天津市河西区2023届高三二模数学试卷（含答案解析）

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1、天津市河西区2023届高三二模数学试题参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么如果事件A与事件B相互独立，那么球的表面积公式，其中R表示球的半径一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（）A. （2，1B. （，4C. （，1D. 1，+）2. 设命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 函数在的图像大致为A B. C. D. 4. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17

2、,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A. 6B. 8C. 12D. 185 已知，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列结论中正确个数为（ ）函数为偶函数函数的最小正周期为函数在区间上的最大值为1函数的单调递增区间为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

3、9. ，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或二填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分 10. 若复数满足，则的虚部为_.11. 若的展开式中的系数为7，则实数_.12. 写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程_.13. 已知，则的最小值为_14. 设甲乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量的数学期望为_；设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”

4、，则事件发生的概率为_.15. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为_；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是_三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角A的值；（2）若，（）求的值；（）求的值17. 如图，在直三棱柱中，M为棱中点，（1）求证：平面AMC；（2）求异面直线AM与所成角的余弦值；（3）求平

5、面AMC与平面的夹角的余弦值18. 已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆E标准方程；（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.19. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，（1）求数列和的通项公式；（2）记为的前n项和，求证：；（3）记，数列的前项和为，求证：20. 已知函数，（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；（2）求证：；（3）若函数对恒成立，求实数a的取值范围天津市河西区2023届高三二模数学试题一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合S=x|x2，T=x|x2+3x40，则（RS）T=（）A. （2，

6、1B. （，4C. （，1D. 1，+）【答案】C【解析】【详解】集合S=x|x2，RS=x|x2由x2+3x40得：T=x|4x1，故（RS）T=x|x1故选C2. 设命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.【详解】因为命题为，所以命题为，.故选：B.3. 函数在的图像大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，

7、缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查4. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A. 6B. 8C. 12D. 18【答案】C【解析】【详解】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为02

8、4，016，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为036，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人考点：频率分布直方图5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.【详解】依题意，显然函数在上单调递增，而，即，又在R上单调递增，于是得，即，所以有.故选：D6. 已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由渐近线是y=x得，抛物线y2=24x的准线为，方程为

9、考点：双曲线标准方程及性质点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查7. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中，平面，将三棱锥补成长方体，如下图所示，所以，三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长，设三棱锥的外接球直径为，则，则，因此，三棱锥外接球的表面积为.故选：C.8. 已知函数，则下列结论中正确个数为（ ）函数为偶函数函数的最小正周期为函数在区间上的最大值为1函数的单调递增区间为A. 1个B. 2个C. 3个D.

10、4个【答案】C【解析】【分析】化简得到，根据三角函数的奇偶性，单调性和值域得到正确，确定得到错误，得到答案.【详解】，对：，为偶函数，正确；对：，故是的周期，错误；对：，则，函数的最大值为，正确；对：取，解得，故函数的单调递增区间为，正确.故选：C9. ，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图像，变换得到，根据函数图像得到或，解得答案.【详解】当时，当时，函数单调递增；当，函数单调递减，当时， ，其图像可以由向左平移一个单位，再向下平移个单位，再把轴上方的图像翻折到下方得到，画出函

11、数图像，如图所示：，当时，无零点；当时，即，函数有两个零点，即函数图像有两个交点，根据图像知：或，解得或.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，将零点问题转化为函数图像的交点问题是解题的关键，数形结合的思想需要熟练掌握.第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上2本卷共11小题，共105分二填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对一个给的3分，全部答对的给5分10. 若复数满足，则的虚部为_.【答案】.【解析】【分析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即

12、可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.11. 若的展开式中的系数为7，则实数_.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据系数，即可求得参数值.【详解】的通项公式，令，解得.故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值，属简单题.12. 写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程_.【答案】（只需填其中的一个即可）【解析】【分析】将圆方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直

13、线的距离，得出方程，即可解出的值.【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径，由弦长为可得，圆心到直线的距离.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长为，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，解得.所以，直线的方程为或.故答案为：.13. 已知，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】首先分析题目由已知x0，y0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b2 代入已知条件，转化为解不等式求最值【详解】2xyx(2y)2，8x2y2xyx2y2，即(x2y)24(x2y)320.x0，y0，x2y4，当

14、且仅当x2，y1时取等号，即x2y的最小值是4.【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b2在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意14. 设甲乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量的数学期望为_；设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，则事件发生的概率为_.【答案】 . 2 . 【解析】【分析】由题设知，根据二项分布的期望公式求期望，应用独立事件乘法公式及互斥事

15、件的加法公式求为事件的概率.【详解】由题意知：，且服从，.甲同学在7：30之前到校天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2的基本事件有甲3天乙1天，甲2天乙0天，又，.故答案为：2，.【点睛】关键点点睛：由题设确定服从的二项分布，进而求期望，求各可能值的概率，结合独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率.15. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为_；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是_【

16、答案】 . . 【解析】【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由线性规划可求得的取值范围.【详解】，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为，则，所以，,因为，则，所以，解得，所以；设，则，则，令，即，由线性规划知平行移动直线，当此直线经过时有最小值, 当此直线经过时有最大值,所以， 取值范围 .故答案为：，.【点睛】方法点睛：在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系.在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较

17、难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时，可建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、基本不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法.三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角A的值；（2）若，（）求值；（）求的值【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出；（2）（）由正弦定理可求出的值；（）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式

18、求出，最后由两角差的余弦公式求出的值【小问1详解】由正弦定理得：，化简得：，由余弦定理得：，又，所以.【小问2详解】（）由（1）知，又，由正弦定理可得：；（）因为，所以，所以，所以.17. 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，（1）求证：平面AMC；（2）求异面直线AM与所成角的余弦值；（3）求平面AMC与平面的夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定，得到证明.（2）确定，根据向量的夹角公式计算得到答案.（3）确定平面的法向量和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

19、则，则，则，；，.，平面，故平面.【小问2详解】，则.故异面直线AM与所成角的余弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为，则，取得到；设平面的法向量为，则，取得到；平面AMC与平面的夹角的余弦值为.18. 已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【小问1详解】因为椭圆过点，所以，又，所以，得到，所以椭

20、圆的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得， ，所以把代入上式得，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，为定值；综上所述，为定值.19. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，（1）求数列和的通项公式；（2）记为的前n项和，求证：；（3）记，数列的前项和为，求证：【答案】（1），； （2）见解析

21、 （3）见解析【解析】【分析】（1）题意可得出，解方程求出，再由等差和等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得：，证明即可；（3）求出，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，由裂项相消法求出，可证得，对放缩可得，再由错位相减法可证得，即可证明.【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为，由，可得：，解得：或（舍去），则，所以，；【小问2详解】由（1）可得：，即；【小问3详解】由（1）知，所以，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，当为奇数时，当为偶数时，设，所以，所以.20. 已知函数，（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；（2）求证：；（3）若函数对恒成立，求实数a的取值范围【答案】

22、（1）时，； （2）证明见解析； （3）【解析】【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；（2）结合（1）将问题转化为证明，进而构造函数证明即可；（3）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，时三种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：当时，定义域为，所以，令得，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.【小问2详解】解：由（1）知，当时，即，所以，要证成立，只需证，令，则，所以，当时，恒成立，所以，函数为单调递增函数，所以，即，所以，所以成立【小问3详解】解：因为函数对恒成立所以对恒成立，令，则，当时，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立；当时，则，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；当时，令得令，恒成立，故在上单调递增，因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，所以，使得，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，只需即可；所以，因为，所以，所以，解得，所以，综上，实数a的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于讨论当时，结合函数的性质得，使得，进而转化为解.