解的平方则为将该解代入原方程，得出式子的值通常求解整式的值需要进行拆解，由已知部分整式和剩余整式的形式采用整体带入的方式进行值的计算将整式变形计算和正确使用根与系数关系公式是解题的关键12. 如图，在中，平分，于点，若，则的值为_.【答案】#0.2【解析】【分析】延长交于点，先证明.从而求出的长，再利用等腰三角形的判定求出，利用线段的和差关系求出，得到，最后求出的余弦【详解】解：如图，延长交于点，平分，于点，在和中，【点睛】本

15、题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点13. 如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，如果，那么图中阴影部分的面积是_.【答案】【解析】【分析】连接，根据垂径定理和等腰三角形性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论.【详解】连接，是等边三角形，图中阴影部分的面积扇形的面积故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键14. 若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是_【答案】【解析】【详解】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相

16、交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论【解答】解：，二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线，在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，抛物线开口向上，当，时，当，时，且此时圆与轴相切，故不可取到【点睛】本题考查了二次函数的的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围15. 等腰三角形的底边长为，腰长为，该等腰三角形内心和外心的距离为_.【答案】#【解析】【分析】依照题意作出相应图形，根据等腰三角形的性质可知等腰三角形的内心和外心均在底边垂直平分线上，再分

17、别根据内心和外心的定义求出内心、外心到底边的距离（内心到底边的距离：运用等面积法；外心到底边的距离：运用勾股定理和方程思想），即可得到结论.【详解】解：作如图所示等腰及底边的中线，是等腰三角形，外心、内心均在上，垂直平分，连接，由外心的定义可知，设，则，在中，解得：，由内心的定义，运用等面积法可知，求得，该等腰三角形内心和外心的距离为.故答案为：【点睛】此题考查了三角形的内心、外心、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键.16. 平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴、轴分别交于两点，点，点坐标分别为，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】如图，取点，连接，作，

18、垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，计算求解即可【详解】解：当，当，如图，取点，连接，作，垂足为点，即，在和中，当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，的最小值为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数等知识解题的关键在于添加适当的辅助线二、解答题：（共有10题，其中17题12分，18、19、20每题8分，20、21、22、23每题10分，25题12分，26题14分，共102分）17. （1）计算：.（2）解方程组【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先计算绝对值、负指数幂、零指数幂、将二次根式化为最简二次根式，然后由混

19、合运算法则进行计算；（2）方程组利用加减消元法求出解即可【详解】解：（1）；（2），得：，解得：，把代入得：，解得：，则方程组的解为【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键18. 化简求值：，其中是不等式组的一个整数解【答案】；【解析】【分析】根据分式的运算以及不等式组的解法即可求出答案【详解】解：由，解得：，不等式组的整数解为0，1，2，由分式有意义的条件可知：，原式【点睛】本题主要考查了分式化简求作，解不等式组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，求出不等式组的整数解19. 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两

20、个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.（1）单独转动转盘甲，转盘甲指针指向正数的概率是 .（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率.【答案】（1）； （2）列表法或树状图法见解析，【解析】【分析】（1）根据概率的定义进行解答即可；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；【小问1详解】解：转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，所以转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：同时转动两

21、个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：共有种可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之积为负数的有5种，所以同时转动两个转盘，指针所指数字满足的概率为【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出有可能出现的结果是正确解答的关键20. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两

22、种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）_，_；（2）从方差的角度看，_种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由【答案】（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众

23、数是90，即b=90，故答案为：a=88，b=90；（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2S甲2，故答案为：乙；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提21. 某市为了构建城市立体道路网络，决定修建一条快速道路，为了使工程提前半年完成，需将工作效率提高，原计划完成这项工程需要几个月？【答案】原计划完成这项工程需要个月【解析】【分析】设原计划完成这项工程需要个月，则提高工

24、作效率后完成这项工程需要个月，由题意得：，计算求解满足要求的解即可【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，则提高工作效率后完成这项工程需要个月，由题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解且符合题意，答：原计划完成这项工程需要个月【点睛】本题考查了分式方程的应用解题的关键在于根据题意正确的列方程22. 某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，是转动点，且与始终在同一平面内.（1）转动连杆，手臂，使，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：）.（2）物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由.【答案】

25、（1）； （2）手臂端点不能碰到点，理由见解析【解析】【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在中，再根据即可解答；（2）当，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断.【小问1详解】解：过点作于点，过点作于点，如图：，长度为，在中，【小问2详解】解：手臂端点不能碰到点，理由如下：由题意得，当，共线时，手臂端点能碰到距离最远，如图：高为，长度为，手臂的长度为，在中，距离底座端的点处，手臂端点不能碰到点【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键23. 如图，中，点为上一点，以点为圆心，为半径的与相切于点，交延长线于点（1）求证：（2）若，求的长【

26、答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出为的角平分线，得到，根据余角的性质和角的代换可得到结论；（2）由第（1）问角度相等可知，通过设半径为，表示出，根据相似比例解出的值即可【小问1详解】证明：连接，是的切线，是的切线，是的角平分线，【小问2详解】解：，即，设半径为，则，【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握角平分线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴

27、上任意一点，连接、（1）求一次函数和反比例函数的表达式（2）求当面积等于2时的值【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式；（2）根据题意，可用点的横坐标，表示出的面积，使之等于2，求出结果即可【小问1详解】解：把，代入一次函数得，解得：，一次函数的关系式为，当时，点，点在反比例函数的图象上，反比例函数的关系式为；【小问2详解】解：点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，点，点，当时，即，解得：或（舍），【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程等知识

28、，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键25. 如图，在矩形中，点分别在上，四边形为菱形（1）利用尺规作图在图中作出菱形（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图，动点从点出发沿射线方向运动，同时，动点从点出发沿射线方向运动，且两点运动速度相同，相交于点求的度数连接，线段长度的最小值为 【答案】（1）作图见解析； （2）的度数为【解析】【分析】（1）根据菱形对角线互相平分且垂直，作的垂直平分线，与，的交点即为 （2）解：如图2，连接，由，可知，证明为等边三角形，证明，则，进而可得的度数；由知，则，则，可知点的轨迹是过点且圆周角的圆，如图3，作的垂直平分线，交于，交于，交于，连接，证明是等边三角

29、形，进而可知是点的轨迹的圆心，如图3，以长为半径作圆，连接，交于，则可知最小值为，设，则，解得，在中，由勾股定理得，求的长，进而可得【小问1详解】解：如图1，作的垂直平分线，与，的交点即为，连接即可【小问2详解】解：如图2，连接，在矩形中，即，四边形为菱形，为等边三角形，由题意知，和中， ，的度数为；解：由知，则，点的轨迹是过点且圆周角的圆，如图3，作的垂直平分线，交于，交于，交于，连接，是等边三角形，是点的轨迹的圆心，如图3，以长为半径作圆，连接，交于，最小值为， 设，则，解得，在中，由勾股定理得，最小值【点睛】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，特殊角的三角形函数值，等边三角形的判定与性质

30、，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，圆，勾股定理等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用26. 定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为（1）函数的友好同轴二次函数为 （2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由【答案】（1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，【解析】【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方

31、向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可【小问1详解】设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，对称轴为直线，友好同轴二次函数为；【小问2详解】由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；当时，时，解得：；当时，时，解得：；综上所述，；【小问3详解】由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，则，当时，即，解得：；当时，即，解得：；当时，即，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键