广东省惠州市2023届高三一模数学试卷(含答案)
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1、广东省惠州市2023届高三一模数学试卷一单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.1.已知复数满足(其中为虚数单位),则复数的虚部为( )A.-2 B.1 C. D.2.设集合,则的元素个数为( )A.3 B.4 C.9 D.无穷多个3.数据的第15百分位数为( )A.69 B.70 C.75 D.964.如图1,在高为的直三棱柱容器中,.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为(如图2),则容器的高为( )A. B.3 C.4 D.65.若,则( )A. B. C. D.6.“家在花园里,城在山水间.半城山色半城
2、湖,美丽惠州和谐家园.”首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境.下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图,其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )A. B.C. D.7.已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大,现从展开式中任取2项,则取到的项都是有理项的概率为( )A. B. C. D.8.若函数的定义域为,如果对中的任意一个,都有,且,则称函数为“类奇函数”.若某函数是“类奇函数”,则下列命题中,错误的是( )A.若0在定义域中,则B.若,则C.若在上单调递增,
3、则在上单调递减D.若定义域为,且函数也是定义域为的“类奇函数”,则函数也是“类奇函数”二多项选择题:本题共4小题,每小题满分5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.下列四个命题中为真命题的是( )A.若随机变量服从二项分布,则B.若随机变量服从正态分布,且,则C.已知一组数据的方差是3,则的方差也是3D.对具有线性相关关系的变量,其线性回归方程为,若样本点的中心为,则实数的值是410.若,则( )A. B.C. D.11.已知抛物线的焦点为,过且斜率为的直线交抛物线于两点,其中点在第一象限,若,则下列说法正确的是( )A
4、. B.C. D.以为直径的圆与轴相切12.在如图所示的几何体中,底面是边长为4的正方形,均与底面垂直,且,点分别为线段的中点,则下列说法正确的是( )A.直线与所在平面相交B.三棱锥的外接球的表面积为C.直线与直线所成角的余弦值为D.二面角中,平面,平面为棱上不同两点,若,则三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若成等差数列,则_.14.过点的弦将圆的圆周分成两段圆弧,要使这两段弧长之差最大,则_.15.函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为,.,若,则的值可以是_.(写出符合条件的一个值即可)16.已知点在线段上,是的角平分线,为上一点,且满足,设则在上的投影向量为_.(结
5、果用表示).四解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分).已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.18.(本小题满分12分)平面多边形中,三角形具有稳定性,而四边形不具有这一性质.如图所示,四边形的顶点在同一平面上,已知.(1)当长度变化时,是否为一个定值?若是,求出这个定值;若否,说明理由.(2)记与的面积分别为和,请求出的最大值.19.(本小题满分12分)如图,在四棱台中,底面是菱形,平面.(1)若点是的中点,求证:平面;(2)棱上是否存在一点,使得二面角的余弦值为若存在,求线段的长;若不存在,请说明理
6、由.20.(本小题满分12分)已知函数.(1)当时,求在处的切线方程;(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知双曲线的焦距为,且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程;(2)设直线是曲线在点处的切线,且分别交两条渐近线于两点,为坐标原点,求的面积.22.(本小题满分12分)为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校开学后,食堂从开学第一天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择,已知他第一天选择米饭套餐的概率为,而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为,前一天选择面食套餐后一天继
7、续选择面食套餐的概率为,如此往复.(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率;(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为,(i)证明:为等比数列;(ii)证明:当时,.参考答案与评分细则一单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.题号12345678答案AABBDCAC1.【解析】两复数相乘为实数,则复数复数的虚部为-2.故选.2.【解析】由得,则其元素个数为3,故选.3.【解析】因为,所以该数学成绩的分位数为第2个数据70,选.4.【解析】由图2知无水部分体积与有水部分体积比为,所以图1中高度比为,得.选.5.【解析】因为,所以,即,所以,即,所以,故选.6.【解析】由图4可知,“心形
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